Исследовательская работа на НПК "Вычисление числа пи"

МБУ «Информационно-методический центр Управления образования

Администрации Яйского муниципального района»

Муниципальная научно-практическая конференция исследовательских и прикладных работ

«Математика. Информатика»

Секция «Математика»

«Вычисление значения π через измерение

диаметра и длины окружности»

Автор:

Жихарев Даниил Андреевич, 8 класс

МКОУ «Улановская основная

общеобразовательная школа»

Руководитель:

Цыганкова Инна Анатольевна,

учитель математики

Яя

2015

«Вычисление значения π через измерение

диаметра и длины окружности»

Актуальность темы:

Мир чисел бесконечен и неисчерпаем. Среди бесконечного разнообразия чисел число ПИ пользуется особой славой. О нем пишут стихи, сочиняют афоризмы, его изображают на полотнах, ему посвящают сайты в интернете, празднуют день числа ПИ, сочиняют музыку. Познанием числа ПИ увлечены математики. Я заинтересовался, чем вызвано увлечение числом ПИ. Какие методы существуют для вычисления числа ПИ и почему человечество с древних времен и по сей день не оставляет попыток найти как можно больше знаков для более точной записи этого числа? Какое количество верных знаков можно получить, используя самый древний способ вычисления значения этого загадочного числа?

Цель моей работы: провести исследование метода вычисления значения ПИ через измерение диаметра и длины окружности, установить предельную точность данного метода и факторы, влияющие на неё.

Для достижения цели были поставлены задачи:

1. Изучить зависимость точности вычисления значения числа ПИ от способа измерения длины окружности.

2. Установить и исследовать факторы, влияющие на точность вычисления числа ПИ методом измерения диаметра и длины окружности.

Новизна заключается в выявлении наиболее оптимального выбора способа определения числа ПИ данным методом. Данное исследование помогает понять, как на основе экспериментальных данных и их анализа можно исследовать методы с большим числом исходных значений.

Личный вклад состоит в том, что данный материал может быть использован в школе на уроках математики при изучении геометрии окружности, как прикладной материал при изучении программной среды EXCEL на уроках информатики.

Методы исследования – теоретический метод при определении проблемы, формулировании гипотез и выводов; математический и статистический анализ полученных данных экспериментальным методом для определения средней величины полученных показателей.

Объектом моего исследования является метод вычисления значения числа ПИ.

Предметом данного исследования являются факторы, влияющие на предельную точность выбранного метода вычисления значения числа ПИ.

Число Пи - математическая константа, равная отношению длины окружности к длине её диаметра.  Обозначается буквой греческого алфавита «пи». Старое название — Лудольфово число.

Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности — это число «пи».

Число Пи - иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим.

Сначала число Пи имело другое название. Хотя к этому символу обращались многие математики, официально впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году.

Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφέρεια — окружность, периферия и περίμετρος — периметр.

История числа   Пи    шла параллельно с развитием всей математики.

Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период,  классическая эра,  и эра цифровых компьютеров.

Очень велика роль точного значения числа ПИ. Доказательством может служить исторический факт – крах проекта Вавилонской башни, при строительстве которой число ПИ считали равным 3.

Самое ранее из известных приближений датируется 1900 годом до н.э.; это 25/8 – Вавилон и 256/81 – Египет, оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1%.

Классический период – до  II тысячелетия было известно не более 10 цифр Пи.

Дальнейшие крупные достижения в изучении Пи связаны с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов.

В истории человечества началась погоня за десятичными знаками этого загадочного числа ПИ.

Но самое точное значение ПИ стало возможным благодаря компьютерным технологиям. За 50 лет их развития произошло увеличение с 2037 знаков до 206 млрд. десятичных знаков.

Рекорд же вычисления значения числа «Пи» на данный момент принадлежит французу Фабрису Беллар. Он вычислил число Пи с рекордной точностью - 2 триллиона 699 миллиардов 999 миллионов 990 тысяч десятичных знаков.

Итак, история человечества предстает нам как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа ПИ и поисков алгоритмов для этого процесса.

Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени.

Зачем, спросит обыватель, нам столько знаков, ведь известно, что для расчета полета на край нашей Галактики с точностью, равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа, а при расчете земной орбиты вокруг Солнца с точностью до миллиметра достаточно четырнадцати знаков?

Число ПИ — это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира.

Есть гипотезы, предполагающие, что в числе ПИ скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям.

Для чего же нам так  надо знать точное значение числа Пи?

Пи - одна из наиболее универсальных и фундаментальных констант, известных Человечеству. Пи входит в формулы и уравнения:

•         описывающие движение космических кораблей и небесных тел         в астрономии;
•         вычисление орбит спутников;
•         в формулы для вычислений электронных орбит в квантовой         физике и квантовой химии,
•         в уравнениях гравитационного поля Эйнштейна,
•         в уравнениях, связанных с образованием радуги,
•         в уравнении движения маятника,
•         во многих геометрических задачах,
•         в задачах связанных с волнами,
•         в задачах навигации и т.д.
•         Прикладное значение: для строительства плотин, гигантских         мостов.

