Исследовательская работа на тему: «В мире чисел. Мгновенное умножение»

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа  № 101

Дзержинского р-на г. Волгограда

Исследовательская работа на тему:

«В мире чисел. Мгновенное умножение»

Выполнила

Селюкова Алена Вячеславовна

ученица 6 б класс,

Педагог:

Литвинова Ирина Николаевна

учитель математики и информатики

Волгоград  2013

Введение

Мы... никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.

Платон

Актуальность. Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы математического цикла.

Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.

Мы хотим остановиться на способах умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша, ручки и бумаги.

Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий, в частности – умножение на 11, двузначные числа.

Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе. 

На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11 и 111, у  меня возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Я поставила перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления.

Предмет исследования: роль мгновенного умножения на уроках математики, экзаменах, жизни.

Цель: изучить способы умножения, для производства которых достаточно устного счета или применения карандаша и бумаги, помочь себе и товарищам овладеть в совершенстве вычислительными навыками, при этом, развивая память и внимание.

Гипотеза исследования: арифметика зачастую не в силах собственными средствами строго доказать правильность некоторых из ее утверждений. Ей приходится прибегать к приемам алгебры. Рассмотрению этих приемов и посвящается моя исследовательская работа.

Задачи:

1. Изучить приемы вычислительной работы вычислителей-виртуозов.

   - возведение в квадрат;

        - умножение трехзначных чисел;

        - возведение в квадрат смешанных чисел.

2. Алгебраически доказывать данные приемы сокращенного умножения.

Метод исследования: вычисления, анализ литературы, консультации учителя, эксперимент, виртуальная экскурсия.

Практические результаты: 

 - освоено 4 метода мгновенного умножения,

 - написана исследовательская работа с примерами приемов умножения,

 -  создана презентация методов умножения и продемонстрирована в классе на уроке математики.

1. ЭКСКУРСИЯ ПО КАРТИНЕ

Известная, наверное каждому, картина "Устный счет"  - это не просто картина, а еще и повествование художника Николая Петровича Богданова-Бельского о своем педагоге, сельском учителе татемской школы (сейчас Оленинский район Тверской области) С.А. Рачинском.
Вернувшись в свое родовое имение в Татеве в 1872 году, Сергей Александрович скрашивал свой досуг чтением и цветоводством, но все изменилось, когда он случайно заглянул на урок арифметики в местную школу.
Урок показался скучным... и Сергей Александрович попробовал сам провести урок. И вот уже он сельский  учитель, этому он посвятил всю свою жизнь. В 1875 году им строится здание школы, куда он и переселяется…
Талантливый педагог культивировал в своей школе устный счет, основанный на виртуозном использовании свойств чисел. 
Вы уже, наверно, поняли, что здесь изображены учащиеся и учитель. Конечно, костюмы учащихся необычные: некоторые ребята в лаптях, а у одного из героев картины (того, который изображен на переднем плане) и рубаха порвана. Ясно, что эта картина не из нашей школьной жизни. Вот и надпись на картине: 1895 год – время старой дореволюционной школы. Крестьяне жили тогда бедно, сами они и их дети ходили в лаптях. В то время мало кто из них мог учиться даже в начальной школе. Посмотрите-ка на картину: ведь только трое из учащихся в лаптях, а остальные – в сапогах. Очевидно, ребята из богатых семей. Ну, а почему на картине не изображены девочки, это тоже нетрудно понять: в то время девочек, как правило, в школу не принимали.

Учение было «не их делом», да и мальчики-то учились далеко не все. 
Посмотрите, как сосредоточенно думает мальчик, изображенный на переднем плане. Видно, нелегкую задачу дал учитель. Но этот ученик, наверно, и скоро закончит работу, ошибки не должно быть: уж очень серьезно относится он к устному счету. А тот, который что–то шепчет на ухо учителю, кажется, уже решил задачу, только его ответ не совсем правильный. Смотрите: учитель слушает ученика внимательно, но на лице нет одобрения, значит, ученик сделал что–то не так. А может, учитель терпеливо ожидает, когда и другие сосчитают, и потому не спешит одобрить ответ?

