«Использование метода координат в пространстве для решения заданий С2 Единого государственного экзамена»

Казанский государственный технологический университет

В оргкомитет конкурса «Нобелевские надежды КГТУ-2011»,

КГТУ А-206»

 Работа в номинации «Математика»

                                                       на тему:

«Использование метода координат в пространстве для решения заданий С2 Единого государственного экзамена»

Выполнила: Сергеева Наталья Владимировна,

ученица 11 класса МОУ «Шеморданский лицей

 Сабинсккого муниципального района РТ»,

проживающая по адресу  422050 Татарстан

 с.Шемордан ул.Коммунальная д21-1,

тел. 84362-33324 .Дата рождения 12.11.93

Эл. адрес natasha121193@mail.ru

Директор лицея: Хамзин Ш.А.. , тел. 84362-3-22-90,

факс  84362-3-22-90

Научный руководитель: Закирова И.С.- учитель математики первой категории

Казань   2011

Содержание

I. Введение…………………………………………………………………3

II. Основная часть

1. Кратко из теории…………………………………………………4
2. Нахождение угла между скрещивающимися прямыми……….5
3. Нахождение угла между прямой и плоскостью………………..7
4. Нахождение угла между двумя плоскостями…………………8
5. Нахождение расстояния между двумя точками………………9
6. Нахождение расстояния от точки до плоскости……………...10

III. Заключение…………………………………………………………..12

IV.Список использованной литературы (каждый пример указан со ссылкой)…………………………………………………………………………13

Введение

Как всем известно, для учеников старших классов самой насущной проблемой является Единый государственный экзамен. Причём, тех учеников, которые с уверенностью могут сказать: «Я могу решить 3, 4 или даже 5 заданий уровня С», всего единицы. Да и те, кто действительно могут решить их, об этом громко не заявляют.

Я хотела бы привести итоги тестирования в форме ЕГЭ, которое проводилось в моем классе.

Анализируя данную таблицу, можно сказать, что большая часть выпускников ограничивается заданием С1. А при решении задания С2 уже возникают проблемы.

Как вы знаете, в задании С2 чаще всего требуется найти:

1) угол между двумя скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями;

2) расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости.

В своей исследовательской работе я предлагаю использовать один из универсальных приёмов решения геометрических задач – метод координат в пространстве.  Мы уже хорошо знакомы с векторами, координатами и их свойствами. Цель моей работы: научиться применять знания для решения задач стереометрии (С2).

Однако формальное применение координатно-векторного метода может значительно затруднить решение даже самой простой задачи. Поэтому я привожу несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать  векторы и координаты.

Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;

Во-вторых, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки;

В-третьих, что для нас особенно важно, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;

В-четвертых, вообще, часто, когда не видно ни каких подходов к решению задачи, можно попробовать применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.        

2.1. Кратко из теории4

Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная, полярная, биполярная, коническая, параболическая,  проективная, сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач.

Прямоугольная (декартова) система координат – совокупность точки О (называемой началом координат), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямых Ox, Oy и Oz (называемых осями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. Плоскости хОу, уОz и zOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых её координатами.

Применение метода координат даёт нам множество возможностей для решения задач.

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

где d=AB, A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2)

        2. Нахождение координаты середины С(x; y; z) отрезка АВ,  A(x1; y1; z1),  B(x2; y2; z2). ,      ,    

        3. Нахождение косинуса, а, следовательно, и самого угла, между двумя векторами, заданными своими координатами.

где .

4. Нахождение угла между плоскостями путем составления уравнения каждой плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и определения угла между нормалями к плоскостям. Нормаль n при этом имеет координаты .

        5.Нахождение расстояния от произвольной точки М0(х0, у0, z0)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно.

        6. Координаты x, y, z точки М, которая делит отрезок , ограниченный точками (, , ) и (, , ), в отношении , определяется по формулам

, , .

2.2. Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

1. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку.
2. 0˚<(a,α)<90˚.

При нахождении угла между прямыми используют:

 формулу  или в координатной форме

 для нахождения угла φ между прямыми m и l, если векторы  и  параллельны соотвественно этим прямым; в частности, для того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы  или .

Пример 1.5 Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1 D1 равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и  B1E.

х

у

z

        B1

A1

               C1

D1

          B                              C

A                                    E  

              F               D                                                    

        Решение.

Для начала сделаем чертёж и проанализируем задачу.

