Диофант и диофантовы уравнения

МОУ  «Чалтырская общеобразовательная школа №1»

Мясниковского района Ростовской области

Реферат по математике

ДИОФАНТ

И

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

Выполнил Хейгетян Дзерон Арсенович,

ученик 10-а класса.

Руководитель – Килафян Аракси Хевондовна,

учитель математики.

с. Чалтырь

2011

                        Оглавление                         стр.

1. Введение………………………………………………………………..3
2. Основная часть работы:

1. о жизни Диофанта…………………………………………………..4
2. «Арифметика» Диофанта…………………………………………..5
3. решение диофантовых уравнений первой степени……………….7
4. решение диофантовых уравнениях второй и третьей  степеней..13

3. Заключение…………………………………………………………16
4. Список литературы…………………………………………………….17

Введение

Впервые о Диофанте я услышал в 6 классе, когда при изучении темы «Решение уравнений» мы решали задачу, в которой надо было определить возраст древнего математика. Затем на занятиях математического кружка мы познакомились с обозначениями, которые впервые ввёл Диофант для неизвестных. И меня это заинтересовало, из доступной литературы я стал изучать способы решения диофантовых уравнений и часть этой работы хочу представить вашему вниманию.

Цель работы: изучить способы решения диофантовых уравнений первой  и второй степени.

Задачи:

1. научиться приёмам работы с научной литературой;
2. изучить материалы о творчестве Диофанта, в частности о его вкладе в теорию чисел;
3. научиться решать неопределённые уравнения первой степени;
4. ознакомиться с приёмами решения диофантовых уравнений второй степени;
5. обобщить изученный материал, подготовить презентацию, поставить задачи на перспективу.

Основная часть работы

1) О жизни Диофанта.

Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант Александрийский, труды которого имели большое значение для алгебры и теории чисел.   До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата смерти Диофанта: полагают, что он жил в III в.н.э. В одном из древних рукописных сборников задач в стихах жизнь Диофанта описывается в виде следующей алгебраической загадки, представляющей надгробную надпись на его могиле:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения

,

Вот сколько лет жил Диофант.

2) «Арифметика» Диофанта

Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Первым прочёл их, по-видимому, известный астроном XV века Региомонтан (Иоганн Мюллер). Путешествуя по Италии, он открыл рукопись Диофанта в Венеции и сообщил об этом в письме к своему другу. Рукопись поразила его богатством содержания. Он решил перевести её, но не раньше, чем найдёт все 13 книг, о которых пишет Диофант во Введении. Однако были найдены только 6 книг, те, которые известны и нам, и перевод так и не был сделан. Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались нам совершенно не известны. Мы можем только гадать о её корнях и изумляться богатству и красоте её методов и результатов.

В начале своего труда Диофант поместил краткое введение, ставшее первым изложением основ алгебры. В нём строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика. Там же формулируются правила действий с многочленами и уравнениями. Сразу оговоримся, что анализ решений задач позволяет обнаружить в «Арифметике» более широкие теоретические основания, чем те, которые явно изложены во введении. Прежде всего это относится к числовой области.

Напомним, что в классической античной математике числами назывались множества единиц, т. е. только натуральные числа.

Диофант же хотя и даёт определение числа как множества единиц, но на протяжении всех книг называет каждое положительное рациональное решение своих задач словом «число».

Однако для построения алгебры одних только положительных дробей недостаточно, и Диофант делает решительный шаг - вводит отрицательные числа. Для этого он выбирает метод, известный теперь как аксиоматический: он определяет новый объект, который называет «недостатком», и формулирует правила действий с ним. Диофант пишет: «Недостаток, умноженный на недостаток, дает наличие; недостаток же, умноженный на наличие, даёт недостаток».

(-) х (-) = (+),

(-) х (+) = (-).

Правила сложения и вычитания для новых чисел Диофант не излагает, он просто пользуется ими в своих книгах. И все же отрицательные числа Диофант применяет только в промежуточных вычислениях, а в качестве решения всегда выбирает положительное рациональное число.

