Муниципальное казенное  общеобразовательное учреждение «Николо-Погореловская средняя общеобразовательная школа»

Смоленская область

Сафоновский район

д. Николо-Погорелое     ул.Школьная      д. 7

Исследовательская работа

«Пифагор известное и неизвестное»

Составила:

 Иванова Светлана, ученик 11 класса

2019-2020 учебный год

Содержание

     Введение…………………………………………………………………….. 3-4

1. Наследие Пифагора……………………………………………………….5

1.  О жизни Пифагора……………………………………………………5-6
2.  Правда о Пифагоре……………………………………………………6-8
3.  Пифагор и пифагорейцы……………………………………………..8-11

2. Сокровище геометрии – Теорема Пифагора…………………………….12

1.  История возникновения теоремы Пифагора………………………..12-13
2.  Формулировка разная – смысл один………………………………...13-14
3.  Многообразие доказательств…………………………………………14-18
4.  Теорема Пифагора в практической деятельности…………………..18-22

            Заключение………………………………………………………………23-24

            Литература……………………………………………………………….25

Введение

В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.

Первое мое знакомство с теоремой Пифагора произошло на уроках геометрии.  Решение задач на применение теоремы  давались мне очень легко. В самом деле, теорема Пифагора проста, лаконична,  но не очевидна.  Теорема  имеет огромное значение: она применяется в геометрии при решении многих геометрических задач, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о большом  числе ее конкретных реализаций, поэтому эта тема и стала основой для моего исследования. Поэтому меня заинтересовали вопросы: Кто он, этот Пифагор? Чем он еще знаменит? Так как в школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи, и к сожалению не рассматриваются вопросы о применении теоремы в практической деятельности, то больше всего меня заинтересовал вопрос: каким образом теорему Пифагора можно использовать в практической деятельности человека?

Актуальность моего исследования заключается в том, что данный проект поможет учащимся познакомиться с любопытными геометрическими и историческими фактами, оригинальными подходами к доказательству и выяснить области применения теоремы Пифагора, познакомиться с примерами задач и их решением, имеющих широкий круг применения в практической деятельности человека.

Гипотеза: С помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи, но и использовать в практической деятельности человека.

Цель моей работы: показать значение теоремы Пифагора в развитии науки и практической деятельности человека.

Для достижения поставленной цели, были обозначены следующие задачи:

1. Проследить историю жизни великого ученого и философа, узнать больше информации, мифов, легенд о Пифагоре и его теоремы.
2. Рассмотреть различные способы доказательства теоремы Пифагора.
3. Рассмотреть использование теоремы в практической деятельности человека.
4. Создать задачник «Теорема Пифагора в практической деятельности» в помощь учителю.

         Объект исследования: теорема Пифагора

          Предмет  исследования: практическое применение теоремы в современной науке и  повседневной деятельности человека.

         Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нём на основе системного подхода представлено практическое применение открытия Пифагора в жизнедеятельности человека.

         Прикладная ценность исследования заключается в анализе литературных

источников, интернет - ресурсов  и применение данной работы на уроках геометрии, на занятиях математического кружка и во внеурочной работе.

         Новизна. В школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора практически не рассматривается.

1. Наследие Пифагора

1.1 О жизни Пифагора

        Пифагор Самосский вошел в историю, как один из самых выдающихся интеллектуалов человечества. В его биографии много необычных вещей, и кажется, что сама судьба уготовала ему особый жизненный путь.

        Пифагор создал собственную религиозно-философскую школу и прославился, как один из самых великих математиков. Его ум и сообразительность на сотни лет опережали время, в котором он жил.

        Дата рождения Пифагора точно неизвестна. Историки предполагают, что он родился в 580 г. до н.э., на греческом острове Самос (отсюда и его прозвище – «Самосский»). Согласно одной легенде, родителям Пифагора предсказали, что их сын станет великим мудрецом и просветителем.

        Отца Пифагора звали Мнесарх, а мать – Партения. Глава семейства занимался обработкой драгоценных камней, поэтому семья была достаточно обеспеченной.

       Уже в раннем возрасте Пифагор проявлял интерес к разным наукам и искусству. Его первого учителя звали Гермодамант. Он заложил в будущего ученого основы музыки, живописи и грамматики, а также заставлял его наизусть учить отрывки из «Одиссеи» и «Илиады» Гомера.

       Когда Пифагору исполнилось 18 лет, он перебрался на остров Лесбос, где начал изучать физику, медицину, диалектику и другие науки от Ферекида Сиросского. Прожив на острове несколько лет, он захотел посетить Милеет, где стал учеником известного философа Фалеса, образовавшего первую в Греции философскую школу. Мудрый ученый посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам когда-то изучал науки.

            Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.

        Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Жрецы, не желавшие распространения своих знаний за пределы храмов, не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

          Очень скоро, Пифагор становится одним из самых образованных и известных людей своего времени. Однако спустя какое-то время в биографии мудреца происходят резкие перемены, так как началась персидская война. Пифагор попадает в вавилонский плен, и долгое время живет в неволе.

           Из-за того, что в Вавилоне была популярна астрология и мистика, Пифагор пристрастился к изучению различных мистических таинств, обычаев и сверхъестественных явлений. Вся биография Пифагора полна поиска и решений всевозможных загадок и тайн, которые так привлекали его внимание.

          Пробыв в плену более 10 лет, он неожиданно получает освобождение лично от персидского царя, который не понаслышке знал о мудрости ученого грека. Оказавшись на свободе, Пифагор тут же возвращается к себе на родину, чтобы рассказать о приобретенных знаниях соотечественникам.

          Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне.

        Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

       Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

• теорема о сумме внутренних углов треугольника;
• построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;
• геометрические способы решения квадратных уравнений;
• деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;
• доказательство того, что не является рациональным числом;
• создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

        Известно также, что кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев.

Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко недостоверны. С его именем связано много легенд.

1.2 Правда о Пифагоре

Самое большее, что известно сейчас народонаселению об этом уважаемом древнем греке, укладывается в одну фразу: "Пифагоровы штаны на все стороны равны". Авторов этой дразнилки явно отделяют от Пифагора века, иначе бы они дразниться не посмели. Потому что Пифагор - вовсе не квадрат гипотенузы, равный сумме квадратов катетов. Это знаменитый философ.

Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора.

Он первый дал название своему роду деятельности. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. В его философии много космического. Он утверждал, что для понимания Бога, человека и природы надо изучать алгебру с геометрией, музыку и астрономию. Кстати, именно пифагорейская система знаний, и называется по-гречески "математикой". Что касается пресловутого треугольника с его гипотенузой и катетами, то это, согласно великому греку, больше, чем геометрическая фигура. Это "ключ" ко всем зашифрованным явлениям нашей жизни. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".

Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, он держал своё учение в тайне и передавал ученикам устно. В результате тайна умерла вместе с ними. Кое-какая информация всё же просочилась в века, но теперь уже трудно сказать, сколько в ней истинного, а сколько ложного. Даже с Пифагоровой теоремой не всё бесспорно. Некоторые историки сомневаются в авторстве Пифагора, утверждая, что её во всю использовали в хозяйстве самые разные древние народы.

Что уж говорить об отдельных фактах биографии великого математика? Рассказывали, например, что он мог заставить птиц изменить направление полёта. Он разговаривал с медведицей, и та перестала нападать на людей, он беседовал с быком, и тот под влиянием беседы перестал трогать бобы и поселился при храме. Однажды, переходя вброд реку, Пифагор вознёс молитву духу реки, и из воды послышался голос: "Приветствую тебя, Пифагор!" Говорили также, что он повелевал духами: посылал их в воду и, глядя на рябь, делал предсказания.

Влияние его на людей было так велико, что похвала из уст Пифагора переполняла его учеников восторгом. Однажды ему случилось рассердиться на ученика, и тот покончил с собой. Потрясённый философ никогда больше ни с кем не говорил раздражённо.

Он будто бы умудрялся исцелять людей, напевая им стихи из "Илиады" и "Одиссеи" Гомера. Он знал лекарственные свойства огромного количества растений.

В последующие столетия фигура Пифагора была окружена множеством легенд: его считали перевоплощённым богом Аполлоном, полагали, что у него было золотое бедро, и он был способен раздваиваться и запросто в одно и то же время преподавать в двух разных местах. Отцы раннехристианской церкви отвели Пифагору почётное место между Моисеем и Платоном. Хотя и не очень понятно, за что: Пифагор прославился своим учением о космической гармонии и переселении душ, что не очень-то вписывается в христианские догматы. К тому же, учёный муж не чурался и колдовства, даже в XVI в. были нередки ссылки на авторитет Пифагора в вопросах не только науки, но и магии. Как в России все дворники - философы, так и в Древней Греции все философы были математиками. Пифагор в этом отношении не был исключением.