А какую же задачу дал им учитель? Не сможем решить ее и мы? 


Число 365 замечательно, прежде всего тем, что определяет число дней в году. Далее, при делении на 7 оно дает в остатке 1; эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для нашего семидневного календаря. 
Другая особенность числа 365 не связана с календарем:

365 = 10*10+ 11*11 + 12*12,
т.е. 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10: 102+112+122 = 100+121+144 = 365,
Но и это еще не все, этому же числу равна сумма квадратов двух следующих чисел 132+142 = 169+196 = 365.
- Вот так пример, и совсем нехитрый. Получается-то всего лишь два! Только для его решения надо хорошо знать, что сумму можно делить не сразу всю, а каждое слагаемое в отдельности или же по группам в два - три слагаемых, а потом уж сложить получившиеся результаты. 
Богданов – Бельский очень хорошо знал своих маленьких героев: вырос в их среде, был когда-то пастушком. « Я незаконнорожденный сын бедной бобылки, оттого Богданов, а Бельским стал по имени уезда » , - рассказывал художник о себе. Ему посчастливилось попасть в школу известного русского педагога профессора С. А. Рачинского, который заметил художественное образование.
Н. П. Богданов – Бельский окончил Московское училище живописи, ваяния и зодчества, учился у таких известных художников, как В. Д. Поленов, В. Е. Маковский.
Немало портретов и пейзажей написано Богдановым – Бельским, но в памяти людей он остался, прежде всего, как художник, сумевший поэтично в памяти людей поведать о смышленой сельской детворе, жадно тянувшейся к знаниям.
Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. Учитель – Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, замечательный преподаватель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаником Московского университета. В 1868 г. С. А. Рачинский решает «уйти в народ». Он держит экзамен на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татево Смоленской губернии становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Не случайно, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками именно на уроке устного решения задач.

Эта картина - гимн учителю и ученику.

2. КАК ВЫЧИСЛЯЛИ НАШИ ПРЕДКИ.

На Руси, начиная с глубокой древности и почти до восемнадцатого

века, русские люди в своих вычислениях обходились без умножения и

деления. Они применяли лишь два арифметических действия – сложение и

вычитание. Да еще так называемое «удвоение» и «раздвоение». Но

потребности торговой и иной деятельности требовали производить

умножение достаточно больших чисел, как двузначных так и трехзначных.

Для этого существовал свой особый способ умножения таких чисел.

Сущность старинного русского способа умножения состоит в том, что

умножение любых двух чисел сводилось к ряду последовательных делений

одного числа пополам (последовательное раздвоение) при одновременном

удвоении другого числа.

 Например, если в произведении 24 ∙ 5 множимое 24 уменьшить в два

раза (раздвоить), а множимое увеличить в два раза (удвоить), т.е. взять

произведение 12 ∙ 10, то произведение остается равным числу 120. Это

свойство произведения заметили наши далекие предки и научились

применять его при умножении чисел своим особым старинным русским

способом умножения.

Умножим этим способом 32 ∙ 17..

 32 ∙ 17

 16 ∙ 34

 8 ∙ 68

 4 ∙ 136

 2 ∙ 272

 1 ∙544 Ответ: 32 ∙ 17 = 544.

2.2 В разобранном примере деление на два – «раздвоение» происходит

без остатка. А как быть, если множитель не делится на два без остатка? И

это оказалось по плечу древним вычислителям. В этом случае поступали так:

 21 ∙ 17

 10 ∙ 34

 5 ∙ 68

 2 ∙ 136

 1 ∙ 272

 357 Ответ: 357.

Из примера видно, что если множимое не делится на два, то от него

сначала отнимали единицу, потом полученный результат «раздваивали» и так

5до конца. Затем все строчки с четными множимыми вычеркивали (2-ая, 4-ая,

6-ая и т.д.), а все правые части оставшихся строчек складывали и получали

искомое произведение.

2.3. Как же рассуждали древние вычислители, обосновывая свой способ

вычисления? А вот как:

21 ∙ 17 = 20 ∙ 17 + 17.

