У меня возник вопрос: как построить на клетчатой бумаге квадраты с вершинами в узлах сетки площадью 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, … клеток.
Построение квадратов площадью 1, 4, 9, 16, 25 клеток для меня не составили труда. А как построить квадрат площадью 2, 5, 8, 10, 13, 26 и.т.д. Я составил план работы:
Цель моей работы – выявить, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя.
Сначала я рассмотрел частный случай. Составил мозаику из цветных и светлых треугольников. Для первого случая взял прямоугольные, равнобедренные треугольники и доказал, что S=c2, где c2=2a2, как показано на рисунке. Для доказательства общего случая взял квадрат со стороной а+b и изобразил четыре прямоугольных треугольника со сторонами a и b, как показано на рисунке 1. «Смотри!». И действительно, взглянув на эти рисунки, видим, чтобы найти площадь квадрата со стороной с, надо из площади прямого квадрата вычесть 4 площади закрашенных прямоугольных треугольников, т.е. 2ab. Эти треугольники одинаковые. Если расположить эти треугольники, как показано на рис.2, то получится два квадрата, стороной a и b. Площадь одного квадрата равна a2, а второго ─ b2. Сумма их площадей как раз равна площади квадрата со стороной с, потому что это площадь большого квадрата без тех же четырех прямоугольных треугольников. Значит, S=a2+b2. Если сторону «светлого» квадрата обозначить через c, то его площадь S=c2. Поэтому c2=a2+b2.(рис.1), что и составляет утверждение теоремы Пифагора. Я так же показал, что квадрат площадью 31 клетка невозможно построить.
Вложение | Размер |
---|---|
konkurs_issledovatelskikh_rabot.docx | 343.7 КБ |
Исследование одной задачи
Квадраты на клетчатой бумаге
ХАФИЗОВ ДАНИЯР
Республика Татарстан, Тукаевский район, село Кузкеево,
МБОУ «Кузкеевская СОШ», 6 класс
Научный руководитель: Мингалимова Резеда Рашитовна
2014
Оглавление.
1.Введение................................................................................................................................3
2.Площади «прямых квадратов»............................................................................................4
3.Теорема Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников......................4
4. Площадь «светлого» квадрата............................................................................................5
5. Заключение..........................................................................................................................6
Введение.
Задача взята из упражнения замечательной книжки И.Ф. Шарыгина, Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия. 5-6 классы», М., Дрофа, 2008: построить на клетчатой бумаге квадраты с вершинами в узлах сетки площадью 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, … клеток. Задачи на нахождение площадей квадрата, прямоугольника, а так же прямоугольного треугольника решаются в начальных классах. В данной работе ученик рассматривает квадраты, вершины которых лежат в вершинах клеток, площади которых 1, 2, 4, 8, 9, 13, 25, 26 клеток. При исследовании использовал факты, изложенные в теореме Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников, для прямоугольных треугольников. План работы:
Цель нашей работы – выявить, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя.
Основная часть.
Задача. Квадраты какой площади можно нарисовать на клетчатой бумаге? (Вершины должны лежать в вершинах клеток.)
Для начала попробуем нарисовать квадраты площадью 1, 2, 4, 5, 8, 13, 26 клеток.
Построим несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найдем их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1клетке.
Их площадь найти легко: это квадраты длин их сторон, а стороны равны целому числу клеток. Площади прямых квадратов – это квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25 и т.д.
Немного усложним задачу.
Нарисовать квадрат, площадь которого 2, 8, 13, 26 клеток.
Рассмотрим частный случай. Составим мозаику из цветных и светлых треугольников. Для первого случая возьмем прямоугольные, равнобедренные треугольники. Достаточно взглянуть на мозаику и убедиться: S=c2, где c2=2a2 .Квадрат, построенный на длинной стороне содержит 4 треугольника, а на каждой из равных сторон построен квадрат, содержащий 2 треугольника.
Для доказательства общего случая возьмем квадрат со стороной а+b и изобразим четыре прямоугольных треугольника со сторонами a и b, как показано на рисунке 1. «Смотри!». И действительно, взглянув на эти рисунки, видим, чтобы найти площадь квадрата со стороной с, надо из площади прямого квадрата вычесть 4 площади закрашенных прямоугольных треугольников, т.е. 2ab. Эти треугольники одинаковые. Если расположить эти треугольники, как показано на рис.2, то получится два квадрата, стороной a и b. Площадь одного квадрата равна a2, а второго ─ b2. Сумма их площадей как раз равна площади квадрата со стороной с, потому что это площадь большого квадрата без тех же четырех прямоугольных треугольников.
Значит,
S=a2+b2.
Если сторону «светлого» квадрата обозначить через c, то его площадь S=c2. Поэтому c2=a2+b2.(рис.1), что и составляет утверждение теоремы Пифагора.
Можно нарисовать квадрат, площадь которого 2, так как 2=1+1.
Если площадь равна 8, то a= 2, b=2.
Какими же числами может выражаться площадь «светлого» квадрата с вершинами в узлах сетки? Это такие числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. Например,
13=4+9
20=16+4
26=1+25
50=25+25.
Заключение.
Мне интересно было исследовать, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя. Например, число31нельзя представить в виде суммы квадратов целых чисел. Оказывается, все простые числа, кроме 2, представимые в виде а2 + b2, представимы в виде 4п + 1. И наоборот: все простые числа, представимые в виде 4п + 1, представимы в виде а2 + b2. Но это другая исследовательская работа.
Список использованной литературы.
Три загадки Солнца
Лавовая лампа
Сочини стихи, Машина
Философские стихи Кристины Россетти
Горячо - холодно