ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОТКРЫТАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«ОТКРЫТИЕ»

работа на тему:

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ученик: Сандовин Роман Сергеевич,

9 класс,

 МАОУ “Лицей математики и информатики”

Руководитель: Ларионова Наталья Евгеньевна

Содержание

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………...2

ГЛАВА I. Основные сведения и свойства…………………………………...3

1.1. Определения ………………………………………………………………3

1.2. Дополнительные упражнения ……………………………………………4

1.3 Оптические свойства ………………………………………………….….5

ГЛАВА II. Геометрические свойства и применение кривых……………...7

2.1. Свойства ……………………………………………………………………7

2.2. Замечательные свойства параболы ……………………………………8

2.3. Кривые второго порядка – сечения конической поверхности. Коники в координатах……………………………………………………………………9

2.4. Применение коник………………………………………………………10

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………….....................................................11

СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ ………....................11

Введение

Темой данного проекта являются свойства кривых второго порядка (коник), т.е. эллипса, параболы и гиперболы. Эти свойства не имеют большой огласки, но могут быть применёнными не только в задачах, связанных с самими кониками. Некоторые из свойств были выведены ещё в IV-III веках до Н.Э.

О данных кривых я знал уже давно, думаю, все называли что-то овалом, а о параболе и гиперболе я узнал из школьного курса математики. Как-то раз мне попался на видеоролик, где продемонстрировано оптическое свойство эллипса (перевод с канала Numberphile), но я не сильно заинтересовался и не стал разбираться в этой теме. В этом учебном году мне предоставилась возможность это сделать, ведь нужно было готовить проект в школе.

Во время работы над данным проектом я пользовался трудом А. А. Заславского и А. В. Акопяна «Геометрические свойства кривых второго порядка», И. И. Привалова – «Аналитическая геометрия» и В. А. Ильина и Э. Г. Позняка – «Аналитическая геометрия».

Цели и задачи:

1. Изучить материал о кривых второго порядка

2. Рассмотреть некоторые геометрические свойства коник

3. Узнать, где и как могут применяться кривые

ГЛАВА I – основные сведения и свойства

1.1. Определения

Для начала нужно дать определение кривым:

Эллипс – множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных (называемых фокусами) постоянна. У эллипса есть две оси симметрии: большая и малая. Большая проходит через оба фокуса, малая –серединный перпендикуляр к отрезку, концами которого являются фокусы. (и  – фокусы, a и b – большая и малая оси)

Гипербола – множество точек, модуль разности от которых до фокусов постоянна. Гиперболу образуют две дуги, которые бесконечно приближаются к некоторым прямым – асимптотам. Если они перпендикулярны, гиперболу называют равносторонней. У данной кривой так же, как и у эллипса, есть две оси симметрии, одна (проходящая через фокусы) - действительная, другая (серединный перпендикуляр к отрезку, границы которого – фокусы) – мнимая. (и  – фокусы, a и b – действительная и мнимая оси,

  и  – асимптоты)

Парабола – множество точек, равноудалённых от заданной (фокуса) и от прямой (директрисы). Прямая, проходящая через фокус параболы и перпендикулярная директрисе называется осью параболы. (F – фокус, l и l′ –– директриса и ось параболы)

Так же, т.к. каноническое уравнение для всех трёх кривых ( (a≠0, или b≠0, или c≠0)) содержит одночлены с переменными второй степени, эти кривые и называют кривыми второго порядка. Т.е. кривые второго порядка задаются в любой декартовой системе координат уравнением второго порядка.

1.2. Дополнительные упражнения

Данные упражнения помогут в доказательстве теорем.

Упражнение 1.

Докажем, что сумма

расстояний от любой точки внутри эллипса

до фокусов меньше, а от точки вне эллипса

больше длины большой оси.

Доказательство:

Фокусы эллипса -  и , а точка - X. Точку пересечения луча  X с эллипсом обозначим через Y.

Пусть сначала точка X лежит внутри эллипса. По неравенству треугольника  X<XY+Y, следовательно, X + X < X + XY + Y (X + XY + Y=  =Y + Y)

Но Y + Y равно большой оси эллипса. Примерно таким же образом, в случае, если точка X лежит вне эллипса, получится Y <XY +X. Значит,

X+X> Y+Y.

По схожим соображениям, расстояние от точки внутри параболы до фокуса меньше, чем до директрисы и наоборот.

Для гиперболы утверждение звучит так: пусть модуль разности расстояний от любой точки на гиперболе до фокусов  и  равен d. Обозначим дугу гиперболы, внутри которой лежит , через Г. Тогда для точек X вне Г величина X−X меньше d, а внутри – больше.

