Делимость многочленов. Метод Горнера.

IIIреспубликанская научно-практическая конференция школьников

«От школьного проекта к формированию интеллектуальной элиты РТ»

Секция:

« Математика. Информатика»

Тема

Валеев Ренат,  ученик 7 а  класса

МБОУ « Сош имени Р.З. Сагдеева»

Г. Буинск

Научный руководитель:

учитель математики

 Зудина Наталия Ивановна

                                                                            2014 г.

  Почти во всех случаях, когда в левой части уравнения стоит многочлен степени выше 2-ой, а в правой части – 0, решение уравнения сводится к преобразованиям многочлена в произведение многочленов более низкой степени (то есть к разложению многочлена на множители).     Например: . Прибавим и отнимем , а слагаемое  представим в виде . Уравнение примет вид:

      Ни одно из уравнений совокупности не имеет решений, таково же и исходное уравнение.

      Приведенный в этом примере способ разложения на множители не всегда очевиден, сложно бывает «придумать» те искусственные преобразования, которые требуются для получения формулы квадратов двучленов.

      Существует более общий, применимый во многих случаях, способ разложения многочленов на множители, который не изучается в школьном курсе.  Этот способ основывается на теории делимости многочленов.

Деление многочленов широко используется при разложении  многочленов выше второй степени на множители, что занимает одно из ведущих мест в математике для решения различных заданий.

Изучить способ разложения многочлена на множители, который основывается на теории делимости многочленов.

1. Изучить теорию делимости многочленов.
2. Решить множество примеров, которые основываются на теории делимости многочленов.
3. Создать проект.

1. Поисковый.
2. Исследовательский.
3. Практический.
4. Метод проб и ошибок.

          Свою работу я начал с рассмотрения множества пособий по математике,  использовал сеть Интернет, собрал базу данных. Из них я выбрал нужную мне информацию. Изучил теорию. Решил множество примеров, используя теорию делимости многочленов. Однотипные примеры я старался не брать. Консультировался с учителем математики Зудиной Наталией Ивановной.  Провел опрос в школе: кто знает или хотя бы знаком с теорией делимости многочленов?

Результаты были следующими:

Примеры на эту тему я встретил во время подготовки к олимпиаде по математике, а учитель мне сказала, что такие вопросы встречаются в  КИМах по ЕГЭ в 11 классе, в олимпиадных заданиях, в заданиях для факультативных работ. Это еще раз подчеркивает актуальность и практическую значимость моей темы.

Деление многочленов широко используется при разложении  многочленов выше второй степени на множители, что занимает одно из ведущих мест в математике для решения различных заданий.

                 Большой вклад в теорию деления многочленов внес французский математик  Этьен Безу, который родился в Немуре 31 марта в 1730 году. В 1758 году он стал  членом Парижской Академии Наук. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.  

               Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры: теорема Безу,   которая рассматривает деление многочлена на многочлен.

                В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках. Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шеститомный “Курс математики “, написанный им в 1764-69 годах. Безу развил метод неопределённых множителей, в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

1.Вынесение общего множителя

                за скобки:    

                        1)(a+b)·c = ac+bc

                        2)ac+bc= c·(a+b);

             2.Способ группировки:

                        1) x³-3x³+5x-15

                        2) (x³-3x²)+(5x-15)

                        3)x²(x-3)+5·(x-3)

                        4)(x-3)·(x²+5)

                        5)x³-3x²+5x-15=(x-3)·(x²+5);

            3.Использование формул сокращенного

               умножения:

                        1)x(в шестой)-1

                        2)(x³)²-1²

                        3)(x³)²-1²=(x³-1)·(x³+1)

                        4)(x-1)·(x²+x+1)·(x+1)·(x²-x+1)=

                          (x-1)·(x²+x+1)·(x+1)·(x²-x+1);

        4.Разложение квадратного трехчлена на линейные множители:

                      1)Корнями квадратного трехчлена 2x²-5x-7 являются                                                                                

                        числа -1 и 3,5,

                        значит: 2x²-5x-7=2(x+1)·(x-3.5)=(x+1)·(2x-

  Почти во всех случаях, когда в левой части уравнения стоит многочлен степени выше 2-ой, а в правой части – 0, решение уравнения сводится к преобразованиям многочлена в произведение многочленов более низкой степени (то есть к разложению многочлена на множители) и применению теоремы: Пусть в уравнении f(x)=0 функция f(х) представлена в виде произведения функций g(x)g(x)…g(х), которые определены на области определения на области допустимых значений функции f(x). Тогда множество решений уравнения f(x)=0 есть объединение множеств решений уравнений g(x)=0, g(x)=0, … g(х)=0.

