Шпаргалки по математике

Формулы сокращенного умножения

(a −b)(a + b) = a2 −b2

– разность квадратов;

(a −b)2

= a2 − 2ab + b2

– квадрат разности;

(a + b)2

= a2 + 2ab + b2  – квадрат суммы;

a3 −b3  = (a −b)(a2 + ab + b2 )

– разность кубов;

a3 + b3  = (a + b)(a2 − ab + b2 )

– сумма кубов;

(a −b)3  = a3 −3a2b + 3ab2 −b3

– куб разности;

(a + b)3  = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

– куб суммы.

Формулы нахождения корней квадратного уравнения

ax2 + bx + c = 0

D = b2 − 4ac – дискриминант квадратного уравнения

x  =

− b +

=

− b −

Если D • 0 , то уравнение имеет два различных корня:

D

;

x

D

.

1

2a

2

2a

Если D = 0 , то уравнение имеет два равных корня:

x

= x

=

− b

.

1

2

2a

Если D • 0 , то уравнение не имеет действительных корней.

Теорема Виета для корней квадратного уравнения

⎧x + x

= −

b

Для общего уравнения ax2 + bx + c = 0

⎨⎪

1

2

c

a ;

⎪x ⋅ x

=

2

⎪

1

a

⎩

Для приведенного уравнения

x2 + px + q = 0

⎨⎧x1 + x2

= − p

.

⎩x1 ⋅ x2  = q

Формула разложения квадратного трехчлена на множители

ax2 + bx + c = a(x − x )(x − x )

, где x , x

– корни квадратного трехчлена ax2 + bx + c .

1

2

1

2

Последовательности и прогрессии

Прогрессия

Арифметическая

Геометрическая

формула n-го члена, n ∈ N

an

= a1 + (n −1)⋅d

bn

= b1 ⋅ qn−1

Рекуррентная формула

an+1  = an + d

bn+1  = bn ⋅q

Характеристическое свойство

an+1

+ an−1

= an

b

⋅b

= b2 ,

b  ≠ 0

n+1

n−1

n

n

2

Формула суммы n первых

S

=

a1 + an

⋅ n

S

=

b1 − bn ⋅ q

членов прогрессии

n

2

n

1− q

Sn  =

2a1 + (n −1)d

⋅ n

=

b1 (1 − q

n

)

Sn

2

1 − q

Дополнительные формулы

an − am

= d ,

n ≠ m

b  : b  = qn−m

n − m

n

m

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

0 •

q

• 1 ,  S =

b1

– формула суммы

1− q

Степени и корни

Модуль числа

(ab)n

= an ⋅bn

n

= n

⋅ n

⎡a, есл и а ≥ 0

1.

1.

ab

a

b

⎛ a

⎞n