Дистанционное обучение 8Б класс

Слайд 1

Слайд 2

Цели урока: рассмотреть свойства и график функции у = х 2 ; научиться строить и «читать» график данной функции; научиться решать уравнения графическим способом.

Слайд 3

Назовите координаты точек, симметричных данным точкам относительно оси y : (- 2; 6) (- 1; 4) (0; 0) (- 3; - 5) ( 2; 6) (1; 4) (0; 0) (3; - 5) y х

Слайд 4

Найдите значение функции y = 5x + 4, если: х = - 1 х = - 2 х = 3 х = 5 y = - 1 y = 19 y = - 6 y = 29

Слайд 5

Зависимость между двумя переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. Расшифруйте термины Функция Независимая переменная, значения которой выбирают произвольно. Аргумент Все значения, которые принимает независимая переменная. Область определения Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Линейная функция График функции Функция, заданная формулой вида y = kx + b , где х – переменная, k и b некоторые числа, её графиком является прямая.

Слайд 6

Зависимость площади квадрата от длины его стороны квадратичная функция Зависимая переменная Независимая переменная y = x 2 y x

Слайд 7

х - 3 - 2 , 5 - 2 - 1,5 - 1 - 0,5 0 y Заполните таблицу значений функции y = x 2 : х 0 0, 5 1 1,5 2 2,5 3 y

Слайд 8

Постройте график функции y = x 2 парабола

Слайд 9

Свойства функции y = x 2

Слайд 10

Область определения функции D(f): х – любое число. Область значений функции E(f): все значения у ≥ 0.

Слайд 11

Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат .

Слайд 12

Если х ≠ 0, то у > 0. Все точки графика функции, кроме точки (0; 0), расположены выше оси х . I II

Слайд 13

Противоположным значениям х соответствует одно и то же значение у. График функции симметричен относительно оси ординат. Функция чётная. (- х) 2 = х 2 при любом х

Слайд 14

Геометрические свойства параболы Обладает симметрией Ось разрезает параболу на две части: ветви параболы Точка (0; 0) – вершина параболы Парабола касается оси абсцисс Ось симметрии

Слайд 15

Функция y = x 2 Математическое исследование

Слайд 16

«Знание – орудие, а не цель» Л. Н. Толстой Найдите у, если: х ≈ -2,5 х = - 2 у ≈ 1,9 у ≈ 6,7 у ≈ 9,6 х = 1,4 х = - 2,6 х = 3,1 у = 6 у = 4 Найдите х, если: - 1,4 - 3 , 1 х ≈ 2,5 х = 2

Слайд 17

Найдите несколько значений х, при которых значения функции : меньше 4 больше 4

Слайд 18

При каких значениях а точка Р(а; 64) принадлежит графику функции у = х 2 . Принадлежит ли графику функции у = х 2 точка : Не выполняя вычислений, определите, какие из точек не принадлежат графику функции у = х 2 : P(-18; 324) R(-99; -9081) S(17; 279) (-1; 1) (0; 8) (-2; 4) (3; -9) (1,8; 3,24) (16; 0) а = 8; а = - 8 принадлежит не принадлежит не принадлежит

Слайд 19

Домашнее задание п. 37 учить № 1146,1147,1151, 37.2, 37.3, 37.7

Слайд 20

Удачи вам!

Слайд 1

Слайд 2

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

Слайд 3

Как вы думаете, сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? О

Слайд 4

О Сначала вспомним как задаётся окружность Окружность (О, r ) r – радиус r A B АВ – хорда С D CD - диаметр

Слайд 5

Исследуем взаимное расположение прямой и окружности в первом случае : d – расстояние от центра окружности до прямой О А В Н d < r две общие точки АВ – секущая r d Первый случай :

Слайд 6

Второй случай : О Н r одна общая точка d = r d – расстояние от центра окружности до прямой d А В АВ – касательная

Слайд 7

Третий случай : О H d r d > r d – расстояние от центра окружности до прямой не имеют общих точек

Слайд 8

Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? d < r d = r d > r две общие точки одна общая точка не имеют общих точек Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки . Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку . Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек .

