Исследование одной задачи. Квадраты на клетчатой бумаге.

              Исследование одной задачи

Квадраты на клетчатой бумаге

ХАФИЗОВ ДАНИЯР

Республика Татарстан, Тукаевский район, село Кузкеево,

МБОУ «Кузкеевская СОШ», 6 класс

Научный руководитель: Мингалимова Резеда Рашитовна

2014

Оглавление.

1.Введение................................................................................................................................3

2.Площади «прямых квадратов»............................................................................................4

3.Теорема Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников......................4

4. Площадь «светлого» квадрата............................................................................................5

5. Заключение..........................................................................................................................6

Введение.

Задача взята из упражнения  замечательной книжки И.Ф. Шарыгина, Л.Н. Ерганжиевой «Наглядная геометрия. 5-6 классы», М., Дрофа, 2008: построить на клетчатой бумаге квадраты с вершинами в узлах сетки площадью 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, … клеток. Задачи на нахождение площадей квадрата, прямоугольника, а так же прямоугольного треугольника решаются в начальных классах. В данной работе ученик рассматривает квадраты, вершины которых лежат в вершинах клеток, площади которых 1, 2, 4, 8, 9, 13, 25, 26 клеток. При исследовании использовал факты, изложенные в теореме Пифагора для равнобедренных прямоугольных треугольников, для прямоугольных треугольников. План работы:

Цель нашей работы – выявить, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя.

Основная часть.

Задача. Квадраты какой площади можно нарисовать на клетчатой бумаге? (Вершины должны лежать в вершинах клеток.)

 Для начала попробуем нарисовать квадраты площадью 1, 2, 4, 5, 8, 13, 26 клеток.

1. Квадраты нарисованы прямо:

Построим несколько квадратов с вершинами в узлах сетки и найдем их площади. Пусть сторона одного квадратика сетки равна 1клетке.

Их площадь найти легко: это квадраты длин их сторон, а стороны равны целому числу клеток. Площади прямых квадратов – это квадраты целых чисел: 1, 4, 9, 16, 25 и т.д.

Немного усложним задачу.

Нарисовать квадрат, площадь которого 2, 8, 13, 26 клеток.

Рассмотрим частный случай. Составим мозаику из цветных и светлых треугольников.  Для первого случая возьмем прямоугольные, равнобедренные треугольники. Достаточно взглянуть на мозаику и убедиться: S=c2, где c2=2a2 .Квадрат, построенный на длинной стороне содержит 4 треугольника, а на каждой из равных сторон построен квадрат, содержащий 2 треугольника.

Для доказательства общего случая возьмем квадрат со стороной а+b и изобразим четыре прямоугольных треугольника со сторонами a и b, как показано на рисунке 1. «Смотри!». И действительно, взглянув на эти рисунки, видим, чтобы найти площадь квадрата со стороной с,  надо из площади прямого квадрата вычесть 4 площади закрашенных прямоугольных треугольников, т.е. 2ab. Эти треугольники одинаковые. Если расположить эти треугольники, как показано на рис.2, то получится два квадрата, стороной a и b. Площадь одного квадрата равна a2, а второго ─ b2. Сумма их площадей как раз равна площади квадрата со стороной с, потому что это площадь большого квадрата без тех же четырех прямоугольных треугольников.

Значит,

S=a2+b2.

Если сторону «светлого» квадрата обозначить через c, то его площадь S=c2. Поэтому c2=a2+b2.(рис.1), что и составляет утверждение теоремы Пифагора.

Можно нарисовать квадрат, площадь которого 2, так как 2=1+1.

Если площадь равна 8, то a= 2, b=2.

Какими же числами может выражаться площадь «светлого» квадрата с вершинами в узлах сетки? Это такие числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. Например,

13=4+9

20=16+4

26=1+25

50=25+25.

Заключение.

Мне интересно было исследовать, квадраты какой площади можно так построить, а какой – нельзя. Например, число31нельзя представить в виде суммы квадратов целых чисел. Оказывается, все простые числа, кроме 2, представимые в виде а2 + b2, представимы в виде 4п + 1. И наоборот: все простые числа, представимые в виде 4п + 1, представимы в виде а2 + b2. Но это другая исследовательская работа. 

Список использованной литературы.

1. Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика. – М.:Педагогика, 1989. -352 с.: ил.
2. Сгибнев А.И. Исследовательские задачи для начинающих.- М.: МЦМНО, 2013.- 120 с.
3. Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Л. Н.«Наглядная геометрия. 5-6 классы», М., Дрофа, 2008.