В материалах государственной итоговой аттестации имеются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" непродолжительно изучается в младших 5-6 классах, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение. Не только при проведении государственной итоговой аттестации есть задачи на проценты, они также включаются в задания всероссийских проверочных работ по математике.
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 362 КБ |
![]() | 14.49 КБ |
![]() | 1.09 МБ |
ГОСУДАРСТВЕННАЯ АВТОНОМНАЯ НЕТИПОВАЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ РЕСПУБЛИКИ ТЫВА
"ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЛИЦЕЙ РЕСПУБЛИКИ ТЫВА"
Творческая работа по математике на тему:
"Решение задач с экономическим содержанием на проценты»
Выполнила: Данзурун Айталина,
ученица 7 «Б» класса
Научный руководитель: Кенден Д.А.,
учитель математики
г. Кызыл - 2022год
Оглавление
№ | Название | стр |
1 | Введение | 2 |
2 | Из истории происхождения процентов | 4 |
3 | Термины, которые нужно знать | 5 |
4 | Практическая часть | 8 |
5 | Применение процентов в жизни | 15 |
6 | Заключение | 18 |
7 | Литература | 18 |
Введение
В материалах государственной итоговой аттестации имеются задачи на проценты, и эти задачи часто вызывают затруднения у школьников. Причина в том, что тема "Проценты" непродолжительно изучается в младших 5-6 классах, закрепляется в 7 классе при решении задач на повторение. Не только при проведении государственной итоговой аттестации есть задачи на проценты, они также включаются в задания всероссийских проверочных работ по математике.
Актуальность темы.
Актуальность темы в том, что проценты – это одна из сложных тем в математике. Очень многие ученики затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. Умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Знание процентов затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. В настоящее время очень большое количество людей берут деньги или товары в кредит под определенный процент. И каждый человек должен понимать как начисляются проценты. В контрольных измерительных материалах государственной итоговой аттестации есть задания с экономическим содержанием., проверяющее практические навыки применения математики в повседневной жизни, навыки построения и исследования математических моделей. Изучение процента продиктовано самой жизнью.
В наше время почти во всех областях человеческой деятельности встречаются проценты. Без понятия «процент» нельзя обойтись ни в бухгалтерском учёте, ни в финансовом анализе, ни в статистике. Чтобы начислить зарплату работнику, нужно знать процент налоговых отчислений; чтобы открыть счёт или взять кредит в банке, наши родители интересуются размером процентных начислений. И в торговле понятие «процент» используется наиболее часто: скидки, наценки, уценки, прибыль, сезонные изменения цен на товары, налог на прибыль и т.д. - всё это проценты. И каждый человек должен уметь вычислять эти проценты. Данная тема актуальна.
Цель данной работы - показать применения такого простого и известного математического понятия, как процентные вычисления.
Задачи:
Методы и приемы:
Гипотеза: Если мне удастся изложить теоретический и практический материал, необходимый для решения экономических задач, в доступной для каждого учащегося форме, количество учащихся справившихся с этим видом задач возрастет.
Из истории происхождения процентов
Слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Проценты были известны индийцам еще в 5 веке. Это закономерно, так как в Индии с давних пор счет велся в десятичной системе счисления. В популярной литературе возникновение этого термина связывается с внедрением в Европе десятичной системы счисления в XV веке. Но идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Например: Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?
Решение: Для начала найдем 20% от 50 , получим пропорцию 50с – 100% Хс – 20% Х=20·50/100=10 с 50 + 10 = 60 сестерциев Ответ: 60 сестерциев
От римлян проценты перешли к другим народам Европы. В Европе десятичные дроби появились на 1000 лет позже, их ввел бельгийский ученый Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). В 1584 году он впервые опубликовал таблицу процентов. Употребление термина «процент» в России начинается в конце XVIII века. Существует и другая версия возникновения этого знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже вышла книга Матьё де ла Порта «Руководство по коммерческой арифметике». В одной из глав речь шла о процентах, которые обозначались теми же уже знакомыми нам буквами «cto». Однако подслеповатый наборщик принял букву t в этой надписи за дробную черту. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), так возник современный символ для обозначения процента - %
Так, благодаря одной глупой или не такой уж и глупой ошибке, возможно, знак % и вошёл в обиход. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты стали использовать в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это сотая доля целого (принимаемого за единицу).
Термины, которые нужно знать
Определение: один процент – это одна сотая доля. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.
Пример: 5% от 80 это будет 0,05
r% от 14 это будет 0,01r
Нахождение дроби от числа: Чтобы найти дробь от числа, можно число умножить на эту дробь.
