Ускоренные вычисления без калькулятора и карандаша

Министерство образования и науки РБ

Муниципальное  автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа№48»  

Городская научно- практическая конференция

« Шаг в Будущее»

Секция «алгебра»

ТЕМА:

 «  Ускоренные вычисления

                                     без карандаша и компьютера»

                              Автор работы: Щербаков Александр  11класс

Руководитель:  Маласова Елизавета Дамбаевна

        2018.

Содержание

1. Введение  
2. Развитие понятия устного вычисления  
3. Известные российские « супер – счётчики»
4. Алгоритмы ускоренных  вычислений

 3.1 Умножение на однозначные числа

 3.2 Умножение и деление двузначных чисел

 3.3 Извлечение квадратного корня

3.4 Извлечение приближённого значения корня

3.5 Деление проще и быстрей

 3.3 Систематизированные правила умножения

5. Заключение  
6. Литература
7. Приложение

Введение

Проблема 

В современной жизни каждому человеку часто приходится выполнять огромное количество расчётов и вычислений. Более того, в интересах каждого уметь считать быстро и, разумеется, правильно.  А ведь примеров, когда нужно выполнять подобные подсчёты, можно привести бесчисленное множество. Конечно, в наше время можно легко воспользоваться калькулятором или мобильным телефоном. Но это неэтично, неуважительно к работнику прилавка. Лучше, если все вычислительные действия выполнять в уме.

На уроках математики мне приходится, много делать письменных  вычислений и это не всегда удобно. А ведь существует много приемов упрощения арифметических действий. Это и называется – устное вычисление.

Актуальность проблемы

Владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе.

Гипотеза:

 Если я смогу собрать необходимый материал по данной теме, тогда и решения подобных примеров не вызовут у меня затруднения.

Цель работы:

-Знакомство с различными приемами устного счета.

 – показать лёгкие, быстрые и точные методы счёта, которые не только помогут вам во время покупок или при каких-либо расчётах, но вызовут немалое удивление у знакомых и  товарищей, ведь свободное выполнение счётных операций в значительной степени может свидетельствовать о незаурядности вашего интеллекта

 Задачи:

• Отыскать различные приемы выполнения устных вычислений;
• Систематизировать систему устных упражнений, способствующих  формированию вычислительных  навыков;
• Составить сборник с разными видами алгоритмов упрощенных вычислений.

Пути решения:

• Работа над формированием собственных умений и навыков;
• Подбор материала для составления сборника.

Продукт деятельности: сборник алгоритмов ускоренных вычислений.

Способ представления: компьютерная презентация и устное выступление.

Развитие понятия устного вычисления.

Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Именно поэтому учителю необходимо развивать у детей интерес к этой науке, предмету.

Устное вычисление это не случайный этап урока, он находится в методической связи с основной темой и носит  проблемный характер. Устное вычисление активизирует мыслительную деятельность  человека. При их выполнении активизируется, развиваются память,  речь,  внимание,  способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.

Так что устное вычисление - это математические вычисления, осуществляемые человеком без помощи дополнительных устройств и приспособлений.

Формирование навыков устного счёта занимает особое место в школе и является одной из главных задач обучения математике на этом этапе.  В первые годы обучения закладываются основные приёмы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у детей память, речь, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции.

Феномен особых способностей в устном счёте встречается с давних пор. Как известно, ими обладали многие учёные, в частности, Андре Ампер и Карл Гаусс. Однако, умение быстро считать было присуще и многим людям, чья профессия была далека от математики и науки в целом.

Прием вычислений складывается из ряда последовательных операций, а число операций определяется прежде выбором теоретической основы вычислительного приёма.

         Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия и выполнять эти операции достаточно быстро.

        Полноценный вычислительный навык характеризуется правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом, прочностью.

        Правильность - ученик правильно находит результат арифметического действия, то есть правильно выбирает и выполняет операции, составляющие приём.

Осознанность - ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения, в любой момент может объяснить, как он решал и почему так можно решать.

         Рациональность - ученик выбирает для данного случая более рациональный приём, то есть выбирает те из возможных операций, выполнения которых легче других и быстрее приводит к результату.

        Обобщенность - ученик может применить приём вычисления к большому числу случаев, то есть способен перенести приём вычисления на новые случаи.

         Автоматизм - ученик выполняет и выделяет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операций. Высокая степень автоматизации должна быть достигнута по отношению к табличным случаям сложения и вычитания, умножения и деления.

         Прочность - ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

          Формирование вычислительных умений и навыков – сложный длительный процесс.     

 Внимание - важное и необходимое условие эффективности всех видов деятельности человека, прежде всего трудовой и учебной. Внимательность необходима человеку в его повседневной жизни - в быту, в общении с другими людьми и т.д.