Прямые CF и  B1E являются скрещивающимися, поэтому, чтобы найти угол между ними геометрическим способом, было бы необходимо параллельно перенести одну из прямых так, чтобы обе прямые лежали на одной плоскости. При этом было бы довольно сложно определить, в каком соотношении они будут пересекаться, и решить эту задачу поэтапно-вычислительным методом.

Я предлагаю поместить параллелепипед в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке, и найти искомый угол как угол между векторами.

Выпишем координаты  точек B1, E, C, F в этой системе координат:

B1 (0; 0; 4),  E(1; 2; 0),  C(0; 2; 0),  F (2; 1; 0).

Тогда {2; -1; 0}, {1; 2; -4}. Найдём угол между этими векторами по формуле:

То есть искомый угол α=90˚.

Как видите, задачу, которую довольно-таки сложно решить геометрическим путём, можно быстро и красиво решить аналитически.

Ответ: 90˚.

Пример 2.2  Точка О лежит на ребре DD1 куба  ABCDA1B1C1 D1, точка Р является точкой пересечения диагоналей грани ABCD. DO :  DD1 = 1 : 5. Найдите косинус угла между прямой ОР и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины С.

Решение.

О

                Р

Поместим куб в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Условно обозначим грани куба за единицу. Если обозначить её какой-либо буквой, она всё равно сократится. Определим координаты точек Р, О, С и А1:Р(0,5; 0,5; 0), О(1; 1; 0,5), С(0; 1; 0), А1(1; 0; 1).

Отсюда .

Ответ: .

Пример 3.5 Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, сторона которого равна . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 1. Найдите угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и и середину ребра DC, а другая проходит через точку C и середину ребра AB.

Решение.

Поместим пирамиду в декартову систему координат. Найдём координаты точек S, L, C и M: S(0;0;1), L(0;;0), C(0;0;0). Чтобы найти координаты точки М, воспользуемся геометрией: в равностороннем треугольнике все углы равны 60˚, а т.М, которая делит сторону АВ пополам, является не только медианой, но и биссектрисой, поэтому  .

Для равностороннего треугольника , х(СМ)=СМ·соs60˚=, у(СМ)=СМ·соs30˚=, {}, SL{0;;-1}

Решая аналогично предыдущим примерам, находим, что .

Ответ: 45˚.

2.3. Нахождение угла между прямой и плоскостью

1. Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
2. 0˚<(a,α)<90˚.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:

 по формуле  или в координатах , где

 - вектор нормали к плоскости α,

 - направляющий векор прямой l;

Пример 4.5 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью АВ1С.

Решение. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться уравнением плоскости, имеющим общий вид  

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0: а= -d, b=,

c=-d. Таким образом, уравнение примет вид  или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит нормаль n  к этой плоскости имеет координаты .

Длину вектора  легко найти геометрически: . Но его координаты нам всё равно необходимы.  Из простых вычислений находим, что .

Найдем угол между вектором  и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

.

Ответ: 45˚

2.4. Нахождение угла между двумя плоскостями

3. Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.
4. Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)
5. Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].
6. Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.

Угол между  двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить:

 как угол между нормалями по формуле  или в координатной форме , где  - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0,    - вектор нормали плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

Пример 5.1 В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1 Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.

Решение.

Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D1(1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).

1) Решая систему

, составляем уравнение  плоскости (АD1E): x+2y-z=0.

2) плоскость CFD1:

 отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.

 ,   , откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

2.5. Нахождение расстояния между двумя точками.

Расстояние между точками А и В можно вычислить:

 по формуле  ,

где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2);

        по формуле .

Пример 6.6 В основании пирамиды SABCD лежит ромб со стороной 2 и острым углом в 60˚. Боковое ребро SA перпендикулярно основанию пирамиды и равно 4. Найдите расстояние от середины Н ребра SD  и серединой М ребра ВС.

Решение. Поместим пирамиду в прямоугольную систему координат, как показано на рисунке.

Найдём координаты точки Н как координаты середины отрезка SD: S(0; 0; 4), D(0; 2; 0).

Чтобы найти координаты точек В и С, найдём координаты их проекций на оси. АВх=ACx=2·cos30˚=,  ABy=ACу–2=2·cos60˚=1.

Отсюда В(; 1; 0), С(; 3;0). Тогда координаты точки М равняются:

.

Теперь находим расстояние между точками, заданными своими координатами:

Ответ: .        

