Аликвотные дроби.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №32 города Белово»

Выполнила Поздеева Елена

Ученица 6 «Б» класса

Белово 2012г.

Содержание.

Введение ………………………………………………………………3

Основная часть:

.    Происхождение аликвотных дробей.…………………………4

Основные операции над аликвотными дробями……………..6

Решение задач из учебника ……………………………………8

Решение олимпиадных задач ………………………….………9

Авторская задача  ………………………………………………9

Заключение……………………………………………………………10

Используемая литература……………………………………………11

1.Введение

Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида –  – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).

 Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках. Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Сумма такого типа использовалась математиками, как определение, для дробей начиная со времён древнего Египта до средневековья.

Задачи с использованием в  решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего,  задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Цель исследования:

Выяснить, какое значение имеют  аликвотные дроби в нашей жизни

Задачи исследования:

Узнать происхождение аликвотных дробей.

Рассмотреть основные операции  с аликвотными дробями.

Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

Составлять и решать задачи практического содержания.

2.Основная часть.

Происхождение аликвотных дробей.

Тема «Аликвотные дроби» является интересной темой для исследования дробей.  Столкнувшись с этим термином впервые, понимаешь, почему в Древнем Египте математики «настоящими» дробями считали только аликвотные дроби.

Итак, Египтяне все дроби записывали как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например: 8/15=1/3+1/5. Дроби 1/n  ( где n - натуральные число ), которым египтяне отдавали предпочтение, в современной математике именуются аликвотными ( от латинского aliguot- " несколько'').  То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1. И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например,

                                         1/2=1/3+1/6, 1/4=1/5+1/20

Египтяне ставили иероглиф «Глаз Хора»

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, т.е.аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.

Рассмотрим такую задачу: ,,Разделить 7 хлебов между 8 людьми.,,   Если разрезать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так: 7/8= 1/2 +1/4 +1/8. Значит, каждому человеку дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба. Придется сделать почти в три раза меньше разрезов.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков . К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой(позиционная система исчисления)

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» -  это

вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

2.2 Основные операции над аликвотными дробями

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число 2/43 выражается так: 2/43= 1/42 +1/86 +1/129 +1/301.Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Поэтому в процессе решения задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей возникла идея систематизировать разложение дробей в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Формула выглядит следующим образом:

1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))

Примеры разложения дробей:

1/3=1/(3+1)+1/3*(3+1)=1/4 +1/12;

1/5=1/(5+1)+1/5*(5+1)=1/6 +1/30;

1/8=1/(8+1)+1/8*(8+1)=1/9+ 1/72.

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

1/(n*(n+1))=1/n -1/(n+1)

1/6=1/(2*3)=1/2 -1/3

½=1/(1*2)=1/1 -1/2

Т.е. аликвотную дробь можно представить разностью двух аликвотных дробей, или разность двух аликвотных, знаменателями которых  являются последовательные  числа  равна  их  произведению.

Вернемся к формуле и докажем это равенство:

                            1/n=(1/(n+1)) +(1/n*(n+1))                                                                

                       (1/(n+1)) +(1/n*(n+1)) , приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

                           ( n+1 )/((n+1)*n) после сокращения получаем:

                           1/n.

Итак, получается, что 1/n=1/n. Наша формула верна.

Но мы пойдем дальше, и на основании разности аликвотных дробей решим, на первый взгляд, трудноразрешимую для обычного человека задачу:

1/2+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+…….+1/(19*20) =????

Воспользуемся нашей формулой для разложения аликвотной дроби в виде разности:

½=1/(1*2)=1/1 -1/2

1/6=1/(2*3)=1/2-1/3

1/12=1/(3*4)=1/3-1/4

1/20=1/(4*5)=1/4-1/5  и т.д.

 Подставив, уже разложенные выражения в наш пример, получаем:

1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……..+1/19-1/19-1/20=1/1-1/20=19/20.

Мы представили формулу, как удобство при разложении аликвотной дроби на 2 слагаемых. При разложении 1 на два слагаемых получается:

1=1/2+1/2 (Наша формула действует!). Чтобы разложить 1 на 3 слагаемых, мы возьмем одну аликвотную дробь и по формуле разложим ее еще на две аликвотные дроби:

½=1/3+1/6 =½=1/3+1/6 => 1=1/2+1/3+1/6;

Чтобы разделить на 4 слагаемых, делим еще одну дробь на две аликвотные дроби:

1/3=1/4+1/12 => 1=1/2+1/4+1/12+1/6;

На 5 слагаемых: 1/6=1/7+1/42  => 1=1/2+1/4+1/12+1/7+1/42.