В предложенной Диофантом буквенной символике примечательно то, что кроме знака для неизвестной величины вводятся обозначения для первых шести её степеней, как положительных, так и отрицательных. То есть для Диофанта эти величины не имеют геометрического смысла, как было раньше. Сформулировав правила умножения степеней неизвестного и введя специальные знаки для равенства - i (начальные буквы греческого слова «исос» - «равный») и неопределенного квадрата - □, Диофант впервые в математике получает возможность записывать уравнения или системы уравнений. Конечно, его форма записи нисколько не походит на современную, однако это настоящие уравнения, выделяющиеся в тексте так же, как в нынешних математических работах. Собственно говоря, до Диофанта никаких уравнений - ни определённых, ни неопределённых - просто не было. Рассматривались задачи, которые мы теперь можем свести к уравнениям, и не более того.

Наконец, во введении Диофант формулирует два основных правила преобразования уравнений: правило переноса члена уравнения из одной части в другую с обратным знаком и правило приведения подобных членов.

 «Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов.

3) Решение диофантовых уравнений первой степени

Методы решения неопределённых уравнений составляют основной вклад Диофанта в математику. Известно, что в символике Диофанта был один только знак для неизвестного. Решая неопределённые уравнения, он применял в качестве нескольких неизвестных произвольные числа, вместо которых можно было взять и любые другие, что и сохраняло характер общности его решения.

Решение уравнений в целых числах – один из самых красивых разделов математики. Ни один крупный математик не прошел мимо теории диофантовых уравнений. Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс, Чебышев оставили неизгладимый след в этой интересной теории.

         Долгое время надеялись найти общий способ решения диофантовых уравнений. Однако в 1970г. ленинградский математик Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может.

         Я изучил 2 способа решения диофантовых уравнений: первый из них – метод перебора – применяется для решения простейших задач.

Задача 3.1

Во дворе стоят скутеры и автомобили, всего у них вместе 18 колёс. Сколько скутеров и сколько автомобилей во дворе?

Решение

Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число автомобилей, у – число скутеров:

4х + 2у = 18, или 2х + у = 9.

Выразим у через х: у = 9 – 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:

Таким образом, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

В Индии, где неопределённые уравнения решались в связи с астрономическими запросами и календарными расчётами, ставился вопрос о нахождении именно целочисленных решений неопределённых уравнений. Намёки на общее решение диофантовых уравнений первой степени, т.е. вида

ах + ву = с,

встречаются впервые в трудах индийского астронома Ариабхатты, подробное же решение изложили индийские математики Брахмагупта и Бхаскара. Общий метод для решения в целых числах неопределённых (диофантовых) уравнений первой степени с целыми коэффициентами был назван в Индии  методом рассеивания (в смысле размельчения).

Воспользуемся этим методом для решения следующей задачи.

Задача 3.2. Найти два целых числа, зная, что разность произведений     первого на 19 и второго на 8 равна 13.

Решение.

В задаче требуется найти все целые решения уравнения

19х – 8у = 13.                        (1)

Выражая у – неизвестное с наименьшим по абсолютной величине коэффициентом через х, получим:

 .                (2)

Нам нужно теперь узнать, при каких целых значениях х соответствующие значения у являются тоже целыми числами. Перепишем уравнение (2) следующим образом:

       (3)

Отсюда следует, что у при целом х принимает целое значение только в том случае, если выражение  является целым числом, например, у1:

у1 =         (4)

Вопрос сводится к решению в целых числах уравнения (4) с неизвестными х и у1; его можно записать так:

3х – 8у1 = 13.        (5)

Это уравнение имеет по сравнению с первоначальным (1) то преимущество, что 3 – наименьшая из абсолютных величин коэффициентов при неизвестных – меньше, чем в (1), т.е. 8.