Известные российские « супер - счетчики».

До второй половины XX века на эстраде были популярны выступления специалистов в устном счёте. Иногда они устраивали показательные соревнования между собой, проводившиеся, в том числе и в стенах уважаемых учебных заведений.

Арон Чиквашвили — «чудо-счётчик»

В Ванском районе Грузии живет Арон Чиквашвили. Он свободно манипулирует в уме многозначными числами. Как-то друзья решили проверить возможности чудо-счетчика. Задание было суровым: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) — «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17 427 букв, 1835 слов. На проверку ушло пять часов. Ответ оказался правильным.

Владимир Кутюков — «человек-календарь».

За считанные секунды, проведя в уме сотни операций, Владимир Кутюков способен сообщить, что 1 января 180 года было пятницей. Он тут же ответит на вопрос, сколько секунд прошло со времени смерти Нерона до падения Константинополя или каким днем будет 13 октября 28448723 года... И все это с учетом високосных лет, смены календаря в 1582 году и т.п. трудностей, в том числе и недесятичных соотношений (неделя в семь дней, сутки в 24 часа, час в 60 минут).

 Уникальные способности устного календарного исчисления, которые проявил инженер из Йошкар-Олы, подтверждены протоколом проверки, проведенной 18 мая 1992 года в опытно-конструкторском бюро приборов контроля и автоматики марийской столицы.

А. В. Некрасов — «человек-компьютер»

Слесарь из Липецка А. В. Некрасов умеет в уме извлекать корни степени от двух до тысячи из чисел, состоящих из... нескольких сотен цифр. Перед проведением счета он готовится (сосредоточивается) в течение нескольких десятков минут. При этом он начинает раскачивать головой. Затем просит показать ленту с цифрами, пристально вглядывается в них и по прошествии 20 секунд, глядя в пространство, начинает диктовать ответ. Пять первых цифр он называет правильно, а шестая является результатом округления последующих цифр.

Некрасов пояснил: числа ответа являются мысленному взору «в виде цифр в шарах». Опыты подтверждают, что он владеет телепатией, телекинезом.

Алгоритмы ускоренных и упрощенных вычислений.

Математика, которую мы изучаем в школе, позволяет найти удобные алгоритмы для быстрого выполнения арифметических вычислений, например для быстрого умножения  различных чисел  или возведения чисел в квадрат.
                                                         Умножение на 5.
      Большое количество людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Или нет? Этот прием невероятно прост.
Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимания на запятую и в конце добавьте 5. Это срабатывает всегда: 
2682 * 5 = (2682 / 2) & 5 или 0 
2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0) 
13410.

Давайте попробуем другой пример: 
5887 * 5 
2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5) 
29435

                                                      Умножение на 9.
       Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9*3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9*3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

Умножение на 4.

Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2: 

58 * 4 = (58 * 2) + (58 * 2) = (116) + (116) = 232.

            Быстрое возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 5.
Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5. Умножьте первую цифру саму на себя +1, а в конце допишите 25. Вот и все! 
25 2  = (2*(2+1)) & 25 
2 * 3 = 6

252  =  625.

При устных вычислениях удобно пользоваться “телефонным способом чтения чисел”.

Каждое число разбивается на грани по 1–2 цифры (иногда 3) в каждой, и каждая грань читается как отдельное число. Например: 5328 можно читать так: пятьдесят три двадцать восемь; 14253 можно читать так: один сорок два пятьдесят три.

Для облегчения формулировки многих алгоритмов ускоренных вычислений полезно воспользоваться выражением “к данному числу (а) приписать двумя  цифрами (аналогично – тремя и т. д.) другое данное число b”.

Это выражение означает: “умножить число,  на 100 (соответственно – на 1000 и т. д.) и к тому, что получится, прибавить число b”. Например, приписать к числу 38 двумя цифрами число 9 означает: написать число 3809; А приписать к тому же числу 38 двумя цифрами число 142 означает: написать число 3800 + 142, то есть число 3942. Запись удобно расположить следующим образом:

3842 - 3942

Умножение на 11.

Все мы знаем, что при умножении на 10 к числу добавляется 0, а знаете ли вы, что существует такой же простой способ умножения двузначного числа на 11? Вот он:
Возьмите исходное число и представьте промежуток между двумя знаками (в этом примере мы используем число 52): 5_2

Теперь сложите два числа и запишите их посередине: 5(5+2)2
Таким образом, ваш ответ: 572.
Если при сложении чисел в скобках получается двузначное число, просто запомните вторую цифру, а единицу прибавьте к первому числу: 

9(9+9)9 

(9+1)89 
10_8_9 
1089 – это срабатывает всегда.

Умножение двузначных чисел, меньших   20.

1. К одному из чисел прибавить число единиц второго множимого.

