Исследовательская работа

 «Теоремы Менелая и Чевы»

                                                                                                          Автор: Пивоварчук Богдан                                                                                                    Владимирович

                                                                        учащийся 10 А класса

                                                                        МБОУ СОШ №45, г. Сургут

                                                                        Руководитель:

                                                                        Гордеева Светлана Николаевна

                                                                        учитель математики высшей                                                                                         квалификационной  категории

                                                                        МБОУ СОШ №45, г. Сургут

Содержание

Введение        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        3

1. Теорема Менелая        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        5

1.1.​ Формулировка теоремы Менелая         .        .        .        .        .        .        .        .        5

1.2. Доказательство теоремы Менелая        .        .        .        .        .        .        .        .        5

2. Теорема Чевы        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        6

2.1. Формулировка теоремы Чевы        .        .        .        .        .        .        .        .        6

2.2. Доказательство теоремы Чевы        .        .        .        .        .        .        .        .        6

2.3. Следствия из теоремы Чевы        .        .        .        .        .        .        .        .        7

3. Применение теорем Менелая и Чевы для решения планиметрических задач        .        .        9

3.1. Примеры простейших задач, на применение теоремы Менелая.        .        .        .        9

3.2. Примеры простейших задач, на применение теоремы Чевы.        .        .        .        .        10

4. Сравнительный анализ эффективности применения теорем для решения геометрических задач  11

5. Задачи ЕГЭ        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        13

6. Заключение        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        .        18

7. Библиографический список         .        .        .                .        .        .        .        .        19

Введение

Всем известно, что геометрия - это одна из древнейших наук на земле. Изучение различных теорем дает человеку множество знаний, которые он будет использовать всю свою жизнь. Еще в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Она непрерывно развивалась, обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Многие теоремы сейчас выглядят малоинтересными, несовершенными и встречаются только в энциклопедиях. Однако некоторые из них продолжают жить, и по сей день. Одними из таких являются теоремы Менелая и Чевы.

Теорема Менелая, дошедшая до нас в арабском переводе книги «Сферика», была доказана древнегреческим математиком и астрономом Менелаем Александрийским, жившим в I веке до нашей эры. А теорема Чевы была опубликованная в 1678 году итальянским математиком и инженером Джованни Чевой.

Актуальность

В школьном курсе геометрии рассматриваются важные и интересные свойства геометрических фигур на плоскости. Но невозможно включить все известные утверждения и соотношения,  которые накопило человечество за многие годы, в школьный учебник геометрии.

Примером могут послужить теоремы Менелая и Чевы. Эти теоремы просты, интересны и находят применение при решении как простых, так и весьма сложных задач. Несмотря на это, теоремы Менелая и Чевы не изучаются в школе на уроках геометрии, а изучаются лишь в классах с углубленным изучением математики.

Однако при решении целого класса задач эти теоремы позволяют легко и изящно получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.
Такие задачи встречаются в заданиях единого государственного экзамена и на олимпиадах различного уровня.

Цель работы: изучить теоремы Менелая и Чевы,  рассмотреть применение этих теорем к решению задач.

Задачи работы:

1. Изучить состояние проблемы в научной литературе и школьной программе.
2. Выявить теоретические положения для доказательства теорем и научно обосновать способы доказательства  теоремы Менелая и Чевы.
3. Проанализировать теоремы и их применение при решении задач.
4. Проверить эффективность и целесообразность применения теорем при решении задач.

Гипотеза: при решении целого класса задач эти теоремы позволяют легко и изящно получить решение.

Объект исследования: теоремы Менелая и Чевы.

Предмет исследования: практическое применение этих теорем.

Методы исследования: изучение и обобщение, формализация, анализ и синтез, дедукция.

Научная новизна исследования:

• наличие теоретических положений, сформулированных и содержательно обоснованных;
• уточнение определений понятий;
• разработана и внедрена в практику.

Планируемые результаты:

1. Изучить теоремы Менелая и Чевы
2. Научиться решать задачи по данной тематике
3. Сформулировать для теорем все виды утверждений, установить их истинность
4. Выполнить пошаговую запись доказательства теоремы

1. Теорема Менелая [1], [2], [4], [6].

1.1. Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник  ABC, причем  C1 - точка ее пересечения со стороной AB, A1 - точка ее пересечения со стороной BC, и B1 - точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда имеет место соотношение:

1.2. Доказательство теоремы Менелая. 

1. Проведём через точку C прямую  CK параллельно AB (K –  точка пересечения с C1B1).

2. △CKB1~△AC1B1, т.к. (∠C1AB1=∠KCB1, ∠AC1B1=∠CKB1)  ⇒

3. △BC1A1~△CKA1, т.к. (∠BA1C1=∠KA1C, ∠BC1A1=∠CKA1)  ⇒

4. Из каждого равенства выразим CK:                                    

5. Откуда

что и требовалось доказать.

2. Теорема Чевы [2], [3], [5], [8].

2.1. Теорема Чевы. Пусть точки A1, B1, C1 лежат на сторонах BC, AC и AB и треугольника ABC соответственно. Пусть AA1, BB1 и CC1 отрезки и пересекаются в одной точке. Тогда справедливо:

2.2. Доказательство теоремы Чевы.

