Применение свойства монотонности функции в решении уравнений.

Слайд 1

Слайд 2

Введение При решении уравнений школьники часто сталкиваются с заданиями творческого характера. Часть из них можно решить, используя свойство монотонности.

Слайд 3

Свойство Если y = f ( x ) монотонно возрастает на промежутке I и функция y = g ( x ) монотонно возрастает, то y = f ( x )+ g ( x ) монотонно возрастает на этом промежутке.

Слайд 4

Рассмотрим уравнение: f ( x )= а Если f ( x ) монотонно возрастает на промежутке I , то она может принимать значение а не более чем в одной точке, т.е. данное уравнение имеет не более одного корня.

Слайд 5

Например : х 5 +х 3 +2х=4 Левая часть данного уравнения монотонно возрастает. Значит уравнение имеет не более одного корня. При х=1, получим 1+1+2*1=4 4=4 х=1 единственный корень уравнения. Ответ: х=1

Слайд 6

Рассмотрим уравнение: f ( x ) = g ( x ) Если функция f ( x ) монотонно возрастает на некотором промежутке I , а функция y = g ( x ) монотонно убывает, то кривые y = f ( x ) и y = g ( x ) на плоскости могут пересечься не более чем в одной точке, значит данное уравнение имеет не более одного корня.

Слайд 7

Например: х+16=(1/15) х 1) Левая часть данного уравнения, функция возрастающая, как линейная с положительным угловым коэффициентом 2) Правая часть данного уравнении, функция убывающая, как показательная с основанием меньше единицы.

Слайд 8

Значит, уравнение имеет не больше одного корня. При х = -1 имеем -1+16=(1/15) -1 Х = -1 единственный корень уравнения. Ответ: х=-1

Слайд 9

Пример №1 4 x - x 2 =2 x 2 -4 x +6 -( x 2 -4 x )= 2 x 2 -4 x +6 Пусть x 2 -4 x = t , тогда - t=2t+6

Слайд 10

Левая часть y = - t , убывающая на R . Правая часть y =2 t +6 показательная, возрастает на R .(2>1) t=-4 По скольку t = x 2-4 x , решим уравнение. Х 2 -4х+4=0 Х=2 Ответ: х=2.

Слайд 11

Метод, основанный на перечисленных утверждениях, состоит в следующем: Выделить функции; Установить их монотонность; Подобрать корень уравнения; Обосновать на приведенное утверждение, что других корней нет; Записать ответ.

Слайд 12

Условия монотонности. Монотонность функции связана с тем, каков знак ее производной: Если f’(x)>0 в каждой точке интервала I , то функция f возрастает на I . Если f’(x)<0 в каждой точке интервала I , то функция f убывает на I .

Слайд 13

___ Например: x 5 +x 3 - √ 1-3x+4 ___ f(x)=x 5 +x 3 - √ 1-3x+4 D(f)=(-∞;1/3) На этом промежутке функция f(x) непрерывно и внутри него имеет производную ___ F’(x)=5x4+3x2+ (3/2(√1-3 x )) F’(x)>0? => f(x) возрастает на ( ∞;1/3 |

Слайд 14

Следовательно, она принимает каждое свое значение только в одной точке. ___ Значит, уравнение x 5 +x 3 - √ 1-3x+4 имеет не более одного корня. При х=-1 , получим -1-1-2+4=0 0=0 Ответ: х = -1

Слайд 15

Пример №2 xlog 3 x -(2 x +3) log 3 x +6=0. Решение Обозначим log 3 x = t . Приходим к квадратному относительно t уравнению xt 2 -(2х+3) t +6=0. его корни t 1,2 =((2х+3)±(2х-3)/2х t 1 =2, log 3 x = 2, х = 9 t 2 =3/х. log 3 x = 3/х.

Слайд 16

при х>0 функция у = log 3 x - возрастающая, функция у = 3/х- убывающая. Поэтому, если существует корень уравнения log 3 x = 3/х, то он единственный. Подбором находим корень х = 3 Ответ: 3;9.

Слайд 17

Заключение При использовании нестандартных методов, решение занимает меньше времени, а также оно более интересно.

Слайд 18

Презентацию подготовила: Башарова Юлия.