2. Сумму увеличить в 10 раз

3. Сложить с произведением цифр разряда единиц обоих чисел. 
Пример:

18 * 13 = 234

18; 13 --> 18 + 3 = 21 --> 21*10 = 210 --> 3*8 = 24 --> 210 + 24 = 234 или

13; 18 --> 13 + 8 = 21 --> 21*10 = 210 --> 8*3 = 24 --> 210 + 24 = 234

Доказательство: (10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a*b 

Возведение в квадрат числа, близкого к 50.

1. Вычти из этого числа 25,                                                    

2. Припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.

Примеры. 1) 582 = 3364. 

Доказательство: 

58 – 25 = 33;  58-50=8;  82 = 64;  582 = 3364

Умножение двузначных чисел, близких к 100.

Если спросить шестиклассника, какие двузначные числа труднее всего перемножить, то он, вероятно, скажет: “Числа, близкие к 100, например: 98·97”.

На самом же деле такие двузначные числа очень легко умножить даже в уме. Назовите каких-либо два числа, близких к сто. Пусть назвали 94 и 97.

Пишем: 94·97= 9118 (девяносто один – восемнадцать).

 Как мы произвели умножение? Узнаем, каков недостаток первого сомножителя (94) до 100. Это будет 6. Недостаток второго сомножителя (97) до 100 равен 3. Затем из одного сомножителя (94) вычитаем недостаток (3) второго сомножителя до 100; получаем 91. Приписываем к результату произведения 3·6, то есть 18.

Здесь мы пользуемся таким алгоритмом: если хочешь перемножить два двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) Найди недостатки сомножителей до сотни;

2) Вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) К результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.

Возьмем другие примеры:

92·85=7720=7820;                                                                              88·89=7732=7832.

Умножение двузначного числа на 101.

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено. 
Пример:

57 * 101 = 5757      57 --> 5757

Доказательство:

(10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b 
Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п. 

Умножение чисел на 22, 33,…..99

Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 * 11; 55 = 5 * 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11 (см. выше п. 1):
24 * 22 = 24 * 2 * 11 = 48 * 11 = 528;
23 * 33 - 23 * 3 * 11 = 69 * 11 = 759;
                                   Умножение  и деление чисел на 25.
Для того, чтобы научиться устно умножать и делить на 25 и 75, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 4.
На 4 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4:
Примеры:
124 делится на 4, так как 24 делится на 4;
1716 делится на 4, так как 16 делится на 4;
1800 делится на 4, так как 00 делится на 4.
Чтобы число умножить на 25, надо это число разделить на 4 и умножить на 100. 
 484 х 25 = (484 : 4) х 25 х 4 = 121 х 100 = 12 100; 124 х 25 - 124 : 4 х 100 - 3100.
Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4. 
12 100 : 25 = 12 100 : 100 х 4 = 484;    3100:25 = 3100:100x4 = 124.

                                         Умножение и деление на 75.
Чтобы число умножить на 75, надо это число разделить на 4 и умно-жить на 300.
 32 х 75 = (32 : 4) х 75 х 4 = 8 х 300 = 2400; 48 х 75 = 48 : 4 х 300 = 3600.
Чтобы число разделить на 75, надо это число разделить на 300 и умножить на 4. 
 2400:75 = 2400:300x4 = 32; 3600 : 75 = 3600 : 300 х 4 = 48.

                        Умножение и деление чисел на 50.
Чтобы число умножить на 50, надо это число разделить на 2 и умножить на 100. 
Примеры:
432 х 50 = (432 : 2) х 50 х 2 = 216 х 100 = 21 600; 848 х 50 = 848 : 2 х 100 = 42 400.

Чтобы число разделить на 50, надо это число разделить на 100 и умножить на 2.
 
21 600 : 50 = 21 600 : 100 х 2 = 432;, -.' 42 400 : 50 = 42 400 : 100 х 2 = 848. ..

                        Умножение и деление чисел на 37.
Прежде чем научиться устно умножать и делить на 37, надо хорошо знать признак делимости и таблицу умножения на 3.
На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3:
Примеры:
42 кратно 3, так как 4 + 2 = 6, 6 делится на 3;
123 кратно 3, так как 1 + 2 + 3 = 6, 6 делится на 3.
Отсюда: 24 х 37 - (24 : 3) х 37 х 3 = 8 х 111.- 888, 27 х 37 = 27 : 3 х 111 = 999.

Чтобы устно умножить число на 37, надо это число разделить на 3 и умножить на 111.
Чтобы устно разделить число на 37, надо это число разделить на 111 и умножить на 3.

 999 : 37 = 999 : 111 х 3 = 27; 888 : 37 = 888 : 111 x 3 = 24.