Существуют различные методы вычисления значения числа Пи:

1. «Вычисление значения π через измерение диаметра и длины окружности»
2. «Вычисление значения π с помощью взвешивания»
3. «Вычисление значения π через суммирование площадей фигур, вписанных в полукруг»                
4. «Вычисление значения π с помощью ряда Тейлора»
5. «Вычисление значения π методом Монте–Карло»
6. «Вычисление значения π методом “падающей иголки”»

Для своего исследования я выбрал самый первый метод «Вычисление значения π через измерение диаметра и длины окружности».

Проблема: установить предельную точность данного метода и факторы, влияющие на неё.

Гипотезы:

1. Точность вычисления значения π зависит от способа измерения длины окружности.
2. Точность вычисления значения π зависит от размера окружности (чем меньше окружность, тем ниже точность)
3. Увеличение количества измерений повышает точность значения π.

Порядок работы.

Из картона были вырезаны кружки: 31 штука. Диаметр измерялся линейкой, а длина окружности двумя способами: оборотом нити и измерением следа при катании круга. Нашли отношение длины окружности к диаметру, вычисления производили с помощью компьютера.

Результаты:

Полученные результаты доказывают пропорциональность длины окружности и её диаметра.

При вычислении π через измерения нельзя исключить следующее: невозможно идеально точно вырезать кружок и измерить его, ограниченны возможности линейки. Чтобы сгладить эти недостатки и повысить точность, мы находим средние арифметические значения π для каждого способа.

Если сравнивать все полученные экспериментально значения π с заранее известным его значением, вычисленным с достаточно высокой точностью, можно заметить, что при измерении длины окружности оборотом нити мы получаем  одну верную цифру, а при катании - две.

Если же сравнить средние арифметические, то в том и в другом случае количество верных цифр увеличилось на одну. Можно сделать вывод: точность вычисления значения π зависит от способа измерения длины окружности. При катании она выше. А так же многократное проведение эксперимента повышает точность.

В дальнейшем все измерения будут производиться способом катания.

Найдем значение π для следующих 100 кружков.

Результаты прилагаются (таблица1).

Данные в таблице расположены по возрастанию длин окружностей. Можно заметить, что с возрастанием точность π не изменяется. Значит, наша гипотеза о повышении точности π при увеличении размеров кружков не подтвердилась.

Сравним среднее значение π, полученное на первых 31 кружке и на последующих 100 кружках. И в том и в другом случае точных цифр три. То есть, увеличение количества кружков не повысило точность данного метода вычисления π.

Попытаемся установить какое количество кружков необходимо, и в то же время достаточно для вычисления π с той же точностью.

Найдем среднее значение π для 10 кружков выбранных случайным образом из предыдущих 100.

Проделаем это несколько раз.

Полученные результаты говорят о том, что точность понизилась,  верных знаков - два. Значит, такого количества недостаточно.

Увеличим количество кружков до 20 штук. Проделаем такую же работу.

Получили вновь три верных знака.

Вывод: 20 кружков – это достаточное  количество  для достижения заданной точности.

Подводя итог работы можно сделать следующие выводы:

1. Точность вычисления значения π зависит от способа измерения длины окружности. При измерении длины окружности нитью мы получили π = 3,1…,а катанием π = 3,14…

2. Точность вычисления значения π не зависит от величины окружности.

3. Увеличение количества измерений повышает точность значения π, но она ограничена. Более трех верных знаков таким методом получить нельзя. И оптимальное количество измерений для ее достижения -20.

 Для подтверждения проведем последний эксперимент. Измерим 20 кружков способом катания и найдем значение π.

Заключение:

Мистика числа Пи заключается в том, что никакая последовательность этих знаков не повторяется, хотя самих знаков после запятой уже известно невообразимое количество, но повторений не найдено. Некоторые видные математики считают, что повторение не удастся никому и никогда найти, т.к. в нем зашифрован бесконечный первородный хаос, впоследствии ставший гармонией.

Некоторые психологи утверждают, что человек склонен всюду искать закономерности и правильные узоры – потому что, только так мы можем придать миру и себе какой-то смысл. Отсюда – одержимая склонность искать красивые закономерности в самом загадочном числе ПИ.

Я предлагаю послушать мелодию, где за основу взято число ПИ. Каждой цифре этого удивительного числа присвоено значение какой-нибудь ступени в ля-миноре.

Спасибо за внимание!

Литература:

1.Методическое пособие «Вездесущие число пи» А.В.Жуков

2.Методическое пособие «Секреты числа Пи» Хоакин Наварро

3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E8_(%F7%E8%F1%EB%EE) Интернет-ресурс

4.http://ru.science.wikia.com/wiki/%D0%9F%D0%B8_(%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE) Интернет-ресурс