Слайд 9

Касательная к окружности Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. O s = r M m

Слайд 10

Выясните взаимное расположение прямой и окружности, если: r = 15 см, s = 11 см r = 6 см, s = 5 ,2 см r = 3,2 м, s = 4 ,7 м r = 7 см, s = 0,5 дм r = 4 см, s = 4 0 мм прямая – секущая прямая – секущая общих точек нет прямая – секущая прямая - касательная

Слайд 11

Свойство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. m – касательная к окружности с центром О М – точка касания OM - радиус O M m

Слайд 12

Свойство касательных, проходящих через одну точку: ▼ По свойству касательной ∆ АВО, ∆ АСО–прямоугольные ∆ АВО= ∆ АСО–по гипотенузе и катету: ОА – общая, ОВ=ОС – радиусы АВ=АС и ▲ О В С А 1 2 3 4 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Слайд 13

Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной. окружность с центром О радиуса OM m – прямая, которая проходит через точку М и m – касательная O M m

Слайд 14

Решение задач

Слайд 15

Найти: АВ № 1. Дано: B О А 2 1,5 ?

Слайд 16

B О А 2 1,5 ? 1 . Рассмотрим АОВ- прямоугольный(?) 2.

Слайд 17

№ 2. Дано: Найти: А О С B К 4,5 ? А B , АС- касательные

Слайд 18

А О С B К 4,5 ? 1. Рассмотрим -ки АОВ и АОС - равны(?) → 2. 3. 4. ОВ =4,5 ОА=9 → (?) 5. B АО= САО B АО и САО - прямоугольные (?) B АС= 60

Слайд 19

№ 3. Дано: Найти: B О А 12 60 0 ?

Слайд 20

B О А 12 60 0 ?

Слайд 21

Домашнее задание п.70, вопр. 1,2 (стр. 184), № 631 (в,г), 633

Слайд 1

Слайд 3

х у х У 0 0 1 1 2 4 3 9 -1 1 -2 4 - 3 9 у=х ² 1 2 3 0 -3 -2 -1 1 9 4 Ось симметрии Графиком является парабола . Вершина параболы Ветвь параболы Ветвь параболы Ветви направлены вверх Точка (0;0) – вершина параболы Ось у- ось симметрии Построим график функции у=х ² для этого значения аргумента ( х ) выберем сами, а значения функции ( у ) вычислим по формуле у=х ² .

Слайд 4

-3 -2 -1 0 1 2 3 y = 2 x 2 х - 2 -1 0 1 2 у 8 2 0 2 8 х у Постройте график функции: 4 6 3 2 1 7 5 8 9 y = 0,5 x 2 Постройте график функции: х - 3 - 2 -1 0 1 2 3 у 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5

Слайд 5

График функции у=а x 2 может быть получен из графика функции у= x 2 путем растяжения его вдоль оси Оу в а раз ( а - натуральное число ) .

Слайд 6

-3 -2 -1 0 1 2 3 х у 4 6 3 2 1 7 5 8 9 y = а x 2 0 < а <1 y = а x 2 а > 1 Зависимость «степени крутизны » параболы от коэффициента а.

Слайд 7

7. Непрерывна. -3 -2 -1 Функция возрастает при Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху. 1 х у 0 Свойства функции у=ах ² (а > 0) : 1. Область определения 2 6 -1 4 2. Область значений 3. у=0, если х= 0 1 2 3 у > 0, если х 4. Функция убывает при х х 5. Ограниченность 1. 2. 5. 6. у наим. = у наиб. = НЕТ 0 7. Непрерывность 8

Слайд 8

-3 -2 -1 0 1 2 3 х у 4 6 3 2 1 7 5 8 9 По графику функции у=2х ² найдите значение функции, соответствующее заданному значению аргумента : 1) 0 у= 0 2) 1 у= 2 3) -1 у= 2 4) 2 у= 8 4) -1,5 у= 4,5

Слайд 9

х у 1 2 3 0 -3 -2 -1 1 8 4 У наиб. = 8 У наим. = 0 Найдите у наиб. и у наим. на отрезке функции у=2х ²

Слайд 10

х у 1 2 3 0 -3 -2 -1 1 8 4 У наиб. = 8 У наим. = 2 Найдите у наиб. и у наим. на отрезке функции у=2х ² 2

Слайд 11

х у 1 2 3 0 -3 -2 -1 1 8 4,5 У наиб. = 4,5 У наим. = 0 Найдите у наиб. и у наим. на отрезке функции у=2х ² 2 3

Слайд 12

Построим график функции у=-х ² для этого значения аргумента ( х ) выберем сами, а значения функции ( у ) вычислим по формуле у=-х ² .