                        Умножение и деление чисел на 111, 1111 и т.д.
Кто знает, как умножать и делить на 11, может легко умножать и делить на 111. Рассмотрим примеры.
Если сумма цифр меньше 10, то легко умножать на 111, 1111 и т.д.
 24 х 111= 2 (2 + 4) (2 + 4) 4 = 2664;
36 х 111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) 6 = 3996;
24 х 1111 = 2 (2 + 4) (2 + 4) (2 + 4) 4 = 26 664;
36 х 1111 = 3 (3 + 6) (3 + 6) (3 + 6) 6 = 39 996.
       Чтобы двузначное число умножить на 111, 1111 и т.д., надо мысленно цифры этого числа раздвинуть на два, три и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами.
72 х 111 111 = 7 999 992.
Раздвинуть 7 и 2 на 5 шагов.
Если единиц 7, то шагов будет на 1 меньше, то есть 6.
Если единиц 9, то шагов будет 8 и т.д.
Немного сложнее, если сумма цифр равна 10 или более 10.
Примеры:
48 х 111 = 4 (4 + 8) (4 + 8) 8 = 4 (12) (12) 8 = (4 + 1) (2 + 1) 28 = 5328;
75 х 111 = 7 (7 + 5) (7 + 5) 5 = 7 (12) (12) 5 = 8325.
В этом случае надо к первой цифре 7 прибавить 1, получим 8, далее 2 + 1 = 3; 
а последние цифры 2 и 5 оставляем без изменения. Получаем ответ:8325
85 х 111 = 8 (13) (13) 5 = (8 + 1) (3 + 1) 35 = 9425;
69 х 111 = 6 (15) (15) 9 = (6 + 1) (5 + 1) 59 = 7659.
Зная, как умножать на 11, 25, 37, 75, 125, можно устно умножать некоторые числа, большие 1000.
Примеры:
24 * 1500 - 24 * (1000 + 500) = 24 000 + 12 000 = 36 000

Умножение чисел, оканчивающихся на 1.

При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо перемножить цифры десятков и к полученному произведению прибавить сумму десятков и единицу.
Примеры:
1. 81 х 31 = ?
80x30 = 2400, 80 + 30 = 110, 1x1 = 1;
81 * 31 = 2511.
2. 21 * 31 = ?
20 * 30 = 600, 20 + 30 = 50, 1x1 = 1;
21 * 31 = 651.
3. 61 * 51 = 3111; 31 * 41 = 1271

Извлечение квадратного корня.

Итак, полный квадрат может оканчиваться только цифрами: 1; 4; 5; 6; 9.

Например.

 = 73

1. 
2.  > 5329, следовательно из тройки и семёрки на конце берём 3.

Нахождение приближённого значения корня

При a ≈ b

 ≈

 =   ≈    =   ≈ 3,16;

  =   ≈  ≈ 10 + 11.3 ≈ 21,3;

  =   ≈  ≈ 23,74 + 25 ≈ 48,7.

Деление проще и быстрей.

Пример. 1225 : 25

Решение. Умножаем оба числа на 2. Получаем (1225 ∙ 2) : (25 ∙ 2) = 2450 : 50. Сокращаем оба числа на 10. 245 : 5 = 49

Ответ. 49

Пример. 2541 : 231

Решение. Оба числа делятся на 11, поскольку в них суммы цифр, стоящих на чётных местах, и суммы на нечётных равны. Делим и то и другое на 11. Получаем: 231 : 11. Видим то же самое. 231это есть 212. Следовательно частное от деления чисел равно 11.

Ответ. 11

 Заключение 

 Цель моей работы – показать лёгкие, быстрые и точные методы счёта, которые не только помогут вам во время покупок или при каких-либо расчётах, но вызовут немалое удивление у знакомых и  товарищей, ведь свободное выполнение счётных операций в значительной степени может свидетельствовать о незаурядности вашего интеллекта. Приёмы, представленные в моей работе, очень полезны для учащихся которым могут пользоваться как ученики, так и учителя при подготовке и сдаче ЕГЭ и ОГЭ.

 Конечно, они могут ими не пользоваться, но у кого-то вызовут живейший интерес. Поставленных  перед собой целей  и задач я добился

 Мной собран  для учащихся полезный сборник с  алгоритмами и подобными примерами и заданиями. ( приложение)

Список литературы.

1. Ф. Ф. Нагибин «Математическая шкатулка», М., «Наука», 1965г.
2. С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапов «Старинные занимательные задачи», М., «Наука», 1988г.
3. Г. Штейнгауз «Сто задач», М., «Наука», 1982г.
4. А. С. Сорокин «Техника счёта».
5. Л. С. Каган «Устный счёт и рационализация вычислений».
6. Б. И. Гавриков «Без карандаша и компьютера» 1990г.