Правильные многогранники

Слайд 1

Слайд 2

«Математика есть прообраз красоты мира». Иоганн Кеплер

Слайд 3

Архимед 287-212 гг. до н.э. Евклид 3 век до н.э. Пифагор 6 век до н.э.

Слайд 4

Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них – пирамиду Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии.

Слайд 5

Правильным многогранником называется многогранник, у которого все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.

Слайд 6

Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Слайд 7

Эйлер Леонард 1707-1783 гг. Теорема Эйлера о числе граней, вершин и ребер выпуклого многогранника: для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2, где Г-число граней, В-число вершин, Р-число рёбер данного многогранника. Теорему Эйлера историки математики называют первой теоремой топологии - крупного раздела современной математики.

Слайд 8

Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Их поражала красота, совершенство, гармония этих фигур.

Слайд 10

Платон (428 – 348 г. до н.э.) Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий учёный, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами.

Слайд 11

Правильным многогранникам посвящена последняя, XIII книга знаменитого труда Евклида. Существует версия, что Евклид написал первые 12 книг для того, чтобы читатель понял написанную в XIII книге теорию правильных многогранников, которую историки математики называют «венцом «Начал». Здесь установлено существование всех пяти типов правильных многогранников, путей их построения и доказано, что других правильных многогранников не существует.

Слайд 12

Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноимённые правильные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками . Впервые многогранники такого типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого учёного были названы телами Архимеда .

Слайд 13

Полуправильные многогранники: усечённый тетраэдр, усечённый октаэдр, усечённый икосаэдр, усечённый куб, усечённый додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усечённый кубооктаэдр , усечённый икосододекаэдр, ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, "плосконосый" (курносый) куб, "плосконосый" (курносый) додекаэдр .

Слайд 14

Тела Архимеда

Слайд 15

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников - Платоновых тел, можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо .

Слайд 16

Тела Кеплера - Пуансо . Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Слайд 17

Малый звёздчатый додекаэдр Большой додекаэдр Иоганн Кеплер

Слайд 18

Изображения Леонардо да Винчи додекаэдра методом жестких ребер (а) и методом сплошных граней (б) в книге Л. Пачоли «Божественная пропорция».

Слайд 19

Изображение Леонардо да Винчи усечённого икосаэдра методом жёстких рёбер в книге Л. Пачоли «Божественная пропорция».

Слайд 20

Художественное изображение многогранников в разработанной Леонардо технике жёстких рёбер Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе». Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери.

Слайд 21

Графические фантазии Маурица Эшера М. Эшер – нидерландский художник-график.

Слайд 22

Холст, на котором написана "Тайная вечеря" Сальвадора Дали имеет форму золотого прямоугольника. Золотые прямоугольники меньших размеров использованы художником при размещении фигур двенадцати апостолов. В центре картины расположен додекаэдр.

Слайд 23

Спасибо за внимание