1. Пусть O – точка пересечения AA1, BB1и CC1. Опустим из вершин A и C перпендикуляры на прямую BB1. L и K – основания перпендикуляров.

2. Найдем площади треугольников AOB и BOC

 Поскольку треугольники AOB и BOC имеют общую сторону OB, то их площади относятся как высоты, проведенные на эту сторону, т.е. AL и CK:

3. △AB1L и △CB1K подобны, т.к. они прямоугольны и ∠AB1C=∠CB1K (вертикальные углы)

Аналогично получаем:

4. Подставим в выражение отношения площадей:

что и требовалось доказать.

2.3. Следствия из теоремы Чевы.

Следствие 1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Следствие 2. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке (ортоцентре треугольника).

Следствие 4. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Следствие 5. Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке

3. Применение теорем Менелая и Чевы для решения планиметрических задач [3], [8]

3.1. Примеры простейших задач, на применение теоремы Менелая.

Задача №1. В треугольнике ABC на сторонах BC и AC лежат точки A1 и B1 соответственно так, что BA1:A1C=1:3, AB1:B1C=1:5. Прямые AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Найти AO:OA1?

Решение:

1. Рассмотрим △ACA1 и  прямую BB1, пересекающую данный треугольник в трех точках – B1, O и B. 

2. Применим теорему Менелая и запишем соотношение:

3. Подставим имеющиеся числа:

Ответ: 0,8.

Задача №2. В треугольнике ABC медиана CM пересекает высоту BD в точке O. Найдите длину AC , если BO=5, а OD=1.

Решение: 1. Рассмотрим △ABC.

2. Т.к. CM – медиана (по условию), то AM=MB=1.

3.Тогда применим теорему Менелая и запишем соотношение:

4. Подставим имеющиеся числа:

Ответ: AC=5.

3.2. Примеры простейших задач, на применение теоремы Чевы.

Задача №1. На сторонах треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1,B1, так, что AC1: С1B= 2:1, BA1:A1C=1:3, BB1∩ CC1∩AA1=т. O. Найти CB1 : B1A.

Решение:  Т.к. отрезки BB1, CC1, AA1 пересекаются в одной точке O, то по теореме Чевы:

Ответ: 1,5.

Задача №2. Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: 1. Покажем, что

2. Тогда по теореме Чевы (обратной) AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. По свойству биссектрис треугольника:

3. Перемножая почленно полученные равенства, получаем 1. Для биссектрис треугольника равенство Чевы выполняется, следовательно, они пересекаются в одной точке,

что и требовалось доказать.

4. Сравнительный анализ эффективности применения теорем для решения геометрических задач.

Задача №1. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение:

 I способ (без использования теорем Чевы и Менелая).

Рассмотрим произвольный △ABC. Обозначим точкой O точку пересечения его медиан AA1 и BB1.

Сделаем дополнительное построение: проведём отрезок A1B1.

Т.к. AA1 и BB1 – медианы △ABC, то точки A1 и B1 являются серединами сторон BC и AC соответственно, то есть BA1=A1C, AB1=B1C.

Отсюда, по определению средней линии треугольника (средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон) отрезок A1B1 является средней линией △ABC.

Т.к. средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны, то отрезок A1B1 || AB и A1B1=AB

2. Рассмотрим △AOB и △A1OB1.

∠1=∠2 как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых AB и A1B1 (A1B1 || AB по доказанному) секущей AA1;

∠3=∠4 как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых AB и A1B1 (A1B1 || AB по доказанному) секущей BB1.

Следовательно, △AOB ~ △A1OB1 по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны.

Итак, k – коэффициент подобия:

Но по доказанному A1B1=AB; AB=2A1B1, поэтому и AO=2A1O, BO=2B1O. Таким образом, точка O пересечения медиан AA1 и BB1 △ABC делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины,

что и требовалось доказать.

II способ (с использованием теорем Чевы и Менелая).

1. Т.к. по условию AA1, BB1, СС1 – медианы △ABC, то BA1=A1C, AB1=B1C, AC1=C1B, поэтому:

Итак,

Отсюда по теореме Чевы, медианы AA1, BB1, СС1  △ABC пересекаются в одной точке – точке O.

2. Рассмотрим △ACC1.

Прямая BB1 пересекает две стороны  △ACC1 (BB1∩AC=B1, BB1∩CC1=O) и продолжение третьей (AC1 – луч, BB1∩AC1=B), значит, по теореме Менелая:

И, значит:

3. Рассматривая теорему Менелая для △BAA1 и секущей CC1, а также для △ABB1 и секущей CC1, мы получим аналогичный результат.

Итак, все три медианы△ABC  пересекаются в точке O и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины,

что и требовалось доказать.

5. Задачи ЕГЭ. [9]

Задача №1.Даны треугольники ABC и A1B1C1. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке C2. Прямые АС и AC1 пересекаются в точке B2. Прямые BC и B1C1пересекаются в точке A2.

Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.

Решение.

