Проект по геометрии "Угол между биссектрисами двух смежных углов"

Введение

       В этом году мы начали изучать новый предмет – геометрию. Все время, когда мы имеем дело с формой, размером, положением предмета в пространстве, мы вовлечены в геометрию. Когда доисторические люди занимались ткачеством или отделкой зданий, они пользовались геометрией, не зная ее. Древним египтянам была нужна геометрия, чтобы измерить участки земли, подвергавшиеся затоплению во время разливов Нила. Им была нужна геометрия в строительных целях, когда религия заставила их строить могилы для умерших — пирамиды. Само слово «геометрия» произошло от греческих слов «Земля» и «измерять» и, вероятно, является переводом египетского слова.

Сначала геометрия была интуитивной. Это означает, что факты признавались существующими без попытки доказать это или продемонстрировать, что это действительно так. Но в 600 году до н.э. греческий ученый Фалес развил идею, что должны существовать пути, доказывающие, что геометрические факты истинны. В геометрии такая истина называется теоремой. Фалес открыл доказательства теорем, которые люди принимали на веру до этого времени. Это послужило началом доказательной геометрии.

В результате люди накапливали знания, опыт, формулировались правила, связанные с геометрическими измерениями и построениями, потом выдвигались гипотезы, формулировались и доказывались  теоремы.

Меня очень заинтересовала геометрия и мне захотелось самой решить практическую задачу по геометрии и на ее основе выдвинуть и доказать гипотезу. Моя работа построена по следующей схеме:

1. Задача.

Найти угол между биссектрисами двух смежных углов.

2. Постановка проблемы.

Зависит ли значение угла между биссектрисами двух смежных углов от выбора угла и его значения?

3. Разбор частных случаев.

Берется несколько частных случаев значений одного из смежных углов и вычисляется угол между биссектрисами. Рассматриваются случаи:

.

4. Оформление результатов исследования.

Полученные результаты исследования оформляются в виде таблицы.

5. Выдвижение гипотезы.

Возникает гипотеза о том, что угол между биссектрисами двух смежных углов равен .

6. Доказательство или проверка гипотезы.

            Доказательство данной гипотезы.

7. Применение результатов исследования.

Задачи, в которых может применяться данное утверждение.

Глава 1

1. Задача

Найти угол между биссектрисами двух смежных углов.

2. Постановка проблемы

Зависит ли значение угла между биссектрисами двух смежных углов от выбора угла и его значения?

3. Разбор частных случаев 

а)

Пусть =140о, тогда смежный с ним угол равен 40о. Поэтому угол между биссектрисами равен: 20о + 70о = 90о

б)

Пусть =70о, а смежный с ним угол равен 110о. Поэтому угол между биссектрисами равен: 35о +55о = 90о

в)

Пусть  и смежный с ним угол равен 90о. Поэтому угол между биссектрисами равен: 45о + 45о = 90о

г)

Пусть =41о, а смежный с ним угол равен 139о. Поэтому угол между биссектрисами равен: 20,5о + 69,5о = 90о

4. Оформление результатов исследования

Полученные результаты отобразим в таблице.

5. Выдвижение гипотезы

У меня получилось, что во всех случаях угол между биссектрисами равен 90о. Значит можно выдвинуть гипотезу – угол между биссектрисами двух смежных углов равен 90о.

6. Доказательство или проверка гипотезы

Обозначим один из смежных углов , тогда другой угол –  180°–.

1=, так как биссектриса делит угол пополам

2= .

Нам надо найти угол между биссектрисами, значит

 +  =  –  + 90° = 90°.

В общем случае я получила, что угол между биссектрисами равен 90о, также как и в частных случаях. Следовательно, угол между биссектрисами  2-х смежных углов действительно равен 90°.

7. Применение результатов исследования

Результаты данной работы могут найти применение в задачах различного вида. Например, такой:

На биссектрисах двух смежных углов взяты произвольные точки А и В.

• Определить большую сторону треугольника АВС.
• Найти сумму углов САВ и  АВС.
• Найти сторону ВС, если известно, что, АВ=с.
• Найти сторону АВ, если известно, что  ,ВС=.
• Найти расстояние от точки В до прямой АС, от точки А до прямой ВС.        

Решение

Т.к. треугольник АВС – прямоугольный, то больший угол = 90°( по теореме о сумме углов треугольника), а против большего угла лежит большая сторона, т.е. АВ - большая сторона треугольника АВС.

САВ +  АВС= 90°( по теореме о сумме углов треугольника).

ВС=1/2 АВ=1/2с, т.к. в прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Отсюда же и АВ= 2.

Т.к. длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой, то в данном случае расстояние от точки В до прямой АС будет равно ВС, а расстояние от точки А до прямой ВС будет равно АС.

Заключение

               В ходе исследования данной задачи я убедилась в том, угол между биссектрисами любых смежных углов равен 90°.                                                                      

 На основе полученных данных мы можем решать задачи, используя свойства прямоугольного треугольника, построенного на биссектрисах смежных углов:

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°,

равен половине гипотенузы.

3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине

гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

А также различные  задачи, где используются другие свойства прямоугольного треугольника.

Список литературы

1. Геометрия, 7-9:учеб. для общеобразоват.учреждений/Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.
2. Энциклопедия для школьников. Математика. Гл.ред. М. Аксенова. Изд. «Аванта»