Слайд 13

Точка (0;0) – вершина параболы х у 1 2 3 -3 -2 -1 -1 х У 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 -1 -1 -2 -4 - 3 -9 у=-х ² 0 -9 -4 Ось симметрии Вершина параболы Графиком является парабола . Ветви направлены вниз Ось у- ось симметрии

Слайд 14

График функции у=ах 2 симметричен графику функции у=-ах 2 относительно оси Ох. Если а > 0, то ветви параболы направлены… Если а < 0, то ветви параболы направлены…

Слайд 15

-3 -2 -1 0 1 2 3 х у -6 -4 -7 -8 -9 -3 -5 -2 -1 y = -2 x 2 х - 2 -1 0 1 2 у - 8 - 2 0 - 2 - 8 Постройте график функции: y = -0,5 x 2 Постройте график функции: х - 3 - 2 -1 0 1 2 3 у - 4,5 - 2 - 0,5 0 - 0,5 - 2 - 4,5

Слайд 16

График функции у= x 2 может быть получен из графика функции у= x 2 путем сжатия его вдоль оси Оу в а раз ( а - натуральное число ) .

Слайд 17

7. Непрерывна. -3 -2 -1 Функция убывает при Функция ограничена сверху, но не ограничена снизу. х у 0 Свойства функции у=ах ² (а < 0) : 1. Область определения -6 -2 -8 -4 2. Область значений 3. у=0, если х= 0 1 2 3 у < 0, если х 4. Функция возрастает при х х 5. Ограниченность 1. 2. 5. 6. у наиб. = у наим. = НЕТ 0 7. Непрерывность

Слайд 18

х у 1 2 3 4 0 -4 -3 -2 -1 -8 -1 -4 У наиб. = 0 У наим. = -2 Найдите у наиб. и у наим. на отрезке функции у=-0,5х ² -2 -6

Слайд 19

х у 1 2 3 4 0 -4 -3 -2 -1 -8 -1 -4 У наиб. = 0 У наим. = -8 Найдите у наиб. и у наим. на отрезке функции у=-0,5х ² -2 -6

Слайд 20

х у 1 2 3 4 0 -4 -3 -2 -1 -8 -1 -4 У наиб. = -2 У наим. = НЕТ Найдите у наиб. и у наим. на полуинтервале функции у=-0,5х ² -2 -6

Слайд 21

х у 1 2 3 4 0 -4 -3 -2 -1 -8 -1 -4 У наиб. = 0 У наим. = -2 Найдите у наиб. и у наим. на полуинтервале функции у=-0,5х ² -2 -6

Слайд 22

1 2 3 4 0 х у -4 -3 -2 -1 1 4 9 3 2 8 6 Решить графически уравнение: 0,5х ² =х+4 Построим в одной с. к. графики функций: 1 у=0,5х ² у=х+4 Х У 0 0 ± 1 0,5 ± 2 ± 4 2 8 Х У 0 4 -4 0 у=0,5х ² у= х+4 2 Найдём абсциссы точек пересечения графиков 3 ОТВЕТ: х =-2, х=4

Слайд 23

Решить графически уравнение: -3х ² =3х-6 Построим в одной с. к. графики функций: 1 у=-3х ² у=3х-6 Х У 0 0 ± 1 -3 ± 2 -12 1 2 3 4 5 0 -3 -2 -1 -9 -1 -4 -5 -12 -3 -6 х у у=-3х ² Х У 0 -6 2 0 у=3 х-6 2 Найдём абсциссы точек пересечения графиков 1 -2 3 ОТВЕТ: х =-2, х=1

Слайд 24

1 2 3 0 -6 -3 -2 -1 -1 -4 -5 -8 3 -2 х у Решить графически уравнение: -0,5х ² =0,5х+3 Построим в одной с. к. графики функций: 1 у=-0,5х ² у=0,5х+3 Х У 0 0 ± 1 -0,5 ± 2 -2 Х У 0 3 -6 0 у=0,5 х+3 2 Найдём абсциссы точек пересечения графиков 3 ОТВЕТ: у=-0,5х ² Нет точек пересечения Нет корней