 Пусть  — точка пересечения 

В  по теореме Менелая:

Аналогично: в 

В

Перемножим левые и правые части равенств (*), (**), (***). Будем иметь:

В итоге получаем:  что удовлетворяет условию теоремы Менелая относительно принадлежности точек:  одной прямой.

Задача №2. Каждое из ребер треугольной пирамиды ABCD имеет длину 1. Точка P на ребре AB, точка Q на ребре BC, точка R на ребре CD взяты так, что  Плоскость PQR пересекает прямую AD в точке S.

      Найти величину угла между прямыми SP и SQ.

Решение.

Для начала построим сечение PQR: проведем линию QP до пересечения с прямой AC (точка E). В плоскости грани ADC соединим точки E и R: линия ER пересечет сторону AD в точке S. Соединяя точки S, R, P и Q, получаем искомое сечение.

Предварительно найдем соотношения и длины некоторых сторон.

Рассмотрим плоскость ABC. В треугольнике BQP вычислим QP по теореме косинусов:

Теперь найдем угол BPQ (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Заметим, что  как вертикальные, тогда можем найти угол AEP (на рисунке угол 2):

Вычислим синус угла 2:

По теореме синусов для треугольника APE:

Теперь рассмотрим плоскость ADC. Из треугольника CRE по теореме косинусов имеем:

Из этого же треугольника найдем угол CER (на рисунке угол 1):

Тогда, из основного тригонометрического тождества:

Найдем синус угла ASE (на рисунке угол 2):

По теореме синусов для треугольника ASE:

 *) см. примечание.

Для дальнейшего решения задачи воспользуемся векторным методом. Введем базисные векторы:  Выразим векторы  и  через базисные:

 где  откуда,

 где  откуда

Теперь найдем длины этих векторов (используя то, что , а также тот факт, что 

Осталось вычислить скалярное произведение данных векторов:

Окончательно получаем:

Ответ:

Примечание.

Эту часть решения можно несколько сократить, применив теорему Менелая для тетраэдра:

точки S, R, P и Q, лежащие на ребрах тетраэдра AD, DC, AB и BC соответственно, принадлежат одной плоскости тогда и только тогда, когда

В нашем случае:

откуда

то есть

6. Заключение.

Теоремы Чевы и Менелая легки в понимании, помогают быстро ориентироваться в решении задач по данной тематике. Я считаю, что знание этих теорем важно, так как данные теоремы значительно упрощают решения сложных геометрических задач, позволяют находить более рациональные способы решения, повышают уровень знаний по элементарной геометрии.

Изучив новый материал, я рассмотрел несколько способов доказательства этих теорем. В работе я привёл решение двух задач с помощью теоремы Чевы и двух задач с помощью теоремы Менелая. С помощью теоремы Менелая и Чевы я доказал, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Провел сравнительный анализ эффективности применения этих теорем по сравнению с другими способами решения планиметрических задач.

Цель моей исследовательской работы достигнута.  Гипотеза подтвердилась. При решении целого класса задач, как в планиметрии, так и в стереометрии, теоремы Менелая и Чевы позволяют легко и изящно получить решение.

Данная работа содержит геометрический материал достаточный для того, чтобы использовать его на элективных курсах и как дополнительный материал для учащихся интересующихся математикой.

В результате проведенной работы, я узнал много интересного и познавательного, научился применять теоремы в решении задач. Я думаю, что данное исследование, проведённое мной, как мне кажется, поможет мне в дальнейшем при сдаче единого государственного экзамена.

7. Библиографический список

1)  Атанасян Л.С. Геометрия, 7–9: Учебник для общеобразовательных учреждений [Текст]  / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина. – М.: Просвещение, 2000.

2)  Е. Качалкина « Применение теорем Чевы и Менелая» [Текст] ,
 журнал «Математика в школе» №13,14 -2004.                                                                                                                                                                                    

3)  Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к школьным учебникам 8, 9 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики [Текст] / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, С.А. Шестаков, И.И. Юдина. –12–е издание.– М.: Просвещение, 2002.

4) "Теорема Менелая".  Сайт "Математика, которая мне нравится". http://hijos.ru/2011/04/20/teorema-menelaya/ (Дата обращения: 20.12.17)
5) "Теорема Чевы". Сайт "Математика, которая мне нравится". http://hijos.ru/2011/03/16/teorema-chevy/(Дата обращения: 20.12.17)
6) "Теорема Менелая". http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_19_8.php. (Дата обращения: 13.02.18)

7) "Теорема Менелая".  Онлайн сервисы для учёбы. http://ru.solverbook.com/spravochnik/teoremy/teorema-menelaya/(Дата обращения: 19.02.18)

8) Н.В. Тюнева. "Применение теорем Чевы и Менелая при решении геометрических задач".  . Ведущий образовательный портал России. https://infourok.ru/metodicheskaya_razrabotka_po_teme__teoremy_chevyi_menelaya-430667.htm (Дата обращения: 20.12.17)
9) Каталог заданий по темам.   Образовательный портал для подготовки к экзаменам. https://ege.sdamgia.ru/ (Дата обращения: 15.02.18)