Продолжая тем же способом, мы получим из (5):

                 (6)

Итак, неизвестное х при целом у1 только тогда принимает целые значения, когда    есть целое число, скажем, у2:

 = у2,        (7)

или                             3у2 – 2у1 = 13.          (8)

у1 =              (9)

Полагая                                                 (10)

Получим уравнение       у2 – 2у3 = 13.                      (11)

Это самое простое из всех рассмотренных неопределённых уравнений, т.к. один из коэффициентов равен 1. Из него получим:

                 у2 = 2у3 + 13.                     (12)

Отсюда видно, что у2 принимает целые значения при любых целых значениях у3. Из равенств (6), (9), (12), (3) путём последовательных подстановок можно найти следующие выражения для х и у уравнения (1):

х = 2у1 + у2 = 2(у2 + у3) + у2 = 3у2 + 2у3 = 3(2у3 + 13) + 2у3 = 8у3 + 39;

у = 2х + у1 = 2(8у3 + 13) + 39) + у2 + у3 = 19у3 + 91.

Таким образом, формулы

х = 8у3 + 39,  у = 19у3 + 91

при у3 = 0, дают все целые решения уравнения (1).

В таблице приведены примеры таких решений.

Этот приём почти полностью совпадает с методом индийцев и был назван ими методом рассеивания (измельчения) именно потому, что неопределённое уравнение сводится к цепи уравнений со всё уменьшающимися по абсолютной величине коэффициентами.

К решению неопределённого уравнения первой степени сводятся иногда задачи, связанные с практикой и повседневной деятельностью человека.

Задача 3.3. Некто покупает в магазине вещь стоимостью в 19 р. У него имеются лишь 15 трёхрублёвок, у кассира же – лишь 20 пятирублёвок. Можно ли расплатиться и как?

Задача сводится к решению в целых положительных числах диофантова уравнения:                                    3х – 5у = 19,

где  

Решение.

Далее,                                 3у1 – 2у = 1,

у1 – 2у2 = 1, у1 = 2у2 + 1

               откуда            х = 5у2 + 8,   у = 3у2 + 1.

Ввиду  того, что х и у должны быть положительными и учитывая условие задачи, легко установить, что

,

т.е. у2 может принимать только два значения: 0; 1. Отсюда вытекают два возможных решения: (8; 1), (13; 4)

Задача 3.4. Можно ли отвесить 28 г некоторого вещества на чашечных весах, имея только 4 гири весом в 3 г и семь гирь весом в 5 г?

Решение.

3х + 5у = 28.

Имеем:

х = 9 – 2(3у1 – 1) + у1 = 11 – 5у1.

                                   Итак,      х = 11 – 5у1,

у = 3у1 – 1.

Из условий задачи вытекает, что у1 нельзя давать отрицательные значения (это привело бы к отрицательному у). Далее, должно быть у1< 3, для того, чтобы х не был отрицательным. Значит,

Однако у1 = 0 и у1 = 1 противоречат условию задачи . Таким образом, возможно только у1 = 2. При этом х = 1, у = 5 – единственное решение задачи.

Многие старинные способы отгадывания чисел и дат рождения основываются на решении диофантовых уравнений. Так, например, чтобы отгадать дату рождения (месяц и число) собеседника, достаточно узнать у него сумму, получаемую от сложения двух произведений: числа даты (х) на 12 и номера месяца (у) на 31.

Задача 3.5. Пусть сумма произведений, о которых идёт речь, равна 330. Найти дату рождения.

Решим неопределённое уравнение

12х + 31у = 330.

С помощью метода рассеивания получим:

х = 43 – 31у4,

у = 6 – 12у4.

Ввиду ограничений

,

Легко констатировать, что единственным решением является

у4 = 1, х = 12, у = 6.

Итак, дата рождения: 12-е число 6-го месяца, т.е. 12 июня.

4)Диофантовы уравнения второй степени

Индийские учёные решали также системы неопределённых уравнений первой степени со многими неизвестными. Они нашли решение в целых числах некоторых диофантовых уравнений  второй степени с с двумя неизвестными. Однако общее решение таких уравнений строго изложил впервые знаменитый французский математик XVIII века Ж. Л. Лагранж.

Диофант полностью проанализировал неопределённые уравнения второй степени с двумя неизвестными. Для решения уравнений и систем более высоких степеней он разработал ещё более тонкие и сложные методы, которые привлекали внимание многих европейских математиков Нового времени.

Задача 4.1. Найти все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

.

Решение.

Разложим левую часть уравнения на множители и запишем уравнение в виде

.