Число 17 запоминается, а произведение 20 ∙ 17 = 10∙ 34 (раздваиваем –

удваиваем) и записываем. Произведение 10 ∙ 34 = 5 ∙ 68 (раздваиваем –

удваиваем), а как бы лишнее произведение 10∙34 вычеркиваем. Так как 5 ∙ 34

= 4 ∙ 68 + 68, то число 68 запоминается, т.е. третья строка не вычеркивается, а

4 ∙ 68 = 2 ∙ 136 = 1 ∙ 272 (раздваиваем – удваиваем), при этом четвертая

строка, содержащая как бы лишнее произведение 2 ∙ 136, вычеркивается, а

число 272 запоминается. Вот и получается, что, чтобы умножить 21 на 17,

надо сложить числа 17, 68 и 272 – это как раз и есть правые части строк

именно с нечетными множимыми.

2. МГНОВЕННОЕ УМНОЖЕНИЕ

Вычислители-виртуозы во многих случаях облегчают себе вычислительную работу, прибегая к несложным алгоритмическим преобразованиям. Например, вычисление

Выполняется так:

Легко сообразить, что вычислитель в этом случаи пользуется следующим алгоритмическим преобразованием:

На практике мы можем с успехом пользоваться этой формулой для устных выкладок.

Например:

 Далее, умножение  выполняется так:

На чём основан этот приём? Представим множители в виде

И перемножим эти двучлены по правилам алгебры:

Делаем преобразование:

Последняя строка и изображает приём вычислителя.

Интересен способ  перемножения двух трёхзначных  чисел, у которых число десятков  одинаково, а цифры единиц  составляют в сумме 10. Например, умножение

Выполняется так:

Результат:

Обоснование способа ясно из следующих преобразований:

Другой приём для выполнения подобных умножений ещё проще:

В этом примере нам приходилось возводить в квадрат число .

Для быстрого возведения в квадрат чисел, оканчивающихся на , очень удобен следующий способ:

Правило состоит в том, что умножают число десятков на число, на единицу  большее, и к произведению приписывают .

Приём основан на следующем если число десятков то всё число можно изобразить так:

Квадрат этого числа как квадрат двучлена равен

Выражение  есть произведение числа десятков на ближайшее высшие  число. Умножить число и прибавить  – всё равно,  что приписать к числу 25.

Из того же приёма вытекает простой способ возводить в квадрат числа, состоящие из целого и  .  Например:

4. Роль способов умножения в жизни современного школьника.

По справедливому мнению психологов, «есть такое общее психологическое правило: усвоение знаний происходит в активной умственной деятельности учащихся: ученик должен не просто запоминать правила или определения понятий, не пассивно воспринимать в готовом виде разъяснение учителем новых знаний, а «добывать» и осмысливать эти знания в посильной самостоятельной работе»1.

Моя исследовательская работа имеет большую ценность для современного школьника:

 - обеспечивает сознательное и прочное овладение учащимися новыми знаниями и новыми способами действий поскольку процесс овладения происходит в ходе активной, самостоятельной поисковой деятельности учащихся;

  - содействует умственному развитию учащихся и, что особенно важно, формированию умственной самостоятельности и творческих способностей учащихся, учит школьников учиться, овладевать опытом творческой деятельности, содействует развитию мышления. Учение для детей становится более интересным, увлекательным, открываются большие возможности для формирования у учащихся внутренней мотивации.

«Мыслить человек начинает тогда, когда у него появляется потребность что-то понять» 

1Пути повышения качества усвоения знаний в начальных классах. Под ред. Богоявленского Д.Н. и Менчинской ПЛ., М, 1962, с.13.

Заключение

Основываясь на анализе изученной литературы, ресурсов Интернета можно сделать вывод, что изучение способов мгновенного умножения занимает важное место в образовательном процессе при изучении естественных наук. Поиск новых способов, изучение истории математики способствует развитию исследовательских качеств личности в процессе  теоретических и практических основ математики.

5. Список литературы

1. Штейнгауз Г. «Сто задач» //М. Наука, 1986 г.
2. Веб-ресурс http://arnautovo.gvarono.ru/metod/work-u/2009/akulov.pdf

«Сквозь призму времен»