Доказательство:

Пусть точка X лежит внутри части, отсекаемой дугой Г. Обозначим точку пересечения луча X и Г, как Y. Получаем, что X=Y+YX. По неравенству треугольника X<Y+YX, значит, X−X>(+YX)−(Y+YX). [(Y+YX)−(Y+YX)=Y−Y=d]. Если точка X лежит вне Г, то, взяв за точку Y пересечение X и Г, получается, что X=Y+YX. По неравенству треугольника

X < Y +YX. Следовательно,

X−X<(Y+YX)−(Y+YX). [(Y+YX)−(Y+YX)=Y−Y=d)]

Упражнение 2.

Докажем, что если угол между отрезком P и прямой l равен углу между отрезком P и той же прямой равны, то сумма длин P и P – минимальная из возможных.

Отразив  относительно

прямой l, получим точку .

 - кратчайший путь, значит,  и  лежат на одной прямой. Тогда угол между отрезками P и прямой l и  и прямой равны, как вертикальные. А угол 1 равен углу 2, т.к. расстояние от точки  до прямой равно расстоянию от точки  до прямой, =P, =H. (треугольник PH равен треугольнику PH).

1.3. Оптические свойства

Оптическое свойство эллипса:

Пусть прямая l касается эллипса в точке P. Тогда прямая l –– это внешняя биссектриса

угла P.

Доказательство:

Пусть X–– произвольная точка на прямой l, отличная от P. Так как X лежит вне эллипса, мы имеем X +X >P +P, т. е. из всех точек прямой l точка P имеет наименьшую

сумму расстояний до  и . По упражнению 1, углы, образованные прямыми P и P с l, равны.

Оптическое свойство параболы:

Пусть прямая l касается параболы в точке P.

Проекцию точки P на директрису обозначим

через P′. Тогда l является биссектрисой угла

FPP′.

Доказательство:

Предположим, что биссектриса угла FPP′

(обозначим ее через l′) пересекает параболу еще в какой-нибудь точке. Обозначим

эту точку через Q, а ее проекцию на директрису – через Q′. По определению параболы FQ=QQ′. С другой стороны, треугольник

FPP′ равнобедренный, и биссектриса угла

P –– это серединный перпендикуляр к FP′.

А значит, для любой точки Q, лежащей

на этой биссектрисе, выполняется равенство

QP′ =QF=QQ′. Но этого не может быть, так

как Q′ – единственная точка на директрисе

параболы, в которой достигается минимум

расстояния до точки Q (QQ’ перпендикулярно директрисе). Значит, биссектриса угла FPP′ не пересекает параболу, т.е. является касательной.

Оптическое свойство гиперболы:

Если прямая l касается гиперболы в точке P, то l является биссектрисой угла P, где  и  – фокусы гиперболы.

Доказательство:

Предположим, что биссектриса l′ угла Pпересекает гиперболу еще в какой-нибудь точке Q (лежащей на той же дуге, что и P). Для удобства будем считать, что точка P лежит на дуге, которая ближе к фокусу . Обозначим через точку, симметричную  относительно l′. Тогда Q=Q, P=P; кроме того, точки ,  и P лежат на одной прямой. Итак, P−P=Q−Q. В силу вышеуказанных равенств получаем =P−P=Q−Q. Но по неравенству треугольника >Q−Q. Значит, биссектриса угла P не пересекает данную ветвь гиперболы, т.е. является касательной.

ГЛАВА II – геометрические свойства и применение кривых

2.1. Свойства

Теорема I:

Пусть хорда PQ содержит фокус эллипса, R – точка пересечения касательных к эллипсу в точках P и Q. Тогда R – это центр вневписанной окружности треугольника PQ, а  – это точка касания этой окружности со стороной PQ.

Доказательство:

В силу оптического свойства PR и QR – это биссектрисы внешних углов треугольника PQ. А значит, R – центр его вневписанной окружности. Точка касания вневписанной окружности со стороной (обозначим ее через ) вместе с противоположной вершиной  делят периметр треугольника пополам, т. е. P+P=Q+Q. Но этим свойством обладает , и такая точка только одна. Значит, и  совпадают. Значит, R – центр вневписанной окружности треугольника PQ, а  –  точка касания этой окружности со стороной PQ.

Теорема II:

Если две касательные к эллипсу проведены из одной точки, углы между ними и отрезками, проведёнными из фокусов к общей точке касательных, равны.

Доказательство:

Пусть ,  – точки, симметричные  и  относительно PX и PY соответственно.

