Изопериметрические задачи

Слайд 1

Слайд 2

Определение Изопериметрическая задача - среди данной совокупности фигур, имеющих одинаковую длину контура — одинаковый периметр — требуется найти ту, площадь которой больше площадей всех прочих фигур рассматриваемой совокупности (но не всех вообще фигур с таким же периметром). Дидона

Слайд 3

История История изопериметрической задачи началась в IX веке до н. э., когда дочь финикийского царя - принцесса Дидона , спасаясь от своего брата, замыслившего заговор против неё, снарядила корабль и со своими слугами отправилась в плавание вдоль южного побережья Средиземного моря. После нескольких дней плавания корабль причалил к берегу на территории современного государства Тунис. Принцесса попросила вождя местного племени Ярба выделить ей участок земли на берегу для того, чтобы основать там своё поселение. Вождь с усмешкой предложил ей взять столько земли, сколько можно ограничить одной бычьей шкурой. Тогда хитрая Дидона приказала разрезать бычью шкуру на очень тонкие полосочки , из которых сплели длинную верёвку и охватили этой верёвкой большой кусок прибрежной полосы. Удивились братья мудрости и находчивости Дидоны , и не стали препятствовать строительству нового города. Так, по преданию, был основан Карфаген.

Слайд 4

Решение задачи Дидоны От прямой линии берега верёвкой данной длины отгородить участок земли наибольшей площади. Пусть, для определённости, длина верёвки равна 1 км. Сделав симметрию относительно прямой линии берега, получим замкнутую линию длиной 2 км. Она ограничивает наибольшую площадь, когда является окружностью. Следовательно, верёвка должна ограничивать полукруг.

Слайд 5

Задача на максимум Сравним между собой несколько различных прямоугольников , имеющих одинаковый периметр, например, 4 см. Какой из всех прямоугольников с периметром имеет наибольшую площадь?

Слайд 6

Решение Возьмем произвольный прямоугольник А BCD c данным периметром U и построим квадрат BEFG со стороной 1/4 U и, мы утверждаем, что площадь этого квадрата больше площади прямоугольника. GFEB=S+P; ABCD=S+Q Полупериметр квадрата GB+BE равен полупериметру прямоугольника AB+BC , то AG+GB+BC=GB+BC+CE; AG=CE . S Q D A B C P P G F E

Слайд 7

Из двух прямоугольников, имеющих по одной равной стороне, тот больше, у которого больше вторая сторона. Значит P>Q , зн . P+S>Q+S и зн ., что квадрат по площади больше всех других прямоугольников равного с ним периметра. Р Q

Слайд 8

Задача на минимум Задача состоит в том, чтобы в данный остроугольный треугольник ABC вписать треугольник UVW наименьшего периметра. Утверждается, что треугольник EFG, вершинами которого являются E,F,G – основания высот, опущенных из вершин данного треугольника ABC на противолежащие стороны, имеет меньший периметр, чем всякий другой треугольник UVW , вписанный в ABC . B B U C V A W A B G E F C

Слайд 9

Спасибо за внимание!