Пример 7.1 В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 точки Е и К – середины ребер АА1 и СD соответственно, а точка М расположена на диагонали В1D1 так, что В1М = 2МD1. Найдите расстояние между точками Q и L, где Q – середина отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что ML=2LK

Решение. Введём декартову систему координат. E(1;0;0,5), K(0,5;1,0), В1(0;0;1), D1(1;1;1). Чтобы вычислить координаты т.М, воспользуемся формулой для нахождения координат точки, которая делит отрезок B1D1 в отношении λ=2:1:

, , .

Аналогично находим координаты точки L:

.

Координаты точки Q находим по формуле координат середины отрезка:

 ,    ,     .

Ответ: .

2.6. Нахождение расстояния от точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку , есть длина отрезка перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .

        Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.

        Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от любой точки этой прямой до плоскости.

        Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.

        Расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию между точкой одной из этих плоскостей и другой плоскостью. 

        Расстояние от точки М до плоскости α

         вычисляется по формуле , где М(х0;у0;z0), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0;

        Пример 8.2 В кубе АВСDA1B1C1D1 проведена диагональ B1D. В каком отношении, считая от вершины B1, плоскость  А1BC1 делит диагональ B1D?

Решение. Составим уравнение плоскости А1BC1 и найдём расстояние от этой плоскости до каждой из точек B1 и D. Пусть l – ребро куба.

В(0;0;0), А1(l;0;l), С1(0;l;l).

Решив систему  определяем, что уравнение плоскости имеет вид: x+y–z=0 → а=1, b=1, c= –1.    B1(0;0;1), D(1;1;0).

        Теперь найдём расстояние от каждой точки до плоскости по формуле

:  

Ответ: 2:1.

        Пример 9.5 Основание прямой призмы АВСА1В1С1 – равнобедренный треугольник АВС, основание АС и высота ВD которого равны 4. Боковое ребро равно 2. Через середину К отрезка В1С проведена плоскость, перпендикулярная к этому отрезку. Найдите расстояние от вершины А до этой плоскости.

        Решение. Выберем систему координат как показано на рисунке и выпишем координаты вершин данной призмы и точки К в этой системе координат:  А(0;–2;0), В(0;0;0), С(0;2;0), В1(4;0;2), К(2;1;1). Тогда . Этот вектор перпендикулярен плоскости, значит, он является его нормалью. К тому же плоскость проходит через точку К. То есть уравнение плоскости имеет вид –2(x–2)+2(у–1)–2(z–1)=0 или, после упрощения,  2x–y+z-4=0.

        Теперь находим расстояние от т.А(0;-2;0)  до плоскости:

. Ответ: .

Заключение

Уважаемые члены жюри!

Представляю вашему вниманию свою исследовательскую работу, которой я занималась в течение последних месяцев: я искала формулы, подбирала для каждого случая именно те задачи, геометрическое решение которых перегружено формулами, редко используемыми теоремами, сложными преобразованиями и вычислениями.

Конечно, эту  работу нельзя считать авторитетным пособием по решению задания С2 ЕГЭ, так как в ней рассмотрено лишь небольшое количество задач, и ограниченное количество приёмов. Но эта работа является результатом моих дополнительных занятий математикой, поисков литературы, задач, составления слайдов.

Почему же именно эта тема заинтересовала меня?

Как вам известно, я учусь в 11 классе и по окончании школы  хочу поступить в престижный вуз. А для этого необходимы высокие баллы ЕГЭ. Я и самостоятельно, и с помощью учителя решала множество заданий уровня С, изучала редко используемые формулы и приёмы, упрощающие решение задач. Координатно-векторный метод решения был для меня открытием. Те задачи, над которыми я ломала голову несколько часов, решались за несколько минут! И мне захотелось поделиться своими знаниями с такими же выпускниками, как и я. Итог этого порыва вы видите перед собой.

Конечно, я не настаиваю  на том, что все задачи стереометрии надо решать методом координат, иногда это просто нецелесообразно. Но согласитесь, настолько простое и изящное решение не только освободит время для решения других заданий, но и будет высоко оцениваться проверяющим учителем.

Список использованной литературы

1. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ 2010: Математика /авт.-сост . И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: АСТ: Астрель , 2009. – (ФИПИ).

2. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие/ под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Калабухова. – Ростов-на-Дону: Легион – М., 2010.

3. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект -Центр, 2010.

4. Большая универсальная школьная энциклопедия/ гл. редактор М.Аксёнова – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2008.

5. www.fmclass.ru – образовательный портал «Физ/мат класс»

6. www.mathege.ru  – открытый банк заданий.

7. www.problems.ru – каталог задач.