      Применив любой из известных способов разложение многочлена на множители, осуществим равносильное преобразование

f(x)=0 g(x) g(x)…g(х)=0, где g(x) g(x)…g(х)= f(x).

     Уравнение g(x) g(x)…g(х)=0 равносильно совокупности уравнений

  При условии, что каждое из уравнений совокупности определено на ОДЗ исходного уравнения.

      Пример: . Прибавим и отнимем , а слагаемое  представим в виде . Уравнение примет вид:

      Ни одно из уравнений совокупности не имеет решений, таково же и исходное уравнение. Приведенный в этом примере способ разложения на множители не всегда очевиден, сложно бывает «придумать» те искусственные преобразования, которые требуются для получения формулы квадратов двучленов. Существует более общий, применимый во многих случаях, способ разложения многочленов на множители. Этот способ основывается на теории делимости многочленов.

Теорема 1 (о делении с остатком). Пусть Р(х) и В(х) – два произвольных многочлена, причем многочлен В(х) отличен от нуля. Тогда существует единственная пара многочленов Q(х) и R(х), называемых соответственно неполным частным и остатком, таких, что выполняется равенство: Р(х)=В(х)Q(х)+R(х)                                                                                            

и многочлен R(х) либо равен нулю, либо имеет меньшую степень, чем многочлен В(х).

      Рассмотрен случай, когда Q(х)≠Q(х) и  R(х)≠R(х). Можно доказать, что, если Q(х)=Q(х), а  R(х)≠R(х) (или наоборот), то двух различных разложений все равно не будет. Примененный при доказательстве теореме алгоритм построения многочлена Q(х) может быть описан чуть-чуть по другому. Рассмотрим раньше пример.

Пример. Найти неполное частное и остаток от деления многочлена  на

Решение.

Итак,

      Сформулируем теперь описание алгоритма.

      Шаг 1. Полагаем «текущий остаток» равным многочлену Р(х), «текущее частное» - нулю.

      Шаг 2. Если степень текущего остатка меньше степени В(х), то закончим на этом. Текущие значения частного и остатка – это и есть требуемые значения неполного частного и остатка от деления соответственно. если же степень текущего остатка больше или равна степени многочлена В(х), то выполняем

      Шаг 3. Делим старший член «текущего остатка» на старший член многочлена В(х), результат деления прибавляем к «текущему частному», получая тем самым его новое значение, и умножаем на В(х), а затем результат этого умножения вычитаем из «текущего остатка», получая тем самым новое значение «текущего остатка».

      Вернуться к шагу 2.

      Описанный алгоритм называется «алгоритм деления углом» потому, что обычно записывается «углом».

      Отметим, что в случае, когда В(х) – многочлен в нулевой степени (число, отличное от 0) необходимости применить алгоритм нет, деление выполняется «нацело» (остаток равен 0).

      Рассмотрим еще несколько примеров деления многочленов «углом».

1)               2)           

        -2                              

3)    

      Далее рассмотрим теоремы, связывающие понятие делимости многочленов с понятием корня многочлена.

      Напомним, что число а называется корнем многочлена Р(х), если при подстановке а вместо х в многочлен. получается 0, то есть Р(а)=0.

Теорема 2.  Если Р(х), то а является корнем многочлена Р(х).

Доказательство: Если Р(х), то существует такой многочлен Q(х), что для всякого х: Р(х)=Q(х)(х-а). Но тогда Р(а)=Q(а)(а-а)=0, что и требовалось доказать.

Теорема 3. (Теорема Безу) Остаток от деления многочлена Р(х) на (х-а) равен Р(а) (то есть, равен значению этого многочлена при х=а).

      По теореме о делении с остатком можем записать, что

Р(х)=(х-а)Q(х)+R(х), где остаток R(х) является многочленом степени ниже, чем степень делителя х-а, то есть степень R(х) равна 0, а значит остаток – постоянное число R(х)=r.   Тогда  Р(х)=(х-а)Q(х)+r.

Так как это равенство верно для любого х, то запишем его для х=а.

 Р(а)=(а-а)Q(а)+r; Р(а)=0+r, что и требовалось доказать.

