Задачи, которые могли бы стать теоремами

Слайд 1

Слайд 2

Объект исследования : треугольники. Предмет исследования : геометрические задачи на применение определения и свойств треугольников, методы и приёмы их решения. Методы исследования : сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации. Цель исследования: Изучить свойства треугольников, найти задачи, которые можно сформулировать как теоремы, показать эффективность применения таких задач, составить сборник некоторых задач, которые могли бы стать теоремами для учащихся на ОГЭ, ЕГЭ.

Слайд 3

Актуальность исследования : Геометрические задачи, связанные с треугольниками, очень содержательны и встречаются во многих задачах. Цель моей работы: найти такие задачи, которые могли бы быть теоремами. Метод работы: поиск и решение задач, которые можно применять при решении других задач, как теоремы, в различных сборниках.

Слайд 4

1.1. Задачи о высоте и медиане прямоугольного треугольника. В прямоугольном треугольнике, с острым углом в 30° высота и медиана, проведенные из вершины прямого угла, делят прямой угол на три равные части.

Слайд 5

Доказательство. Рассмотрим Δ BKC . С K - медиана, поэтому AK = KC = BK ( K - центр окружности описанной около прямоугольного треугольника ABC ). ے В= 60°, следовательно, Δ BKC равносторонний. С M - медиана Δ B К C . Рассмотрим прямоугольный Δ BMC . ے M СВ= 30° (30°+ 60°= 90°– свойство острых углов прямоугольного треугольника) . С M – биссектриса Δ B К C , поэтому ے K С M = ے МСВ = 30°. ے A С K = 90° –60°= 30°. Углы A С K , K С M , MC В равны . Утверждение доказано. Δ АВС прямоугольный , ے А =30 °

Слайд 6

Если в прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные к гипотенузе делят прямой угол на равные части, то у этого треугольника острые углы 30 ° и 60 ° .

Слайд 7

Доказательство В прямоугольном Δ АВС: СМ высота, СК – медиана (К А=КС=КВ). В равнобедренном Δ СВК СМ - высота, следовательно, и медиана. МК=МВ=0,5ВК=0,5ВС. В прямоугольном Δ ВМС катет МВ равен половине гипотенузы ВС , поэтому угол МСВ = 30 ° , тогда угол МВС =60 ° . Острые углы треугольника: 30 ° и 60 ° . В прямоугольном Δ АВС углы АСК, КСМ и МСВ равны. Найти величины острых углов Δ АВС

Слайд 8

2.1. Исследование задач на применение свойств треугольников. Задачи, которые могли бы стать теоремами. 1 . Биссектриса прямого угла в любом прямоугольном треугольнике с неравными катетами делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе.

Слайд 9

AN – медиана прямоугольного треугольника, АМ – биссектриса, АК – высота. Доказательство Δ ABN и Δ ANC – равнобедренны е , BN = NA = NC ( N – центр окружности, описанный около треугольника) . ے В = ے BAN = a . , ے С = 90 ° - ے BAN = 90 ° - a . (сумма острых углов прямоугольного треугольника 90 ° ). Δ AKC – прямоугольный ( AK его высота по условию), следовательно ے KAC = a . ے BAM = ے MAC = 45 ° ( AM – биссектриса прямого угла А ), ے NAM = 45 ° – a , ے К AM = 45 ° – a . ے NAM = ے К AM = 45 ° – a , < АСВ = 90 0 – α, значит < КАС = 90 0 – (90 0 – α)=α < МАК = 45 0 – α. Э то значит, что биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе .

Слайд 10

2. И еще одна задача из учебника « Геометрия 7-9 классы. Л.С. Атанасян)

Слайд 11

Утверждение о квадрате биссектрисы любого угла треугольника Квадрат биссектрисы любого угла треугольника равен разности произведений сторон треугольника, образующих избранный угол и отрезков, на которые биссектриса делит третью сторону треугольника. BD ² = AB*BC - AD*DC.

Слайд 12

Вместо заключения « Я не волшебник, я только учусь». Работа над проектом помогла мне понять: «Не боги горшки обжигают!» А это значит, что в будущем, когда получу образование, я смогу открывать неоткрытые факты, может быть, в том числе и теоремы.

Слайд 13

Если треугольники равны, то их периметры также равны. (№ 145) Геометрия: 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций. А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир./ – М.:Вентана –Граф:2015 . приложение

Слайд 14

Если высота треугольника совпадает с одной из его сторон, то такой треугольник прямоугольный. (№ 147 1 ) Задача из учебника: Задача – теорема:

Слайд 15

В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла. (№ 148 1 ) Задача из учебника: Задача - Теорема :

Слайд 16

4. Середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника.(№ 222) 5. Угол между биссектрисами смежных углов прямой. (№271 1 ) 6. В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы является центром описанной окружности. (№561)