1.3 Пифагор и пифагорейцы

          Пифагор был не только учёным, но "по совместительству" он являлся активным проповедником собственных учений. Причём, проповедником весьма преуспевшим: на греческом острове Кротоне, на юге Италии, где Пифагор, изгнанный с Самоса, проповедовал, он пользовался популярностью.

 В Кротоне Пифагор основывает школу - пифагорейский союз, просуществовавший около двух веков и ставший центром духовной и общественной жизни. Желание людей послушать философа было столь велико, что даже девушки и женщины нарушали закон, запрещавший им присутствовать на собраниях. Одна из них, Феано, становится женой Пифагора.

Свою школу Пифагор создает как тайную организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Со временем Пифагор прекращает выступления в храмах и на улицах, а учит уже в своем доме. Система обучения жаждущих знаниями сложная и многолетняя. В этот период проверялось их терпение, скромность. Одна из особенностей школы - почти священное почитание учителя. Только тех, кто прошел многие ступени знаний, Пифагор называет ближайшим учеником и допускает во двор своего дома, где они и ведут беседу. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось учителю.

Он был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди называли себя гордо и несколько высокомерно - мудрецами, что означало - человек, который знает. Пифагор же назвал себя философом - тем, кто пытается найти, выяснить.

Математика - одна из составных частей религии пифагорейцев, которые учили, что Бог положил число в основу мирового порядка.

Пифагорейская школа положила начало математическим наукам. Числа понимались как суть всего существующего, им придавался мистический смысл. Основу пифагорейской математики составляет учение о декаде: 1+2+3+4=10. Эти четыре числа описывают все процессы, происходящие в мире. Знаменитая декада повлияла  через пифагорейцев на Платона, придававшего особое значение четырем материальным элементам: земле, воздуху, огню и воде.

Декада, в частности, отображает и законы музыкальной гармонии: через нее выражаются основные музыкальные интервалы - октава (2:1), квинта (3:2), кварта (4:3). Пифагор развил теорию музыки и акустики, создав знаменитую «пифагорейскую гамму» и проведя основополагающие эксперименты по изучению музыкальных тонов: найденные соотношения выражены на языке математики. Пифагорейцами положено и начало музыкальной психологии: музыка использовалась как средство воспитания и исцеления души и тела. Такое же соотношение было подмечено пифагорейцами и во многих других случаях. Например, отношение числа граней, вершин и ребер куба равно отношению чисел 6:8:12.

В школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, идеи «гармонии мира» и «музыки сфер», без которых мир распался бы на части, впоследствии приведшие к революции в астрономии, тоже впервые появились здесь же. Число для Пифагора было и материей, и формой Вселенной. Пифагор и его последователи своими работами заложили основу очень важной области математики теории чисел.

Занимаясь вопросом о покрытии плоскости правильными одноименными многоугольниками, пифагорейцы нашли, что возможны только три случая таких покрытий: вокруг одной точки плоскости можно плотно уложить или шесть правильных треугольников, или четыре правильных четырехугольника (квадрата), или же три правильных шестиугольника.

                          Рис. 1. Покрытие плоскости правильными многоугольниками

Пифагорейцы занимались задачей о нахождении совершенных чисел, то есть таких, которые равны сумме своих делителей (исключая само число), как, например, 6=1+2+3 или 28=1+2+4+7+14. Совершенных чисел не много. Среди однозначных – это только 6, среди двузначных, трехзначных и четырехзначных – только 28, 496 и 8128 соответственно. Все они четны и выражаются формулой 2p-1(2p-1), где p, 2p-1 являются простыми числами. Однако вопрос о том, имеется ли конечное или бесконечное число совершенных чисел, до сих пор не решен, также не найдено ни одного нечетного совершенного числа и не доказано, что таких чисел не существует.

Что же касается числа 36, то оно производило сильное впечатление на пифагорейцев своими качествами: с одной стороны, оно представляет сумму кубов трех первых чисел натурального ряда (13+23+33), а с другой – является суммой первых четырех четных и первых четырех нечетных чисел:

(2+4+6+8) + (1+3+5+7) = 36.

Весь мир, по мнению пифагорейцев, был построен на первых четырех нечетных и на первых четырех четных числах, а потому самой страшной клятвой у них считалась клятва числом 36.

Согласно преданию, ученик Пифагора Гиппас Месапонтский, раскрывший эту тайну, был «наказан» богами и погиб во время кораблекрушения.

Пифагорейцы были увлечены построением правильных геометрических фигур с помощью циркуля и линейки. Увлечённые этим "строительством" они выстроили фигуры вплоть до правильного пятиугольника и озадачились тем, как с помощью всё тех же циркуля и линейки построить следующую правильную фигуру - семиугольник? Надо сразу же сказать, что это им не удалось.