      Непосредственным следствием из этой теоремы является

Теорема 4. Если а – корень многочлена Р(х),то Р(х),(то есть Р(а)=0)

      Все сформулированные теоремы позволяют сделать вывод, что если нам известен один корень х=а алгебраического уравнения Р(х)=0, то

Р(х)=(х-а)Q(х). И нахождение остальных корней уравнения сводится к решению уравнения Q(х)=0, имеющего меньшую степень, чем исходное уравнение.

    Рассмотрим решение нескольких примеров на рассмотренные темы.

1. Разложить на множители многочлен: x5-11x4+45x3-85x2+74x-24.

        Решение. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то, если этот многочлен имеет рациональные корни, они целые и являются делителями числа 24, то есть принадлежат множеству {1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;8;-8;12;-12;24;-24}.

Начинаем проверку с наименьших по модулю возможных корней. Подставляя x=1, получаем 1-11+45-85+74-24=0, то есть x=1- корень многочлена. По теореме Безу это означает, что многочлен делится на (x-1).

Делим под углом:

 x5-11x4+45x3-85x2+74x-24      ‌                   

  x5-x4                                         x4-10x3+35x2-50x+24  

-10x4+45x3-85x2+74x-24

 -10x4+10x3

             35x3-85x2+74x-24

              35x3-35x2

                                 -50x2+74x-24

                       -50x2+50x___

                      24x-24

                      24x-24

                        0

Таким образом, x5-11x4+45x3-85x2+74x-24=(x-1)(x4-10x3+35x2-50x+24).

Теперь раскладываем x4-10x3+35x2-50x+24. подстановкой убеждаемся, x=1 – его корень, и, следовательно, он делится на (x-1).

    Делим углом:

        x4-10x3+35x2-50x+24        ‌

        x4-x3                                   x3-9x2+26x-24

           -9x3+35x2-50x+24

           -9x3+9x2

                  26x2-50x+24

                  26x2-26x___

                          -24x+24

                          -24x+24

                                  0

      Следовательно, x4-10x3+35x2-50x+24=(x-1)(x3-9x2+26x-24).

      Теперь раскладываем x3-9x2+26x-24. Подстановкой убеждаемся, что x=1 и x=-1 не являются корнями этого многочлена, а x=2 – является.

      Делим углом на x-2

          x3-9x2+26x-24            

          x3-2x2                           x2-7x+12

             -7x2+26x-24

             -7x2+14x___

                      12x-24

                      12x-24

                         0

      Следовательно,   x3-9x2+26x-24=(x-1)(x2-7x+12).

      Раскладываем теперь x2-7x+12.

      Можно продолжить отыскание корней полученного квадратного трехчлена тем же методом, но проще, конечно, найти корни квадратного трехчлена привычным способом. Получим x=3 и x=4 – корни этого трехчлена.

      Итак, x5-11x4+45x3-85x2+74x-24=(x-1)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).

Заодно, мы можем сказать, что корнями многочлена x5-11x4+45x3-85x2+74x-24 являются числа 1,2,3 и 4, и других корней у этого многочлена нет.

      В разобранном примере нам встретился многочлен, имеющий корень x0  и делящийся при этом не только на (x- x0), но и на некоторую степень (x- x0) (в примере раскладываемый многочлен делится на (x-1)2). Такие корни называются кратными.

Определение. Если многочлен P(x) делится на (x-x0)k  и не делится на  

                       (x-x0)k +1,  то x0 называется корнем многочлена кратности k.

        2) Решите уравнение 2x3-7x2+5x-1=0

        Решение. Разложим левую часть уравнения на множители, для этого определим какой-нибудь один корень многочлена, стоящего в левой части уравнения. Целых корней уравнение, очевидно, не имеет, так как ни 1, ни -1 не обращают многочлен в нуль. Других целых корней многочлен не имеет. Дробный корень может быть равен  или  .

Проверкой установим, что рациональный корень один  Значит, многочлен делится на  Произведем деление «углом».

                          0

Значит,

Ответ: .

      3) Найдите а и решите уравнение  , если известен один из его корней.

     Решение. Так как  - корень уравнения, то это значение x удовлетворяет уравнению

Полученное значение a подставим в данное уравнение

По условию -корень этого уравнения, значит

Вычислим частное.

               3x-1

               3x-1

                      0

      Ответ: 

      Несмотря на свою универсальность, описанный выше способ отыскания рациональных корней многочленов и уравнений требует довольно много вычислений и в некоторых конкретны случаях может (и должен) комбинироваться с различными приемами, уменьшающими необходимое количество работы.

