Вневписанная окружность: задачи, которые могли бы стать теоремами.

Слайд 1

Вневписанные окружности треугольника: задачи, которые могли бы стать теоремами. НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «ШАГ в БУДУЩЕЕ» Автор работы: Борисова Валерия , ученица 11 класса МБОУ «Ташеланская СОШИ» Руководитель: Борисова Н.Г. , учитель математики МБОУ «Ташеланская СОШИ»

Слайд 2

ВВЕДЕНИЕ

Слайд 3

ВВЕДЕНИЕ Объект исследования : вневписанные окружности. Предмет исследования : геометрические задачи на применение определения и свойств вневписанной окружности, методы и приёмы их решения. Методы исследования : моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации. Цель исследования: Изучить свойства вневписанной окружности, показать эффективность применения теории вневписанных окружностей при решении задач ЕГЭ, составить сборник некоторых задач, которые могли бы стать теоремами для учащихся на ЕГЭ.

Слайд 4

Гипотеза : Скрытая красота и сила вневписанной окружности как подспорье в решении геометрических задач ЕГЭ. При решении задач понадобится геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем. При более внимательном исследовании задач, убеждаешься в их востребованности, оригинальности, полезности, возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе. Актуальность исследования: Геометрические конфигурации, связанные с вневписанными окружностями, очень содержательны и встречаются во многих задачах. ВВЕДЕНИЕ Вневписанная окружность представляется изысканным элементом геометрии треугольника.

Слайд 5

Окружность называется вневписанной в треугольник, если она касается одной из сторон треугольника и продолжений двух других сторон. 1.1. ПОНЯТИЕ ВНЕВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ ТРЕУГОЛЬНИКА "Каждый треугольник определяет семейство окружностей , помогающих глубже и полнее понять " устройство " треугольника ". И.Ф. Шарыгин. А В С О К N N

Слайд 6

А В С К b К а К c

Слайд 7

1.2. СВОЙСТВА ВНЕВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ Свойство 1: Центр вневписанной окружности треугольника есть точка пересечения биссектрисы внутреннего угла, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника. Дано : ∆ АВС ; окр. (О; r ); М, N , К – точки касания. Доказать: О – точка пересечения биссектрис  В,  КАС,  N СА . Доказательство: Окружность касается сторон  САК, то центр окружности О равноудален от сторон этого угла, следовательно, он лежит на биссектрисе  САК. Аналогично, точка О лежит на биссектрисе  АС N . Т. к. окружность касается прямых ВА и ВС, то она вписана в  АВС, а значит её центр лежит на биссектрисе  АВС. А В С О К М N

Слайд 8

Свойство 2 . Расстояния от вершины угла треугольника до точек касания вневписанной окружности со сторонами этого угла равны полупериметру данного треугольника. 2p = (AC + СА 1 )+(AB + ВА 1 ) = (AC + CC 1 )+(AB + BB 1 ) = AC 1 + AB 1 = 2AC 1 = 2AB 1 АВ 1 = АС 1 = p , что и требовалось доказать . 1.2. СВОЙСТВА ВНЕВПИСАННОЙ ОКРУЖНОСТИ Дано: ∆ АВС ; окр. ( О ; r a ) – вневписанная. Доказать: АВ 1 = АС 1 = p . Доказательство. ВВ 1 = ВА 1 , СА 1 = СС 1 , АВ 1 = АС 1 . Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны, поэтому В 1 r a r a r a С 1 А 1 О А В С

Слайд 9

Свойство 3 . Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т.е. Пусть  САВ = 1.2. Свойства вневписанной окружности. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ С РАДИУСАМИ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ Дано: ∆ АВС ; окр. ( О; r a ) – вневписанная. Доказать: Доказательство. О В 1 r a А В С С 1 А 1 r a . r a p ∆ АОС 1 – прямоугольный ОС 1 =АС 1 . 2  tg p r a   Остальные формулы выводятся аналогично.