Но они не только сами озадачились, но и озадачили всё разумное человечество, которое с циркулем и линейкой в руках, наморщив лбы, ринулось строить правильные семиугольники.

Не тут-то было! Эта задачка пифагорейцев оставалась неразрешимой более двух тысячелетий! Решил её только в 1796 г. 19-летний немецкий юноша Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855), прозванный позже королём математиков.

           Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

1) теорема о сумме внутренних углов треугольника;

2) построение правильных многоугольников и деление плоскости на некоторые из них;

3) геометрические способы решения квадратных уравнений;

4) деление чисел на чётные и нечётные, простые и составные; введение фигурных, совершенных и дружественных чисел;

5) доказательство того, что 2 не является рациональным числом;

6) создание математической теории музыки и учения об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и многое другое.

           Несправедливо думать, что пифагорейцы оставили после себя только заблуждения. Они совершили массу открытий в математике и геометрии. Многие их открытия использовал в "Началах" Эвклид. Пифагорейские идеи проникли в Афины, они были приняты Сократом, позже переросли в мощное идейное движение, возглавленное великим Платоном и его учеником Аристотелем.

2.Сокровище геометрии – Теорема Пифагора

2.1 История возникновения теоремы Пифагора

         Римский архитектор Витрувий особо выделял теорему Пифагора "из многочисленных открытий, оказавших услуги развитию человеческой жизни", и призывал относиться к ней с величайшим почтением. Было это ещё в I веке до. н.э. На рубеже XVI-XVII веков знаменитый немецкий астроном Иоганн Кеплер назвал ее одним из сокровищ геометрии, сравнимым с мерой золота. Вряд ли во всей математике найдется более весомое и значимое утверждение, ведь по числу научных и практических приложений теореме Пифагора нет равных.

          Теорема Пифагора едва ли не самая узнаваемая и, несомненно, самая знаменитая в истории математики. В геометрии она применяется буквально на каждом шагу. Несмотря на простоту формулировки, эта теорема отнюдь не очевидна: глядя на прямоугольный треугольник со сторонами a2+b2=c2 невозможно. 

         Как мы видим история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности, но сохранилась теорема, которая носит  его имя.

В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древнекитайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетия до него. Одни полагают, что заслуга же Пифагора состояла в том, что он дал полноценное доказательство этой теоремы, другие же отказывают ему в этой заслуге.

Зато не найти никакой другой теоремы, имеющей  столько названий: теорема нимфы, теорема бабочки (пчелки), теорема невесты, «мост ослов», «бегство убогих», теорема 100 быков.

Теорему Пифагора называют «теоремой невесты». Дело в том, что в «Началах» Евклида она ещё именуется, как «теорема нимфы», просто её чертёж очень схожий на пчёлку или бабочку, а греки их называли нимфами. Но когда арабы переводили эту теорему, то подумали, что нимфа – это невеста. Вот так и вышла «теорема невесты». Кроме этого, в Индии, её ещё называли «правилом верёвки». Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков.

Теорему Пифагора называли «мостом ослов», так как слабые ученики, заучивающие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам.

Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, вероятно, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. Некоторыми историками математики предполагается, что все же доказательство Пифагора было не принципиальным, а лишь подтверждением, проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника.

          В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанное Ф.И. Петрушевским, теорема Пифагора  изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол»

             В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни  полагают, что  Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге. Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводит в первой книге своих «Начал». С другой стороны Прокл утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежит самому Евклиду. Как мы видим, история математики почти не сохранила достоверных данных о жизни Пифагора и его математической деятельности.

2.2. Формулировка разная – смысл один.

Приведём различные формулировки  теоремы Пифагора на греческом, латинском, немецком и русском языках.

У Евклида эта тема гласит: «В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол».

Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900г. н.э.), сделанный Герхардом Кремонским (начало 21 века), гласит: «Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол».

       В Германии (около 1400г.) теорема читается так: «Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу».

В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме        квадратов из сторон, содержащих прямой угол».

Рис. 2. Геометрическая иллюстрация

 к теореме Пифагора

2.3.  Многообразие доказательств.

       Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннесса» как получившая наибольшее количество доказательств. Американский автор Э.Лумис в книге «Пифагорово предложение», вышедший в 1940 г., собрал 370 разных доказательств: Древнекитайское доказательство, доказательства Евклида, Вальдхайма, Хоукинса, Гутхейля, Перигаля, доказательство из сочинений Бхаскары, доказательство основанное на теории подобия и другие. Однако принципиально различных идей этих доказательствах используется не так уж много: идея разрезания, дополнения, применения подобия, алгебраическая идея.