Нахождение числа по заданному значению его дроби: Чтобы найти число по заданному значению его дроби, можно данное значение разделить на эту дробь.
Взнос — внесение определенной суммы денежных средств в виде вклада в банк, платежей.
Годовой процент по вкладам - ставки, определяющие вознаграждение, которое получают клиенты за размещение своих денежных средств во вклад.
Уставный капитал - минимальный размер имущества юридического лица, гарантирующий интересы его кредиторов.
Платёж — выдача денег по какому-нибудь обязательству; передача имущества от должника к кредитору по исполнению обязательства.
Кредит — экономические отношения, при которых одна сторона получает от другой денежные средства, товары/вещи, не запрещённые соответствующим законодательством к передаче, и обещает предоставить возмещение (оплату) или вернуть ресурсы в будущем. Фактически, кредит является юридическим оформлением экономического обязательства.
Вклад — денежные средства, внесённые физическим или юридическим лицом в финансовое учреждение (в кредитное учреждение, прежде всего в банк) или в предприятие на хранение, в рост или для участия в получении прибыли. Доход по вкладу выплачивается в денежной форме в виде процентов.
Тело вклада (тело депозита) — денежная сумма, вложенная в проект.
Капитализация процентов (или сложный процент) предусматривает присоединение процентов, которые начисляются, как правило, ежемесячно или ежеквартально, к телу вклада. Таким образом, каждое последующее начисление становится больше предыдущего, в результате чего общая доходность по вкладу возрастает.
Кредиты с равными платежами.
Рассмотрим, что происходит, когда мы кладем в банк на n лет некоторую сумму S под r% годовых:
S → S + = (1+ ) S = (1 + 0,01r) S – сумма, которая будет на счету через год.
После второго года произойдет то же самое:
(1 + 0,01r) S → (1 + 0,01r) S + 0,01r (1 + 0,01r) S S
Через n лет, после начисления последних процентов, вклад достигнет величины, равной S =
(1)
Формулу (1) называют формулой сложных процентов, q – повышающим коэффициентом или коэффициентом увеличения.
Давайте теперь возьмем кредит в размере a под r% годовых сроком на n лет.
Условия возврата кредита могут быть различными.
Прошел год, наш долг банку увеличился на заявленные проценты, а мы платим заявленный платеж. К концу года долг перед банком будет иметь вид
(1 + 0,01r)a – b.
Проходит еще год:
(1 + 0,01r) ((1 + 0,01r)a – b) – b = = =
и т. д.
К концу договора мы отдаем долг полностью, его величина становится равной нулю и это равенство запишется таким образом:
(2)
где - геометрическая прогрессия, первый член которой равен 1, знаменатель q.
Напомним формулы n - ого члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии:
.
Тогда в нашем случае
Таким образом, уравнение (2) примет вид:
(3).
Для того, чтобы формула (3) была понятна и легче запоминалась, введём новые обозначения:
q – %
а – «Кредит»
b – «Платёж», => таким образом формула (3) имеет вид:
%n - 1
«Кредит» * %n = «платеж» * ------------
% – 1
Практическая часть
Примеры задач на проценты
Задачи на проценты по категориям
1 категория - простые: ( нахождение процента от числа; нахождение числа по его процентам;. нахождение процентного отношения двух чисел )
2 категория– сложные; ( задачи на сплавы и смеси; экономические задачи; процентное содержание ( концентрация ))
1 категория: нахождение процента от числа
Чтобы найти процент от числа, надо число умножить на процент. (Чтобы найти а % от в, надо в• 0,01а).
Задача 1. Налог на доходы физических лиц (НДФЛ) в РФ составляет 13% от начисленной заработной платы. Сколько рублей получает работник после уплаты НДФЛ, если начисленная заработная плата составляет 20000 рублей?
Решение: 20000 составляет 100%
1) 20000:100 =200 рублей составляет 1%.
2) 200 •13=2600 рублей уплата НДФЛ
3) 20000 – 2600 = 17400 рублей получает работник
Ответ: 17400 рублей получает работник
Задача 2. За контрольную работу по математике отметку «5» получили 12 учеников, что составляет 30% всех учеников. Сколько учеников в классе?
Решение: Неизвестное число – 100%.
1) 12:30=0,4 учеников составляет 1%.
2) 0,4• 100=40 учеников в классе.
Ответ: 40 учеников в классе.
Задача 3. Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?