Т.к. делителями числа 69 являются числа 1, 3, 23 и 69, то 69 можно получить двумя способами: 69=1·69 и 69=3·23. Учитывая, что , получим две системы уравнений, решив которые мы сможем найти искомые числа:

   или   .

Первая система имеет решение , а вторая система имеет решение .

Ответ: .

Задача 4.2. Решить уравнение в целых числах:

.

Решение.

Запишем уравнение в виде

.

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 1 только в двух случаях: если оба они равны 1 или -1. Получим две системы:

   или   .

Первая система имеет решение х=2, у=2, а вторая система имеет решение х=0, у=0.

Ответ: .

Задача 4.3. Решить в целых числах уравнение

.

Решение. Запишем данное уравнение в виде

.

Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки, получим

.

Произведение двух целых чисел может равняться 7 в следующих случаях:

7=1· 7=7·1=-1·(-7)=-7·(-1).Таким образом, получим четыре системы:

   или   ,  или  , или  .

Решением первой системы является пара чисел х = - 5, у = - 6. Решая вторую систему, получим х = 13, у = 6.Для третьей системы решением являются числа х = 5, у = 6. Четвёртая система имеет решение х = - 13, у = - 6.

Ответ: .

Задача 4.4. Доказать, что уравнение

не имеет целых решений.

Решение.

      Разложим левую часть уравнения на множители и запишем данное уравнение в виде

.

1 случай. Пусть у=0, тогда исходное уравнение примет вид

.

Тогда , но это число не является целым. Значит, при у=0 данное уравнение не имеет целых решений..

2 случай. Пусть , тогда все пять множителей в левой части уравнения различны. С другой стороны число 33 можно представить в виде произведения максимум четырёх различных множителей ( 33=1·3·11  или 33=-1·3·(-11)·(-1) и т.д.). Следовательно, при  данное уравнение также не имеет целых решений.

Заключение

Именно благодаря методам Диофанта были разгаданы методы самого Архимеда.  И если история интеграционных методов Архимеда в основном завершается созданием интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, то история методов Диофанта растягивается еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля.

Раздел математики, занимающийся решением диофантовых уравнений, называется «диофантовым анализом», и он, в свою очередь, является частью интересного раздела современной математики – теории чисел. В теории чисел созданы специальные методы решения диофантовых (их ещё называют неопределёнными) уравнений.

Задача решения уравнений третьей степени с двумя неизвестными до сих пор не нашла полного решения. Отдельные типы таких уравнений, как и другие задачи неопределённого анализа, решили советские учёные Б.Н.Делоне, А. О. Гельфонд и др. Вообще же алгоритм, с помощью которого можно определить, имеет ли произвольное диофантово уравнение целочисленные решения, не найден и даже пока неизвестно, существует ли такой алгоритм.

Именно Диофант открыл нам мир арифметики и алгебры. Поэтому история диофантова анализа показалась мне особенно интересной.

Я думаю в следующем году продолжить работу над этой темой, расширить свои познания в решении неопределённых уравнений степени, и рассказать об этом на занятиях кружка, на конференции. Изучение новых методов решения обогащает багаж знаний любого человека, тем более, что для подготовки к  экзамену по технологии ЕГЭ недостаточно уметь решать только то, что представлено в школьных учебниках.

По миру математики, которая уже давно мудра и величава,

мы идём проторенным путём.

Но каждый может стать первооткрывателем:

 вначале для себя, а в  будущем, может,  и для других…

Литература

1. Башмакова И.Г., Диофант и диофантовы уравнения. - М.: «Наука», 1972г. - 68 с.
2. Гельфонд А.О., Решение уравнений в целых числах. Популярные лекции по математике, вып. 3. - М.: «Гостехиздат», 1957 г. - 66 с.
3. Глейзер Г. И., История математики в школе. – М.: «Просвещение», 1982г.-240 с.
4. Пичурин Л.Ф., За страницами учебника алгебры. – М.: «Просвещение», 1990г.-223с.
5. Соловьев Ю.Н., Неопределенные уравнения первой степени: Квант, 1992 г., №4.
6. Стройк Д.Я., Краткий очерк истории математики. - М.: «Наука», 1990 г. - 256 с.