Тогда P=P и P=P. Кроме того, точки , Y и  лежат на одной прямой (в силу оптического свойства). То же самое верно и для точек , X и . Получаем =X+X=Y +Y=. Следовательно, треугольники P и P равны (по трем сторонам).

А значит, P+2PX=P=P=P+2PY. Отсюда получаем, что PX=PY.

2.2. Замечательные свойства параболы

Лемма 1.

Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ попадет на директрису. Этот образ - проекция точки, в которой касательная касается параболы.

 Доказательство.

Пусть прямая l касается параболы в точке P. Проекцию P на директрису обозначим через P′. Так как треугольник FPP′ равнобедренный и l – биссектриса угла P, l является осью симметрии треугольника. Значит, точка F при симметрии относительно l переходит в точку P′, лежащую на директрисе.

Следствие.

Проекции фокуса параболы на его касательные лежат на прямой, касающейся параболы в ее вершине.

Лемма 2.

Пусть касательные к параболе в точках X и Y пересекаются в точке P. Тогда P является центром описанной окружности треугольника FX′Y′, где X′ и Y′ –– проекции точек X и Y на директрису параболы, а F –– фокус этой параболы.

Доказательство.

В силу леммы 1. эти две касательные являются серединными перпендикулярами к отрезкам FX′ и FY′.

Следовательно, точка их пересечения и будет центром описанной окружности треугольника FX′Y′.

Следствие.

Если PX и PY –– касательные к параболе, то проекция точки P на директрису будет серединой отрезка с концами в проекциях точек X и Y.

2.3. Кривые второго порядка – сечения конической поверхности. Коники в координатах

Эллипс, параболу и гиперболу можно получить сечением конической поверхности плоскостью, притом, если секущая плоскость пересекает только одну полость конуса и не параллельна ни одной из образующих, сечением будет эллипс, если секущая параллельна образующей, сечение – парабола, а если плоскость пересекает обе полости конической поверхности, кривая является гиперболой. Поэтому кривые второго порядка также называются кониками.

Но привычней видеть кривые в виде графиков функций. Как уже было сказано, канонический вид уравнения таков:  (a≠0, или b≠0, или c≠0). Но также существуют уравнения для каждой из коник, следующие из определения для каждой из них. Для эллипса уравнение принимает вид: . (a≥b>0). Здесь a – половина длины отрезка большой оси, ограниченного эллипсом, а b – половина длины отрезка малой оси, ограниченного эллипсом. Также есть расстояние между фокусами, обозначается через c,  (само расстояние – 2c).  

Уравнение гиперболы выглядит так:  (a>0; b>0). Половина расстояния между точками пересечения действительной оси гиперболой равно a, асимптотами гиперболы являются прямые  и . Координаты фокусов гиперболы – {± ; 0}.

Уравнением параболы является  (p>0), где p – расстояние между фокусом и директрисой, ось – ось абсцисс, фокус находится в точке {}, уравнение директрисы x=-.

2.4. Применение коник

Кривые второго порядка широко применяются в разных сферах жизни, начиная архитектурой и заканчивая астрономией. Можно применять эллипс и гиперболу для расчёта траекторий движения тел. Например, по эллипсу планеты, в одном из фокусов которого находится объект, притягивающий их (звезда), и это описано законом Кеплера. Если рассматривать ещё одно космическое тело – комету – заметим, что если она не находится на орбите звезды, её траекторией будет дуга гиперболы, где одним из фокусов будет, снова же, данная звезда. Также можно построить бильярдный стол эллиптической формы с лункой в одном фокусе, поместить шар в другой, и тогда, как ни ударить, шар попадёт в лунку (по оптическому свойству).

Параболу применяют в радиосвязи: спутниковые антенны имеют вид “закрученной” параболы, конвертер которых находится в фокусе. Т.о. радиосигнал отражается от “тарелки” и попадает в фокус (по оптическому свойству). Также парабола использовалась при строительстве мостов ещё древними римлянами, т.к. её форма способствует равномерному распределению нагрузки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении я бы хотел сказать, что кривые второго порядка – красивые, а главное, полезные и применяющиеся на практике фигуры, о которых человечеству известно уже множество лет.

Мы уточнили некоторые знания о них, доказали несколько свойств, узнали способы применения коник в жизни.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

А. А. Заславский и А. В. Акопян - «Геометрические свойства кривых второго порядка»

И. И. Привалов – «Аналитическая геометрия»

В. А. Ильин и Э. Г. Позняк – «Аналитическая геометрия»