Старинные доказательства опирались на чисто геометрическую формулировку теоремы через площади квадратов. В некоторых доказательствах малые квадраты разрезались на такие части, из которых складывается большой квадрат (доказательство Бхаскары). В других малый и большой квадраты дополнялись равными фигурами до равных же фигур. Очень элегантно доказательство Евклида. Многие геометрические доказательства скрывают в себе в слегка зашифрованном виде известные алгебраические формулы. К чертежу Бхаскары можно применит формулу квадрата разности. Есть доказательство, где работает формула квадрата суммы. Подобие треугольников, на которые разбивает прямоугольный треугольник высота, проведённая из вершины прямого угла, разными способами поможет вывести теорему Пифагора.

Такое многообразие объясняется тем, что теорема имеет фундаментальное значение для геометрии. Приведу несколько примеров доказательств

1. Древнекитайское доказательство

На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной a+b, а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе

a2 + 2ab +b2 = c2 + 2ab

a2 +b2 = c2

2. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

        Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого.

       Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высот

S =  

       C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

                                                 S = 

      Приравнивая данные выражения, получаем:

                                                  или с2 = a2 + b2

3. Доказательство простейшее

       Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

        В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы.

     Например, для треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

4. Старейшее доказательство

(содержится в одном из произведений Бхаскары).

     Пусть АВСD квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а, АЕ = b);

Пусть СК ḻ ВЕ = а, DL ḻ CK, AM ḻ DL ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD, значит KL = LM = ME = EK = a-b.

    .

5. Доказательство древних индусов

а)                                                                             б)

       Квадрат со стороной (a+b), можно разбить на части либо как на рисунке а), либо как на рисунке b). Ясно, что части 1,2,3,4 на обоих рисунках одинаковы. А если   от    равных   (площадей)   отнять    равные, то  и   останутся    равные,   т.е.

с2 = а2 + b2.

        Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали лишь одним словом: Смотри!

6. Доказательство Евклида

        В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Оно помещено в его знаменитой книге «Начала».

        Евклид опускал высоту СН из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что её продолжение делит достроенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах.

        Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

        Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

         Конечно, этот список доказательств далеко не полный. Теорему Пифагора также можно доказать с помощью векторов, комплексных чисел, дифференциальный уравнений, стереометрии и т.п. И даже физики: если, например, в аналогичные представленным на чертежах квадратные и треугольные объемы залить жидкость. Переливая жидкость, можно доказать равенство площадей и саму теорему в итоге.

          С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Известно более или менее строгих доказательств около пятисот, но стремление к преумножению их числа сохранилось. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

4.  Теорема Пифагора в практической деятельности

         Немецкий  математик Феликс Хаусдорф сказал  «Есть в математике нечто, вызывающее восторг…», но к сожалению в реальности,  основная часть учащихся «зубрит» теоремы, аксиомы и формулы, но ведь намного важнее видеть и понимать их практическое применение.

    Теорема Пифагора настолько известна, что трудно представить себе человека, не слышавшего о ней. Она интересна не только своей историей, но и тем, что она занимает важное место в жизни и науке.

           В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой. Кроме того повысить интерес к самой теореме могут и исторические задачи, которые решаются с ее помощью.

         Рассмотрим несколько элементарных примеров таких задач, в которых при решении применяется теорема Пифагора.

Исторические задачи:

1. Задача индийского математика XII века Бхаскары 

                           «На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

 Осталось три фута всего от ствола,

 Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

 У тополя как велика высота?»

2. Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.

    И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

3. Задача из китайской "Математики в девяти книгах" 

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"        

4.Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу».

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания?

Прикладные задачи

Задача 1.

Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

Ответ: 1000.

Задача 2.                                                

Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка?

Ответ: 500.

Задача 3.                                                          

Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин?

Ответ: 2,5            

Задача 4.Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

Ответ: 50.

Задача 5.                                                

Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 3,5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

Ответ: 12.

Задача 6.

На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии BE нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым?

Ответ: 6.

Применения теоремы Пифагора на практике

          Радиус передачи мобильного сигнала

          Современную жизнь уже невозможно представить без существования смартфонов. Но много ли было бы от них прока, если бы они не могли соединять абонентов посредством мобильной связи?! Качество мобильной связи напрямую зависит от того, на какой высоте находиться антенна мобильного оператора. Для того чтобы вычислить, на каком расстоянии от мобильной вышки телефон может принимать сигнал, можно применить теорему Пифагора.