Слайд 10

Свойство 4. Радиус вневписанной окружности, касающейся данной стороны треугольника, равен отношению площади треугольника к разности полупериметра и этой стороны. Доказательство. 1.2. Свойства вневписанной окружности. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ С РАДИУСАМИ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ Дано: ∆ АВС ; окр. ( О; r a ) – вневписанная. Имеем: S = S ∆ ABC = S ∆ AOC + S ∆А OB – S ∆ BOC , Аналогично выводятся остальные формулы. Доказать: А В С О С 1 b c r a r a r a . а

Слайд 11

1.2. Свойства вневписанной окружности. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ С РАДИУСАМИ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ Свойство 5. Свойство 6 . Свойство 7 . Свойство 8 . 1 2 3 4 5 6

Слайд 12

Свойство 8 . 1.2. НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ С РАДИУСАМИ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ Следствие 1 . Следствие 2 . = ( r p ) · p = S p S = rp

Слайд 13

Задача 1 . Из точки А к данной окружности проведены касательные АТ 1 и АТ 2 . К окружности проведена касательная, пересекающая отрезки АТ 1 и АТ 2 в точках В и С. Докажите, что периметр ∆ ABC не зависит от положения касательной. Запомнить: Р=2∙АТ 1. Решение . По свойству 2: р = АТ 1 . Значит, независимо от положения касательной, периметр ∆ ABC равен удвоенной длине отрезка АТ 1 . Р=2∙АТ 1. 2.1. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Слайд 14

Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на разнообразных примерах. Г. Цейтен Значит, АВ = р - (р - а) = а, то есть АВ = М N . Задача №2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания. Доказательство. О О 1 К А В М N С D a Пусть MN = a . АК = р , тогда ВК = р – а. Аналогично доказывается, что CD = MN. X

Слайд 15

А В С К b К а К c

Слайд 16

2.1. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ Решение. Задача № 3 . В ∆ ABC проведены биссектрисы AL 1 и BL 2 . Найдите  A , если известно, что L 1 L 2 - биссектриса угла  AL 1 C . Ответ: 120 º . Точка L 2 по условию лежит на пересечении биссектрисы внутреннего  A ВС и биссектрисы внешнего угла  AL 1 C треугольника ∆ ABL 1 . Значит, точка L 2 является центром вневписанной окружности ∆ ABL 1 . Следовательно, AL 2 - биссектриса внешнего  А треугольника ∆ ABL 1 . Значит,  А= 120°.

Слайд 17

Задача 4 . (сборник ЕГЭ-2014, под редакцией Ф.Ф.Лысенко). Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6. Решение: По свойству 8 : r a r b r c = rp 2 . r -радиус вписанной в треугольник окружности, р – полупериметр треугольника. Периметр треугольника Р = 4+5+6=15, р = 15/2. r = S / p . Площадь найдем по формуле Герона: S =√р( p − a )( p − b )( p − a ). S = √7,5(7,5-4)(7,5-5)(7,5-6) = 3,75√7; r =3,75 √7 : 7,5=√7/2. Отсюда, r a r b r c = (√7/2) :(15/2)² = = 225 √7/8 2.1. ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ВНЕВПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

Слайд 18

Задача. Докажите, что прямая, проходящая через середину стороны ВС и точку пересечения биссектрис ∆ ABC , отсекает на высоте, проведенной к стороне ВС, отрезок, равный радиусу вписанной в этот треугольник окружности. Запомнить: АЕ = r Задача. Дан квадрат ABCD со стороной а. На сторонах ВС и CD даны точки М и N такие, что периметр ∆ CMN равен 2а. Найдите  MAN .

Слайд 19

Задача . В прямой угол с вершиной С вписаны две окружности, которые не пересекаются. К этим окружностям проведена общая касательная, которая пересекает угол в точках А и В. Найдите площадь ∆ ABC , если радиусы окружностей равны R 1 и R 2 . Запомнить: S = rp = R 1 R 2

Слайд 20

Задача. Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. Мальцев Д.А. « Математика. Все для ЕГЭ-2011» НИИ школьных технологий , 2011г.

Слайд 21

4. Заключение В результате проведённого исследования : рассмотрены свойства вневписанных окружностей; установлена связь между радиусами вневписанных окружностей и полупериметром треугольника, между радиусами вписанной, описанной и вневписанных окружностей; выявлена зависимость площади треугольника от радиусов вневписанных окружностей и полупериметра; разработан комплекс задач по данной теме.

Слайд 22

Задачи, которые могли бы стать теоремами: Р=2∙АТ 1. 2. АВ = MN 3. АЕ = r 4. S = R • p H 5.  MAN = 180° - (  AMN +  MNA ) = 45°. 6. S = rp = R 1 R 2 7.  А= 120°.