ГОРНЕР Вильямс Джордж (1786-1837), английский математик.
ГОРНЕР окончил Бристольскую школу (1800). С 1800 преподавал там же, в 1809-1837 гг. работал в школах Бата. Исследования относятся к теории алгебраических уравнений.
    В 1819 опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, который назвал способом Руффини — Горнера. Этот способ был известен китайцам еще в 13 веке.

    Ввёл важный для алгебры способ деления многочлена на двучлен   х – а. (схема Горнера).

    Схе́ма Го́рнера (или правило Горнера, метод Горнера) — алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы мономов, при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмом для деления многочлена на бином вида x − а.

 Схема Горнера

Схема Горнера – способ деления многочлена Pn(x)=∑i=0naixn−i=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an−1x+an на бином x−a. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число a, взятое из бинома x−a:

После деления многочлена n-ой степени на бином x−a, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна n−1. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.

Пример №1

Разделить 5x4+5x3+x2−11 на x−1, используя схему Горнера.

Решение

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x4+5x3+x2−11, расположенные по убыванию степеней переменной x. Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x−1, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅5+5=10:

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅10+1=11:

Для пятой ячейки получим: 1⋅11+0=11:

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1⋅11+(−11)=0:

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видим, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x4+5x3+x2−11  на x−1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x4+5x3+x2−11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x4+5x3+x2−11   на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена  5x4+5x3+x2−11 на x−1. В нашем случае остаток равен нулю, т.е. многочлены, делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена  5x4+5x3+x2−11   при x=1 равно нулю.

Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x4+5x3+x2−11  при x=1равно нулю, то единица является корнем многочлена   5x4+5x3+x2−11 .

Пример №2

Разделить многочлен x4+3x3+4x2−5x−47 на x+3 по схеме Горнера.

Решение

Сразу оговорим, что выражение x+3 нужно представить в форме x−(−3). В схеме Горнера будет участвовать именно −3. Так как степень исходного многочлена  x4+3x3+4x2−5x−47  равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:

Полученный результат означает, что

x4+3x3+4x2−5x−47 =(x+3)(x3+0⋅x2+4x−17)+4=(x+3)(x3+4x−17)+4

В этой ситуации остаток  от деления  x4+3x3+4x2−5x−47  на x+3 равен 4. Или, что, то самое, значение многочлена  x4+3x3+4x2−5x−47  при x=−3 равно 4. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой x=−3 в заданный многочлен:

x4+3x3+4x2−5x−47 =(−3)4+3⋅(−3)3−5⋅(−3)−47=4.

Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, – до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни, как рассмотрено в примере №3.

Пример №3

Найти все целочисленные корни многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45, используя схему Горнера.

Решение

Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед x6) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа 45;15;9;5;3;1 и −45;−15;−9;−5;−3;−1. Проверим, к примеру, число 1:

Табл. №1

Как видите, значение многочлена  x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=1 равно 192(последнее число в второй строке), а не 0, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение x=−1. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение 1, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.

Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.

Табл. №2

Итак, значение многочлена  x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 при x=−1 равно нулю, т.е. число −1 есть корень этого многочлена. После деления многочлена  x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45  на бином x−(−1)=x+1 получим многочлен x5+x4−22x3+2x2+69x+45, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x3+2x2+69x+45)(1)

Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена  x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа 45. Попробуем ещё раз проверить число −1. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:

Табл. №3

Итак, число −1 является корнем многочлена x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 . Этот результат можно записать так:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 =(x+1)(x4−22x3+24x+45)(2)

Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45=(x+1)(x5+x4−22x3+2x2+69x+45)==(x+1)(x+1)(x4−22x3+24x+45)=(x+1)2(x4−22x3+24x+45)(3)

Теперь уже нужно искать корни многочлена x4−22x3+24x+45 , – естественно, среди делителей его свободного члена (числа 45). Проверим еще раз число −1:

Число −1 является корнем многочлена x4−22x2+24x+45. Этот результат можно записать так:

x4−22x3+24x+45=(x+1)(x3−x2−21x+45)(4)

С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:

=(x+1)2(x4−22x3+24x+45)=(x+1)2(x+1)(x3−x2−21x+45)=(x+1)3(x3−x2−21x+45)(5)

Теперь ищем корни многочлена x3−x2−21x+45. Проверим еще раз число −1:

Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число 3:

В остатке ноль, посему число 3 – корень рассматриваемого многочлена. Итак, x3−x2−21x+45=(x−3)(x2+2x−15). Теперь равенство (5) можно переписать так:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 ==(x+1)3(x3−x2−21x+45)=(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)(6)

Проверим ещё раз число 3:

Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 =(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)==(x+1)3(x−3)(x−3)(x+5)=(x+1)3(x−3)2(x+5)(7)

Из последней скобки видно, что число −5 также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение x=−5, но необходимости в этом нет. Итак,

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 =(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=(x+1)3(x−3)2(x+5)

Числа −1;3;5 – корни данного многочлена. Причем, так как скобка (x+1) в третьей степени, то −1 – корень третьего порядка; так как скобка (x−3) во второй степени, то 3 – корень второго порядка; так как скобка (x+5) в первой степени, то x=−5 – корень первого порядка (простой корень).

Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:

Из таблицы следует вывод, полученный нами ранее с подробным решением:

x6+2x5−21x4−20x3+71x2+114x+45 =(x+1)3(x−3)(x2+2x−15)=(x+1)3(x−3)2(x+5)

1. Разделить многочлен   на многочлен . Найти корни.

                                      0

=

Мы не можем решить многочлен  обычным способом, как это делается в случае квадратного уравнения, поэтому чертим для  схему Горнера и далее применяем способ деления уголком:

                   0

=

                                Нет корней

Ответ: -1 ; 3

2.Найти корни уравнения        .

Многочлен  - уравнение высшей степени, чертим для него схему Горнера и в  дальнейшем для нахождения корней уравнения применяем способ деления уголком (далее при решении этого и других подобных уравнений будет применена эта же схема нахождения корней).

                                                     0

                                         0        

                                              0

                                      0

Ответ: 1; 1; -1; -1; ; .

      Личный вклад: Изучил теорию делимости многочленов, решил множество примеров с использованием данной теории, составил  тесты для самостоятельной работы, создал работу по теме «Деление многочленов», сделал сборник  примеров.

Я приобрел опыт работы с научно- методической литературой, научился

 выбирать необходимую информацию и использовать её для решения практических задач.

Подтверждение гипотезы:  Деление многочленов действительно  широко используется при разложении  многочленов выше второй степени на множители, что занимает одно из ведущих мест в математике для решения различных заданий.

     Вывод: Я считаю, что поставленную перед собой цель достиг. Изучил теорию делимости многочленов, поэтому разложение многочлена на множители выше второй степени пока  у меня не вызывает затруднений.

Освоил деление на множители многочлена с помощью способа Горнера. Данная тема актуальна, при подготовке к олимпиадам по математике , при подготовке к ГИА и ЕГЭ,  так как математику нельзя представить без разложения на множители, а значит без деления многочлена на многочлен. Созданная мною работа может использоваться другими учениками. Кроме задач с решениями в моей работе есть задачи для самостоятельной работы. Работа издана в печатном и в электронном варианте.

При создании своей работы я использовал следующую литературу:

1. Балаян Э. Н. Репетитор по математике для поступающих  в вузы. – Ростов – на – Дону, «Феникс», 2003.
2. Балаян Э. Н. Типовые задания и упражнения для подготовки к экзамену по математике. – Ростов – на – Дону, «Феникс», 2005.
3. Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И. Алгебра: задачник: 10-11 классы. – Москва, «Дрофа», 1996.
4. Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. – Москва, «Просвещение», 2000.
5. Денищева Л. О., Глазков Ю. А., Краснянская К. А, Кузина Г. П., Семенов П. В. Учебно-тренеровачные материалы для подготовки к ЕГЭ. – Москва, «Интелект центр», 2003.

Кроме этого большое количество информации я нашёл в свободной  Интернет - энциклопедии «Википедия».  Вот её адрес:

          http://ru.wikipedia.org/

ВАРИАНТ №1

Задание  А1

Целая часть дроби   имеет вид

1. 3х2+х-2;  2) 3х2-х+2;  3) 3х2+х+2;  4) 3х2+2х+1.

 Задание  А2

Остаток от деления многочлена -2х3+7х-1 на двучлен х-4 равен

1. -51;  2) -91;  3) -101;  4) -111.

 Задание  А3

Какие из многочленов делятся на  х-1

Р1=х2+3х+2;                        Р5=х4+х3+3х2+4х+1;

Р2=х3-3х2+2;                        Р6=2х5-5х3-8х+10;

Р3=х4-3х2+2 ;                Р7=4х5+х2-7х+2;

Р4=х4-2х3+2х2-9х+8;        Р8=2х6+3х5+4х3+8х+5?

1)Р2 , Р3 , Р5 , Р8 ;   2) Р1 , Р5 , Р7 ;    3)Р2 , Р3 , Р4 , Р7 ;    4) Р4 , Р6 , Р8 .