         При строительстве вышки часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь вышка, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе. Я на основе задачи, найденной в Интернете, решил решить задачу: Какую наименьшую высоту должна иметь вышка мобильной связи, поставленная в селе Федино, чтобы близлежащие села попали в зону связи (расстояние от вышки до близлежащих сел от 3 до 31км.)?

Решение: Пусть AB= x км, радиус зоны связи ВС=31 км, радиус Земли 6380 км. Применив теорему Пифагора, получу уравнение (х+6380)2=312+63802; х2+12760х-961=0;    D=162817600+3844=162821444,   ≈12760,150;     х≈75 м.

  Строительство

        При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки определенной длины. Длина стропил

L=  =  .

        Например, высота чердака h=2м, длина стороны дома b=6м, длина стропил

L =  =  ≈3,6 м.

        А вопрос о величине боковой поверхности должен интересовать, например, кровельщика при подсчете стоимости кровельных работ. Например, если хотим покрыть крышу металлочерепицей. Заметим, что расчет площади кровли можно сильно упростить, если воспользоваться одним очень простым правилом, справедливым во всех случаях, когда все скаты крыши, сколько бы их ни было, имеют одинаковый уклон. Оно гласит: чтобы найти поверхность крыши, все скаты которой имеют равный уклон, нужно умножить перекрываемую площадь на длину какого-либо стропила и разделить полученное произведение на проекцию этого стропила на перекрываемую площадь. В будущем решение такой задачи мне пригодится при ремонте или строительстве.

Рассмотрим следующую задачу:

      Необходимо закрепить трубу на школьной котельной угольниками. Один конец угольника должен крепиться на высоте 1,5м, другой на земле на расстоянии 1 м от трубы. Определить сколько метров угольника понадобится для того, чтобы закрепить трубу. 

По теореме Пифагора с2=a2+b2, значит  с =

с=1,9м 1,93=5,7 м угольника понадобится.                                

          В результате исследования я выяснил  некоторые области применения теоремы Пифагора. Мной собрано и обработано много материала из литературных источников и интернета по данной теме. Да, действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи. Теорема Пифагора нашла свое применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи, литературе.

          Не буду пытаться привести все примеры использования теоремы - это вряд ли было бы возможно. Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой.

           Проанализировав задачи из  учебника  по геометрии 7-9  классов выяснил, что в школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении теоремы Пифагора не рассматривается.  Я решил, составит сборник задач, одним из способов решения которых, является теорема Пифагора. Я надеюсь, он будет применяться на уроках геометрии при изучении данной теоремы, при закреплении материала и при подготовке к выпускным экзаменам, а также во внеурочное время. Решив эти задачи, обучающиеся смогут убедиться, что необходимо изучать и знать теорему Пифагора.

            Заключение

            Роль геометрии в жизни человека огромна. Она является не только предметом на уроках, но основой для решения многих жизненных ситуаций. В ходе работы над проектом я рассмотрел области применения теоремы Пифагора, и увидел, что в какую бы сторону я не посмотрел, везде можно увидеть объект, к которому можно ее применить.

           Значение теоремы состоит в том, что из нее или с ее помощью  можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Из-за этого многие ученые называют  эту теорему самой главной в геометрии.

             К  сожалению, невозможно привести все доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры  убедительно свидетельствуют об огромном интересе, проявляемом по отношению к ней.

      В своей работе я:

• изучил литературу и информацию в сети Интернет по данной теме;
• сформировал представления о Пифагоре и его теореме;
• рассмотрел спектр применения теоремы Пифагора в окружающем мире;
• нашел задачи, которые решаются при помощи теоремы Пифагора;
• выбрал задачи, которые показывают применение теоремы Пифагора в жизни человека, и собрал их в сборник. Этот сборник можно применять как на уроках геометрии при изучении и закреплении теоремы Пифагора, так и во внеурочное время (на факультативах, классных часах, неделях математики и д.).

         В результате решения поставленных задач я пришел к выводу, что выдвинутая мною  гипотеза нашла подтверждение. Да, действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи, но и широко использовать ее в практической деятельности человека. Теорема Пифагора нашла свое применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи и литературе, и других областях.

Результатом моей работы является:

• приобретение навыка работы с литературными источниками;

• приобретение навыка поиска нужного материала в Интернете;
• научился работать с большим объёмом информации, отбирать нужную информацию;
• выделять главное  и формулировать свои мысли кратко и лаконично;
• достигать поставленной цели;
• это был мой первый проект по математике, в результате которого я приобрел опыт обработки данных и написания исследовательского проекта.