2.3 Решение задач из учебника

2.3.1.Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

А) трех слагаемых

 1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6

Б) четырех слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)= 1/2+1/3+1/7+1/42

B) 5-и слагаемых

1=1/2+1/2=1/2+(1/3+1/6)=1/2+1/3+1/6=1/2+1/3+(1/7+1/42)=

1/2+1/3+1/7+1/42=1/2+(1/4+1/12) +1/7+1/42=

1/2+1/4+1/12 +1/7+1/42

2.3.2.Митя обнаружил, что 1/n часть класса написала работу лучше него, а 1/(n-1) часть класса – хуже него. Сколько учеников в классе?

Если 1/n написало лучше, а 1/(n-1) хуже. В идеале никто не написал работу также как и он, но с таким же результатом могло быть и большее количество учеников.  

За нескольких сказать ничего не могу, а за одного:  Мы можем взять число всех учеников классе за 1. И тогда получается что мы должны разложить число 1 на 3-и аликвотные дроби.

1=1/n+1/(n-1)+1/x

1/x=1/n*(n-1) тогда получается что в классе n*(n-1) учеников.

1=1/(n-1)+1/n+1/(n*(n-1))

Методом подбора мы видим что 1 раскладывается на аликвотные дроби только следующим образом :

1=1/2+1/2=1/2+1/3+1/6  во всех других случаях мы не сможем получить из суммы других аликвотных дробей 1.

Так что,  в случае , если он один написал работу с таким результатом, можно утверждать, что в классе 6 человек.

А если таких учеников было несколько, то задача имеет множество решений.

1/x=(n*(n-1)-n –n+1)/(n*(n-1))

2.4 Решение олимпиадных задач

2.4.1.Найди сумму

1/(10*11)+1/(11*12)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=?

Чтобы найти решение данной задачи необходимо найти сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(98*99)+1/(99*100)=99/100

И вычесть из нее сумму

1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(8*9)+1/(9*10)=9/10

99/100-9/10=(99-90)/100=9/100=0.09

2.4.2.Найти сумму

½+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90=

1,  b) 10/11,  c) 4/5, d) 8/9, e) 9/10

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(6*7)+1/(7*8)+1/(8*9)+1/(9*10) =9/10

Ответ  e)

2.5 Авторская задача

Чтобы узнать в каком году  в Казани будет проводиться Универсиада нужно сумму аликвотных дробей

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/(2013*2014)  умножить на год проведения зимних олимпийских игр в городе Сочи.

Решение :

1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+…+1/(2013*2014)=2013/2014

2013/2014 * 2014 = 2013

Ответ : Универсиада будет проводиться в 2013 году.

3.Заключение.

 Таким образом, при разработке данной темы,  мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что каждое рациональное число вида a/b  может быть разложено на единичные дроби.

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс  нестандартных задач.  Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Разложение дробей на две аликвотные дроби систематизировали в виде формулы, преобразовав которую, легко решили олимпиадные задачи по математике разных лет.

Решив проблему разложения аликвотных дробей на две аликвотные дроби, мы пришли к выводу, что разложение на три, четыре, пять и т.д. аликвотных дробей можно произвести , разложив одно из слагаемых на две дроби, следующее слагаемое еще на две аликвотные дроби и т.д.

 Таким образом, аликвотные дроби (с числителем 1) долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

4.Используемая литература:

Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. М.: Педагогика,1989.

Левитас Г. Г. Нестандартные задачи по математике.– М.: ИЛЕКСА,2007.

Баженов И.И., Порошкин А.Г. и др. Задачи для школьных математических кружков. Сыктывкар, 1994.

Гаврилова Т. Д. «Занимательная математика». 5-11класс. Волгоград: Учитель, 2008.

Фарков А. В. Математические олимпиады в школе. 5-11класс. – М.: Айрис-пресс, 2005.

Петерсон Л. Г. Математика. 5класс. – М.:Ювента, 2009.