Решение: Итак, нам неизвестно сколько всего страниц в книге . Но мы знаем, что часть, которую прочитал ученик ( 138 страниц) составляет 23 % от общего количества страниц в книге. Само количество страниц, естественно, будет больше 138. Так как 23% = 0,23, 138 : 0,23 = 600 страниц.
Задача 4: Из 1800 га поля 558 га засажено картофелем. Какой процент поля засажен картофелем? Решение: 1800 га составляют 100% 1) 1800:100=18 га составляет 1%. 2) 558:18=31; 558 га составляют 31%. Ответ: ; 558 га картофеля составляют 31%.
Задача 5: ОГЭ 5 задание
Абонент хочет приобрести новый смартфон. В трёх салонах сотовой связи этот смартфон продаётся в кредит (сначала делается первоначальный взнос, а потом ежемесячно в течение всего срока кредита вносятся платежи) на разных условиях. Условия приведены в таблице.
Салон | Стоимость смартфона(руб) | Первоначальный взнос(в % от стоимости) | Срок кредита(мес) | Ежемесячный платеж(руб) |
А | 18 000 | 20 | 6 | 2650 |
Б | 17 500 | 30 | 12 | 1200 |
В | 17 600 | 25 | 12 | 1300 |
Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом переплаты). В ответ запишите эту сумму в рублях.
Решение:
Рассмотрим все варианты.
При покупке в салоне А начальный взнос составит 0,2 · 18 000 = 3600 руб., а сумма ежемесячных выплат составит 6 · 2650 = 15 900 руб. Всего 3600 + 15 900 = 19 500 руб.
При покупке в салоне Б начальный взнос составит 0,3 · 17 500 = 5250 руб., а сумма ежемесячных выплат составит 12 · 1200 = 14 400 руб. Всего 5250 + 14 400 = 19 650 руб.
При покупке в салоне В начальный взнос составит 0,25 · 17 600 = 4400 руб., а сумма ежемесячных выплат составит 12 · 1300 = 15 600 руб. Всего 4400 + 15 600 = 20 000 руб.
Самое дешёвой является покупка в салоне A.
Задача 6: Рассмотрим задания 6 из ЕГЭ базовой математики
Клиент взял в банке кредит 12 000 рублей на год под 16%. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?
Решение: Через год клиент должен будет выплатить 12 000 + 0,16 ⋅12 000 = 13 920 рублей. Разделим 13 920 руб. на 12 мес.: 1160 руб./мес.
Значит, клиент должен вносить ежемесячно в банк 1160 рублей.
Задача 7: Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?
Решение: После повышения цены ручка станет стоить 40 + 0,1⋅40 = 44 рубля. Разделим 900:44=20 5/11. Значит, можно будет купить 20 ручек.
Задача 8: Рассмотрим задание 8 из ЕГЭ базовой математики
Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон — 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1.000.000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.
Решение: Антон внес 42 000/20 000*100%=21% уставного капитала. Тогда Борис внес 100 − 12 − 14 − 21 = 53% уставного капитала. Таким образом, от прибыли 1000000 рублей Борису причитается 0,53 · 1 000 000 = 530 000 рублей.
Ответ: 530 000 рублей
Задача 9: Рассмотрим задание 20 из ЕГЭ базовой математики
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение: Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет дохода семьи.
2 категория задач – сложные
Задачи на концентрацию и процентное содержание
Задачи на концентрацию и процентное содержание – это задачи о составлении сплавов, растворов или смесей нескольких веществ.
Основные допущения, которые принимаются в задачах подобного рода, состоят в следующем:
а) все получающиеся сплавы или смеси однородны; не делается различия между литром как единицей массы и как единицей ёмкости.
б) при смешивании двух растворов, имеющих объёмы υ1 и υ2, получается смесь, объём которой υ0= υ1+ υ2.
Решение любой задачи на смеси обычно сводится к расчёту абсолютного и относительного содержания компонент всех смесей, фигурирующих в условии задачи.
Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения ( граммах, литрах и т.д.)
Концентрация вещества, выраженная в процентах ( долях), называется отношение массы этого вещества (абсолютное содержание) к массе всей смеси (раствора, сплава).
Концентрация вещества, выраженная в процентах, называется процентным отношением вещества в смеси (растворе, сплаве).
Иначе концентрацию или процентное содержание называют относительным содержанием:
абсолютное содержание
относительное содержание = ___________________________________
общая масса
Чтобы проиллюстрировать эти понятия, предположим, что в сосуд, содержащий 450 г воды, добавили 50 г соли. Таким образом, общая масса получившегося раствора 500 г. В растворе абсолютное содержание соли 50 г, а относительное ( 50 г) : ( 500 г)=0,1= 10%.