       Эта работа позволила мне заглянуть за пределы школьной программы по математике и узнать не только те доказательства теоремы Пифагора, которые приведены в учебниках, но и другие любопытные способы доказать знаменитую теорему. А также увидеть примеры, как теорема Пифагора может применяться в обычной жизни.

            Литература и интернет-ресурсы

1. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / авт.-сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 335 с

2.Глейзер Г. И. История математики в школе. М., 1982

3. http://obshe.net/posts/id785.html 

4. https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагор 

5. https://calculator888.ru/blog/biografiya/pifagor.html 

6. Теория и философия музыки Пифагора https://megaobuchalka.ru/10/21425.html 

7. https://fil.wikireading.ru/81338 

8. Краткая биография Пифагора Самосского

http://www.wisdoms.one/biografiya_pifagor.html 

Муниципальное казенное  общеобразовательное учреждение «Николо-Погореловская средняя общеобразовательная школа»

Смоленская область

Сафоновский район

д. Николо-Погорелое     ул.Школьная      д. 7

Задачник

«Теорема Пифагора в практической деятельности»

Составила:

 Иванова Светлана, ученица 11 класса

2019-2020 учебный год

Содержание

Введение………………………………………………………………………………..2

Исторические задачи…………………………………………………………………..3

Задачи – сказки………………………………………………………………………...5

Задачи из области «Строительство»………………………………………………….7

Задачи из области «Окружающий мир»……………………………………………...8

Прикладные задачи……………………………………………………………………10

Ответы………………………………………………………………………………...11

ДОРОГИЕ  РЕБЯТА!

          В наши дни не обойтись в жизни без хорошего знания геометрии. Основа хорошего понимания геометрии – умение считать, думать, рассуждать, логически мыслить, находить удачные решения задач. Все эти навыки и способности вы можете выработать, если будете настойчивы, трудолюбивы, внимательны.

         Геометрия встречается в нашей жизни практически на каждом шагу и не такая уж она серая и скучная, а разноцветная и веселая…

Так как в школьном курсе геометрии с помощью теоремы Пифагора решаются только математические задачи, и к сожалению не рассматриваются вопросы о применении теоремы в практической деятельности, то больше всего меня заинтересовал вопрос: каким образом теорему Пифагора можно использовать в практической деятельности человека?

         Я создал задачник по геометрии «Теорема Пифагора в практической деятельности».

В задачнике вы найдете много интересных и полезных для себя задач. Решая мои задачи, вы можете устроить себе занимательную и весьма полезную перемену.

Желаю вам успехов в овладении тайнами сложной, но увлекательной науки МАТЕМАТИКИ!

2

Исторические задачи

Задача 1. Задача индийского математика XII века Бхаскары: 

На берегу реки рос тополь одинокий

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

Задача 2.Старинная задача из китайской «Математики в девяти книгах»:

     "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "

Задача 3.Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу».

       Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания?

Задача 4.Вавилонская задача

     «Палка длиной 1/2, прислонена к стене. Ее верхний конец опустили на 1/10. Как далеко отодвинется ее нижний конец?» 

3

Задача 5.Задача арабского математика XI в.

      На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

Задача 6.Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого

     "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

4

Задачи - сказки

«Сказка об Иване – юном  математике»

          В некотором царстве, в некотором государстве жил-был царь и была у него дочь  Василиса красоты неописуемой. Вот однажды прилетел Кощей Бессмертный   и похитил Василису. Опечалился царь и издал указ: «Кто спасет мою дочь – тому отдам ее в жены». А на краю того царства жил Иван, да не дурак, а юный математик. Решил он выручить из беды девицу-красавицу и  отправился в путь.

Задача 1. Вышел он в чисто поле, а то поле длиною 800м шириною – 600м и охранял его Змей Горыныч пролетая над ним каждые 2 часа. С какой скорость надо незаметно пересечь то поле наискось?

Задача 2. А за тем полем жила Баба Яга, но решила обмануть она Ивана, завести в лес густой. «Поди – говорит – 70 м за север, потом 15 м на запад, да еще 78 м на запад. Выйдешь к реке, а за ней дуб. На том дубу смерть Кощеева в ларце на конце иглы». Подумал, подумал Иван да догадался, что этот маршрут - прямоугольная трапеция  и скоротал путь. Сколько метров он прошел?