Слайд 25

Решить графически систему уравнений: Преобразование у+х ² =0 2х-у-3=0 у=-х ² у=2х-3 Построим в одной системе координат графики функций: 1 у=-х ² у=2х-3 Х У 0 0 ± 1 -1 ± 2 ± 3 -4 -9 Х У 0 -3 2 1 х у 1 2 3 -3 -2 -1 -1 0 -9 -4 у=2 х-3 -3 2 Найдём координаты точек пересечения графиков (1; - 1) (-3; - 9) 3 ОТВЕТ: (1;-1), (-3;-9)

Слайд 26

Постройте график функции и опишите её свойства. f (x)= 2х ² ,если -1 ≤ х ≤ 1 2,если 1 < х ≤ 6

Слайд 27

f (x)= 2х ² ,если -1 ≤ х ≤ 1 х у 2,если 1 < х ≤ 5 6 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 5 8 у=2х ² Х У 0 0 ± 1 2 ± 2 8 -1 ≤ х ≤ 1 у=2 Х У 1 2 6 2 1 < х ≤ 5

Слайд 28

1 2 3 4 5 Функция возрастает при Функция ограничена сверху и снизу. 1 х у 0 Свойства функции: 1. Область определения 3 2 x ², если -1≤х≤1 f (x)= 2, если 1 < х ≤ 5 -1 2 2. Область значений 3. у=0, если х= у > 0, если х 4. Функция убывает при х х 5. Ограниченность 1. 2. 5. 6. у наим. = у наиб. = 0 2 7. Непрерывность 7. Непрерывна. -1 0 Функция постоянна при х

Слайд 2

В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. ( Н.Е.Жуковский )

Слайд 3

y= ax 2 +bx + c где: a,b,c – числа Х – независимая переменная а 0 Определение квадратичной функции Квадратичной функцией называется функция , которую можно задать формулой вида :

Слайд 4

Определить, какие из данных функций являются квадратичными : 5) у = - ( х + 3 ) 2 + 2 3) у = 5х + 2 2) у = х 2 – 1 4)у = 6х 3 – 5х 2 + 7 7) у = 7х 2 + 2х -1 1) у = 5х 2 + 3х А ТЕПЕРЬ НЕБОЛЬШОЙ ТЕСТ 8) у = х 2 – 5х + 6 6)у = 6х 4 + 5х 2 + 7

Слайд 5

Построение графика функции у х

Слайд 6

Алгоритм построения параболы у = ах 2 + b х + с : Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось симмертрии. Определить направление ветвей параболы. Найти координаты еще нескольких точек , принадлежащих искомому графику ( в частности, координаты точки пересечения параболы с осью у и нули функции, если они существуют). Отметить на координатной плоскости найденные точки и соединить их плавной линией. График любой квадратичной функции – парабола.

Слайд 7

Осью параболы будет прямая, проходящая через вершину параболы. Вершина параболы - ( х 0 ; у о ) , где : х о = - у 0 = Графиком квадратичной функции у = ах 2 + b х + с является парабола , которая получается из параболы у = ах 2 параллельным переносом . . - теорема:

Слайд 8

Свойства квадратичной функции

Слайд 9

Вспоминаем : Дискриминантом квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 называется выражение b 2 – 4ac Его обозначают буквой D , т.е. D= b 2 – 4ac . Возможны три случая: D  0 D  0 D  0

Слайд 10

если дискриминант больше нуля, то парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, если дискриминант равен нулю, то парабола касается оси абсцисс, если дискриминант меньше нуля, то парабола не пересекает ось абсцисс, если старший коэффициент квадратного трёхчлена ( а ) равен нулю, то графиком функции является не парабола, а прямая; (и соответствующее уравнение надо решать не как квадратное, а как линейное), абсцисса вершины параболы равна

Слайд 11

Свойство функции при а > 0 Дискриминант D > 0 D = 0 D < 0 Положительные значения Везде, кроме точки Везде Отрицательные значения Отсутствуют Промежуток возрастания Промежуток убывания Минимальное значение У min = f ( )

Слайд 12

Свойство функции при а < 0 Дискриминант D > 0 D = 0 D < 0 Отрицательные значения Везде, кроме точки Везде Положительные значения Отсутствуют Промежуток возрастания Промежуток убывания Максимальное значение У max = f ( )

