Методы решения систем уравнений и их применение при решении экономических задач
Уметь решать систему уравнений нужно не только и не столько в задачах, начинающихся словами «решить систему …», хотя такие задачи встречаются наиболее часто. Кроме этого, решение многих текстовых задач немыслимо без навыков работы с системами уравнений. Причем зачастую проблема состоит не в том, чтобы записать систему, адекватную текстовому условию задачи, а в том, чтобы эту систему решить!
Решить систему уравнений - это значит найти все её решения или установить, что их нет.
Существует множество методов решения системы уравнений: метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменных, графический метод и др. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).
Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.
При моделировании экономических задач, таких как задачи управления и планирования производства, определения оптимального размещения оборудования, оптимального плана производства, оптимального плана перевозок грузов (транспортная задача), распределения кадров и др., может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.
Математические модели таких задач представляются линейными уравнениями. Если задача многомерна, то ее математическая модель представляется системой линейных уравнений.
Данная работа актуальна с точки зрения освоения материала и для практического применения знаний не только в математике, но и в реальных жизненных ситуациях. Например, особенно часто применять такие знания требуется в экономической сфере.
Цель работы – исследовать теоретические и практические основы эффективности использования различных методов решения систем уравнений и их применения при решении экономических задач.
Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:
· изучить теоретические основы систем уравнений;
· рассмотреть основные методы решения систем уравнений;
· исследовать эффективность методов на конкретных примерах при решении экономических задач.
Предметом исследования являются методы решения систем уравнения.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 nou_avdeevoy_yu.doc | 1.3 МБ |
 avdeeva_yulya_litsey_165_7a_klass.ppt | 804.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Актуальность выбранной темы Данная работа актуальна с точки зрения освоения материала и для практического применения знаний не только в математике, но и в реальных жизненных ситуациях. Например, особенно часто применять такие знания требуется в экономической сфере.
Цель и задачи Цель работы – исследовать теоретические и практические основы эффективности использования различных методов решения систем уравнений и их применения при решении экономических задач. Для достижения указанной цели решаются следующие задачи : изучить теоретические основы систем уравнений; рассмотреть основные методы решения систем уравнений; исследовать эффективность методов на конкретных примерах при решении экономических задач.
В первой главе рассмотрены теоретические основы систем уравнений и представлена классификация систем уравнений по видам.
Во второй главе представлены основные методы решения систем уравнений и рассмотрены решения различных систем уравнений различными методами, а также изучены два новых метода - метод Гаусса и метод Крамера .
у - 2х=4, 7х - у =1; Выразим у через х у=2х+4, 7х - у=1; Подставим у=2х+4, 7х - (2х+4)=1; Решим уравнение у=2х+4, х=1; Подставим у=6, х=1. Ответ: (1;6). 7х - 2х - 4 = 1; 5х = 5; х=1 ; Метод подстановки
7х+2у=1, 17х+6у=-9; | ·(-3) Уравняем модули коэффи- циентов перед у -21х-6у=-3, 17х+6у=-9; Сложим уравне- ния почленно ____________ - 4х = - 12, 7х+2у=1; Решим уравнение х=3, 7х+2у=1; Подставим х=3, 7·3+2у=1; Решим уравнение х=3, 21+2у=1; х=3, 2у=-20; х=3, у=-10. Ответ: (3; - 10) Метод алгебраического сложения
Метод введения новых переменных Оба эти значения удовлетворяют условию а потому являются корнями рационального уравнения с переменной t. Задача сводится к решению двух систем уравнений методом подстановки: Ответ: (2;1);(-2;-1).
у - х=2, у+х=10; Выразим у через х у=х+2, у=10-х; Построим график первого уравнения у=х+2 х у 0 2 -2 0 Построим график второго уравнения у=10 - х х у 0 10 10 0 1 0 1 2 10 x 4 6 10 -2 y y=x+2 y=10 - x Ответ: (4; 6) Графический метод
7х+2у=1, 17х+6у=-9; Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных 7 2 17 6 = = 7·6 - 2·17 = 42 - 34 = 8 Составим определи- тель x , заменив в определи- теле первый столбец на столбец свободных членов 1 2 -9 6 x = = 1·6 - 2·(-9) = 6 + 18 = 24 7 1 17 -9 y = = 7·(-9) - 1·17 = - 63 -17= -80 Составим определи- тель y , заменив в определи- теле второй столбец на столбец свободных членов x х= = = 3; 24 8 Найдем х и у -80 у= = 8 y = -10. Ответ: х=3; у= -10. Метод Крамера
Метод Гаусса
В отличие от метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных.
В третьей главе я попыталась эффективно применить разные методы решения систем уравнений при решении экономических задач .
Задача В январе 2006 г. на счет в банке была положена некоторая сумма денег. В конце 2006 г. проценты по вкладу составили 2000 р. Добавив в январе 2007 г. на свой счет еще 18 000 р., вкладчик пришел в банк закрыть счет в декабре 2007 г. и получил 44 000 р. Какая сумма была положена на счет первоначально и сколько процентов в год начисляет банк?
После преобразований системы мы можем применить один из методов, рассмотренных во второй главе.
Однако следует учесть что: 1. Система нелинейных уравнений, поэтому исключим метод Крамера и метод Гаусса. 2. Графический метод также не подходит из-за громоздкости графика (слишком большие параметры). 3. Из оставшихся методов более всего подходит метод подстановки .
Пусть a ij - количество продукции j, произведенной предприятием i, а b i - стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения a ij и b i заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее методом Крамера и методом Гаусса. Задача
В процессе написания данной работы я научилась: • пользоваться научной литературой, сопоставлять и сравнивать различные точки зрения, выделять главное; изучила такие теоретические вопросы как, понятия матрицы (и ее свойства), преобразования над строками в матрице, понятие определителя, понятие расширенной матрицы, правило вычисления определителя (правило треугольника). • эффективно применять различные методы решения систем уравнений при решении математических и экономических задач.
Спасибо за внимание!
Цветение вишни в лунную ночь
Рисуем ветку берёзы сухой пастелью
Сочини стихи, Машина
Снежный всадник
Городецкая роспись