Задача 3. Вышел Иван к реке, а реку не переплыть, лодка привязана к другому берегу. Сильное течение унесло ее вдоль берега на 2,4 м и на 1,8 от берега. Какова ширина реки?

                                                                                                                                                                                         5

Задача 4. Перебрался он на другой берег, достал свой волшебный меч и одним махом срубил дерево на высоте метра от земли. Сколько метров надо пробежать Ивану до ларца, если высота дерева 3,6 м?

Задача 5. Подбежал Иван к ларцу, открыл его, достал иглу и переломил ее. В тот же миг настала смерть Кощею. Видит перед ним дворец Кощея и ведет к его воротам лестница – загадка, длиною 7,5 м. Сколько у нее ступенек, если длина каждой 40 см, а высота 30 см?

Задача 6. Поднялся Иван по ступенькам, а двери  дворца волшебные. Надо произнести заветное число – их высоту, если они имеют форму равнобедренного треугольника с боковой стороной 250 см и основанием - 300 м. Какое число назвал Иван

Задача 7. В знак победы своей поднял Иван флаг над королевством Кощеевым на высоту 4 м, закрепил трос в 3 м от флагштока. Какова длина троса?

Освободил Иван Василису Прекрасную, поженились они и стали жить поживать, да добра наживать. Тут и сказке конец, а кто помогал Ивану – Молодец!

Задача 8. Задача – сказка о прекрасной принцессе.

        Давным-давно в некоторой стране жила прекрасная принцесса. Она затмевала красотой всех подруг и свою старшую сестру, которая красотой не блистала. Старшая сестра решила ей отомстить. Она пошла к ведьме и попросила ее заколдовать принцессу. Ведьма не смогла ей отказать, и придумала усыпить принцессу в башне до той поры, пока какой-нибудь принц не посмотрит на окно башни с такого места, чтобы расстояние от глаз принца до окна было 50 шагов.

        Принцесса заснула крепким сном. Прошло много лет, но никто мне смог расколдовать принцессу. И вот, в один прекрасный день в этом городе появляется на белом прекрасном коне молодой принц. Узнав, какое несчастье произошло с принцессой, молодой принц берется расколдовать ее. Для этого он измеряет длину от основания башни до окна, за которым скрывается принцесса. У него получается 30 шагов. Затем что-то прикидывает в уме и отходит на несколько шагов,

6 

поднимает голову и вдруг...башня озаряется светом и через мгновенье навстречу принцу выбегает еще более прекрасная принцесса... На сколько же шагов отошел принц от башни?

Задача 9.Задача в стихах

Над озером тихим,    

С полфута размером.    

Высился лотоса цвет.

Он рос одиноко, 
И ветер порывом,
Отнёс его в сторону. Нет,
Боле цветка над водой.
Нашёл же рыбак его
Ранней весною,
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:

 “Как озера вода здесь глубока?»

Задачи из области «Строительство»

Задача 1.Дом шириной 8 м надо покрыть крышей высотой 2 м. Какой длины нужны стропилы?

СТРОПИ́ЛА (др.-русск. стропъ — "крыша, потолок") — несущая, поддерживающая конструкция двускатной кровли.

Задача 2.Необходимо провести  на даче электричество. Нужно рассчитать длину  электрического провода от домика высотой 2,5м  до столба высотой 8,5м.

7

Задачи из области «Окружающий мир»

Задача 1.Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Задача2. Два сухогруза вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 12 км/ч и 16 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час?

Задача3. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами  A и B, расположенными на разных берегах озера.

Задача4.Вышка мобильной связи: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км.?)

Задача 5. 12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй  на   максимальную высоту 327 километров.   На каком    расстоянии  от  корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км)

Задача6. Необходимо закрепить трубу на школьной котельной угольниками. Один

8

конец угольника должен крепиться на высоте 1,5м, другой на земле на расстоянии 1 м. от трубы. Определить сколько метров угольника понадобится для того, чтобы закрепить трубу

Задача 7. Эскалатор метрополитена имеет 17 ступенек от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Определите а) длину лестницы, б) глубину станции по вертикали.

Задача 8. Параллельно прямой дороге на расстоянии 500м от неё расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полёта пули 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом? Ответ выразите в километрах.

9

Прикладные задачи

Задача 1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

Задача 2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка?

Задача 3. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин?

Задача 4.Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?

Задача 5. Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 3,5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

Задача 6.На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии BE нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым?

10

ОТВЕТЫ

Исторические задачи

Задачи - сказки

Задачи из области «Строительство»

11

Задачи из области «Окружающий мир»

Прикладные задачи

12