Аналогично, в растворе абсолютное содержание воды 450 г, а относительное содержание (450 г) : (500 г) = = 0,9= 90%
Типичные ситуации
Смешали две смеси (соединили два сплава)
При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:
Задача 10. Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55% -го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.
Решение: Представим условие задачи в виде рисунка
Абсолютное содержание соли в первом растворе: 500 г (общая масса) • 0,1 (относительное содержание соли) = 50 г
Абсолютное содержание соли во втором растворе: 400 г (общая масса) • 0,55 (относительное содержание соли) = 220 г
Общая масса смеси: 500 г масса первого раствора) + 400 г (масса второго раствора) = 900 г
Абсолютное содержание соли: 50 г (абсолютное содержание соли в первом растворе) + 220 г (абсолютное содержание соли во втором растворе) = 270 г
Относительное содержание соли:
0,3 = 30%
Итак, концентрация соли в смеси двух исходных растворов – 30%
Отлили часть раствора / отрезали кусок сплава.
При этой операции остаётся неизменна концентрация веществ ( если из чашки отлить немного чая в другую чашку, то чай не станет слаще). Поэтому после отливания части раствора относительные содержания можно считать известными и необходимо подсчитывать абсолютные содержания.
Задача 11. От куска сплава золота с серебром массой 500 г и 10% -м содержанием золота отрезали 20 г . Определите количество золота и серебра в отрезанном куске.
Решение:
Абсолютное содержание золота: 500 г (общая масса) • 0,1 (относительное содержание золота) = 50 г
Абсолютное содержание серебра: 500 г (общая масса) – 50 г (абсолютное содержание серебра) = 450 г
Относительное содержание серебра:
450 г (абсолютное содержание серебра) = 0,9 = 90%
500 г (общая масса)
Относительное содержание золота: 10% (осталось неизменным)
Абсолютное содержание золота: 20 г (общая масса)•0,1 (относительное содержание золота) = 2 г
Относительное содержание серебра: 90% (осталось неизменным)
Абсолютное содержание серебра: 20 г (общая масса)•0,9 (относительное содержание серебра) = 18 г
Итак, в отрезанном куске содержится 2 г золота и 18 г серебра
500 г 20 г
золото10%= 50 г |
серебро 450 г = 90% |
золото 10%= 2 г |
серебро 90%=18 г |
отрезали 20 г
Ответ: 2 г золота и 18 г серебра.
Различные методы решения задач
Алгебраический метод
Задача 12. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты?
Решение:
Пусть х г – масса 50%-й кислоты,
y г – масса 70%-й кислоты
0,5 х г – масса чистой кислоты в первом растворе,
0,7 y г – масса чистой кислоты во втором растворе,
(х + y ) г – масса смеси,
0,65 (х + y ) г – масса чистой кислоты в смеси.
Получим уравнение:
0,5 х +0,7 y =0,65 (х + y ) - разделим на y≠ 0
0,5• + 0,7 = 0,65•
+ 0,65
0,15 : = 0,05
=
=
Ответ: 1: 3.
Задача 13. Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую часть меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди.
Решение:
36 • 0,45 = 16,2 (кг) – меди в первом сплаве.
Пусть добавили х кг меди.
Меди во втором сплаве ( 16,2 + х) или (36 + х) • 0,6
т.е. 16,2 + х = (36 + х) • 0,6
16,2 + х = 21,6 + 0,6 х
х – 0,6 х = 21,6 – 16,2
0,4 х = 5,4
х = 5,4 : 0,4
х = 13,5
Ответ: 13,5 кг.
Задачи на концентрацию (с помощью составления таблицы).
При решении некоторых задач удобно внести данные задачи в таблицу и вести расчёт с того вещества, масса которого не меняется.
Задача 14. Морская вода содержит 5% соли (по массе ). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация составила 1,5 % ?
Решение:
соль | морская вода | |
было | 5% - 1,5 кг | 100% - 30 кг |
стало | 1,5 % - 1,5 кг | 100% - ? |
Ответ : 70 кг.
Чтобы решить задачи на сложные проценты, необходимо знать следующую формулу:
S=A*(1+R)T
A- Сумма вклада;
R-Ставка процента;
T- Количество периодов;
S- Получаемая сумма.
Задача 15. Рассчитать сумму вклада через 3 года при сложной процентной ставке 10% годовых, если было вложено 1000 рублей.
Решение:
S=A*(1+R)T
А-1000 рублей(сумма вклада)
R-10%=0,1
T-3 года
S-?