Слайд 13

При - ветви параболы направлены вверх , При ветви параболы направлены вниз f(x 0 ) х х у у

Слайд 14

Назовите те параболы, ветви которых будут направлены вниз 4) f ( x ) = - 2 ( х – 3 ) 2 + 4 3) f ( x ) = 7х 2 + 2х -1 1) f ( x ) = ( х + 2 ) 2 – 3 7) f ( x ) = х 2 + (а + 1)х + 3 5) f ( x ) = 0,5 х 2 – 6х + 5 8) f ( x ) = 6х 3 – 5х 2 + 7 6) f ( x ) = ( х + 2 ) 2 – 3 2) f ( x ) = - 3х 2 + 1

Слайд 15

Построим график , используя свойства квадратичной функции у = х 2 - 6 х + 8 : ( 3; -1)- вершина парабол ы (т.к. х = -(b/ 2a) ; y=(4ac – b 2 ) / 4a ) Решив квадратное уравнение х 2 - 6 х + 8 =0 определяем нули функции Х = 2 и Х = 4 а > 0 ( Ветви параболы направлены вверх) Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8 ) Построение графика функции: Ось симметрии

Слайд 16

Ось симметрии Область значений функции – Е ( f ) = [ -1 ; + ) Функция возрастает в промежутке [ +3 ; + ) Функция убывает в промежутке ( - ; +3 ] Наименьшее значение функции равно -1 Наибольшего значения функции не существует f ( x ) > 0 при х < 2, или х > 4 f ( x ) < 0 при 2 < х < 4

Слайд 2

При - ветви параболы направлены вверх , При ветви параболы направлены вниз f(x 0 ) х х у у

Слайд 3

Алгоритм построения графика функции у = ах 2 + b х +с Определить направление ветвей параболы . 2 . Найти координаты вершины параболы 3. Провести ось симметрии

Слайд 4

4. Определить точки пересечения графика функции с осью О х , т.е. найти нули функции (х 1 ;0) ( х 2 ;0) 5. Составить таблицу значений функции с учетом оси симметрии параболы . х х 1 х 2 х 3 х 4 у у 1 у 2 у 3 у 4 6.Построить график функции .

Слайд 5

у 8 7 6 5 4 3 2 1 х -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 О Построить график функции у = х 2 – 4х + 3 О D Е  В С у = х 2 – 4х + 3 Рассмотрим пример: 1) Т.к. а=1, то ветви параболы направлены вверх. 2) Найдем координаты вершины парабол ы 3) Проведем ось симметрии х = 2 4) Определим точки пересечения графика функции с осью О х , т.е. найдем нули функции В(1;0); С(3;0) 5) Найдем точку пересечения с осью Оу х=0, у=3, значит D(0;3) – точка пересечения с осью Оу 6) Найдем точку Е симметричную точке D относительно оси симметрии. Е(4;3) 7) Построим график функции

Слайд 6

Пример: Рассмотрим свойства функции у = х 2 – 2х - 3 1. Область определения 2. Область значений у х 0 1 1 3) Нули функции: х 2 – 2х - 3 = 0 4) При 5) Положительные значения функция принимает на промежутке Отрицательные + + - 6) Наименьшее значение функции: -4

Слайд 7

Построим график у = х 2 - 6 х + 8 х = -(b/ 2a) y= 9-18+8=-1 ( 3; -1)- вершина парабол ы Решив квадратное уравнение х 2 - 6 х + 8 =0 определяем нули функции Х = 2 и Х = 4 а > 0 ( Ветви параболы направлены вверх) Точка пересечения с осью ординат (0 ; 8 ) Ось симметрии

Слайд 8

Ось симметрии Область значений функции – Е ( f ) = [ -1 ; + ) Функция возрастает в промежутке [ +3 ; + ) Функция убывает в промежутке ( - ; +3 ] Наименьшее значение функции равно -1 Наибольшего значения функции не существует

Слайд 9

План построения y x 1) Построить вершину параболы -7 -1 2) Построить ось симметрии x=-1 3) Найти нули функции -2,9 0,9 4) Дополнительные точки 11 -4 3 (-4; 11) ; (3;11) 5) Построить параболу по точкам