Задание  В1

Найдите сумму корней уравнения х3-3х+2=0

Задание  В 2

Укажите сумму всех целых чисел К, при которых дробь     является целым числом. 

Задание  С1

Разложите многочлен на множители х4-2х3-х2-4х+12.

Задание  С2

Решить уравнение  х4 - 5 х3 + 12х2 + 8 х -32=0.

ВАРИАНТ №2

Задание  А1

Целая часть дроби имеет вид

2. -3х2+7х+21;  2) -3х2-7х+21;  3) -3х2+7х-21;  4) -3х2-7х-21.

 Задание  А2

Остаток от деления многочлена 4х3+3х2+28 на двучлен х+4 равен

1. -180;  2) -120;  3) -80;  4) -20.

 Задание  А3

Какие из многочленов делятся на  х+1

Р1=х2+3х+2;                        Р5=х4+х3+3х2+4х+1;

Р2=х3-3х2+2;                        Р6=2х5-5х3-8х+10;

Р3=х4-3х2+2 ;                Р7=4х5+х2-7х+2;

Р4=х4-2х3+2х2-9х+8;        Р8=2х6+3х5+4х3+8х+5?

1)Р2 , Р3 , Р4 , Р7 ;   2) Р1 , Р3 , Р5 ;    3)Р2 , Р3 , Р4 , Р8;    4) Р4 , Р6 , Р8 .

Задание  В1

Найдите сумму корней уравнения  х3+х2-5х+3=0

Задание  В2

Укажите наибольшее целое число К, при котором дробь   является целым числом.

 Задание  С1

Разложите многочлен на множители х4+6х3+15х2+20х+12.

Задание  С2

Решить уравнение  9х3 - 30х2 + 9х - 2=0.

ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ

№1.        Разделить многочлен  на многочлен . Найти корни.

                  0

Ответ: 7; -5.

№2. Разделить многочлен  на многочлен  . Найти корни.

                0

D                

нет корней                        

Ответ: 0,4.

№3. Разделить многочлен   на много член . Найти  корни.

                0

Ответ: 0,75;  

№4. Разделить многочлен  на многочлен . Найти корни.

                 -остаток

Дальнейшее деление невозможно, т.к. степень последнего остатка меньше степени делителя.

№5. Разделить многочлен  на многочлен . Найти корни.

                 - остаток

Дальнейшее деление невозможно, т.к. степень последнего остатка меньше степени делителя.

№6. Разделить многочлен   на многочлен . Найти корни.

                    0

=

Ответ:  ;  

№7.  Разделить многочлен   на многочлен . Найти корни.

                        0

Ответ:

№8. Разделить многочлен   на многочлен . Найти корни.

                        0

№9. Разделить многочлен   на многочлен . Найти корни.

                           0

=

Ответ: ; 0;

№10. Разделить многочлен   на многочлен . Найти корни.

                                      0

=

Мы не можем решить многочлен  обычным способом, как это делается в случае квадратного уравнения, поэтому чертим для  схему Горнера и далее применяем способ деления уголком:

                   0

=

                                Нет корней

Ответ: -1 ; 3

№11. Найти корни уравнения        .

Многочлен  - уравнение высшей степени, чертим для него схему Горнера и в  дальнейшем для нахождения корней уравнения применяем способ деления уголком (далее при решении этого и других подобных уравнений будет применена эта же схема нахождения корней).

                                                     0

                                         0        

                                              0

                                      0

Ответ: 1; 1; -1; -1; ; .

№12. Найти решение уравнения .

Раскроем скобки:

Чертим для  схему Горнера, далее применяем способ деления уголком:

                          0

Ответ: ;  0;  2

№13. Найти корни уравнения

Раскроем скобки:

   0

                 0

Нет корней.

Ответ: 1; -2.

№14. Найти корни уравнения

                                        0        

                                     0

                        x=1

Введём замену для биквадратного уравнения:

 ;  

Ответ: 1; .

№15. Решить уравнение

Найдем корни знаменателей данного уравнения:

                                x-4=0

                                    x=4

Значит, ; ;

Наименьший общий знаменатель:  .

Умножим на него обе части уравнения:

;

 - по условию.

Ответ: 3.

№16. Решить уравнение

Найдем корни знаменателей данного уравнения:

                                x+4=0

Значит, ; ;

Наименьший общий знаменатель:  .

Умножим на него обе части уравнения:

;

 - по условию.

Ответ: 3.