S=1000*(1+0,1)^3=1331 рублей
Задачи на сложные проценты и банковские операции
Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход
Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.
Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов. х (1+ 0,01 а)n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов, где х - начальный вклад, сумма, а – процент(ы) годовых, n- время размещения вклада в банке
Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х(1- 0,01 а )n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов. Популярность кредитования в нашей стране растет из года в год. Выгодным может оказаться ипотечный кредит, так как цены на квартиру за последние годы стремительно растут. Поэтому копить деньги на квартиру годами и снимать жилье не выгодно. Если позволяют доходы семьи. Лучше оформить ипотечный кредит.
При существующих процентах на автокредитование примерная сумма ежемесячных платежей составляет от 2% до 3% от первоначальной стоимости автомобиля. С учетом ежегодных трат на страхование автомобиля, новый автомобиль будет обходиться примерно на 30-35% дороже реальной стоимости. Поэтому покупать автомобиль в кредит выгодно в том случае, если у вас есть точная информация, что через некоторое время цены на эти модели автомобиля вырастут на 35%. В этом случае покупая автомобиль в кредит можно даже сэкономить.
Задача 16. Тридцать первого декабря Андрей взял 9 282 000 под 10% годовых. Схема платежа такова:
- тридцать первого декабря следующего года начисляется % на оставшуюся часть долга;
- затем Андрей переводит в банк х рублей.
Какова должна быть сумма х, чтобы Андрей выплатил долг за 4 года?
ДАНО:
Кредит – 9 82 000
Процент – 110%=1,1
Платеж – х
Срок – 4 года
Решение:
%n - 1
Кредит * %n = платеж * -----------
% – 1
1.14 - 1
9 282 000 * 1,14 = x* -----------
1.1 - 1
0.4641
9 282 000 * 1.4641 = x* ------------
0.1
14 641 4641
9 282 000 * ----------- = x* -----------
10 000 1000
14 641 4 641
9 282 * ----------- = x* -----------
10 1 000
9 282 * 14 641 1 000
x = --------------------- * ---------
10 4 641
x = 2 928 200 рублей. Ответ: 2 928 200 рублей.
Применение процентов в жизни
Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.
Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. Возьмём долгосрочные вложения, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.
Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента. Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.
Для расчета сложного процента применяем простую формулу:
где
Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:
через 5 лет сумма будет равняться руб.,
а через 10 лет она составит руб.
Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:
где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.
Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.
Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:
через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.
а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.
руб.
Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.
Заключение
В современном мире прожить без знаний процентов невозможно. Чтобы быть хорошими специалистами, надо уметь разбираться в большом потоке информации, необходимо знать проценты. Вкладчик сбережений учиться жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.
Поставленная цель работы достигнута, показана целесообразность применения процентов при решении повседневных задач. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся повседневной жизни.
Изучение столь важной и интересной темы даёт положительную мотивацию для самообразования и хорошей подготовки к экзаменам.
Литература
1. Мерзляк А.Г. Математика 5, Математика 6: учебник-М.: Вентана-Граф, 2019г.
2. Ященко И.В. Математика ЕГЭ 2021 г. Типовые тестовые задания.
5. Интернет-ресурс: ru.wikipedia.org
6. Интернет-ресурс: www.sdamgia.ru
ПАСПОРТ ПРОЕКТА
Проект | «Решение задач с экономическим содержанием на проценты» |
Учебный предмет | Математика |
Срок выполнения | Октябрь 2021г-март 2022г |
Цель проекта | Показать применения такого простого и известного математического понятия, как процентные вычисления. |
Решаемая в ходе выполнения проекта задача |
|
Объект исследования | Экономические задачи на проценты |
Гипотеза | Если удастся изложить теоретический и практический материал, необходимый для решения экономических задач, в доступной для каждого учащегося форме, количество учащихся справившихся с этим видом задач возрастет. |
Тип проекта | Практико-ориентированный |
Методы и приемы | Поиск информации в источниках, справочниках; работа с ресурсами Internet; обработка и анализ информации; работа в Miсrosoft PowerPoint и Miсrosoft Word. |
Участники проекта | Учителя и учащиеся образовательных организаций |
Состав проектной группы | Данзурун Айталина, ученица 7 «Б» класса ГАНОО РТ «ГЛРТ» |
Руководитель | Кенден Д.А., учитель математики |
Предполагаемый проектный продукт | Буклет, презентация |
Сказочные цветы за 15 минут
Три коробки с орехами
Цветущая сакура
Старинная английская баллада “Greensleeves” («Зеленые рукава»)
Горячо - холодно