Доклад "Законы распределения и числовые характеристики случайных величин"

Никто не может нести уголовную ответственность
дважды за одно и то же преступление
(УК РФ, Ст.6, ч.2)

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Наиболее полным описанием случайной величины с вероятностной точки зрения является закон распределения.

Всякое соотношение, которое устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называют законом распределения этой случайной величины.

• Ряд распределения. Обозначим дискретную СВ как Х, а набор ее отсчетов как x0, x1,…, xn. Исход случайного эксперимента – событие X=xk характеризуется вероятностью  Сопоставим каждому отсчету xk случайной величины X вероятность pk. В результате получим закон распределения дискретной СВ X. Самой простой формой записи закона распределения дискретной случайной величины является таблица, в первой строке которой перечисляются ее отсчеты xk, а во второй – вероятности pk. Такую таблицу  и называют рядом распределения.

Любые задачи, связанные со случайными величинами, могут быть решены с помощью законов распределения. Однако далеко не все задачи подобного рода требуют для их решения такой тяжелой артиллерии. Бывает достаточно оперировать с компактными характеристиками, отражающими самые существенные особенности случайных величин. Для этих целей и служат числовые характеристики случайных величин. В первую очередь, это математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

• Математическое ожидание. Математическое ожидание МО характеризует местоположение случайной величины на числовой оси. Это своего рода центр тяжести всего массива ее отсчетов. Обозначают математическое ожидание случайной величины X как mx. Математическое ожидание случайной величины X называют еще и ее средним.

МО дискретной случайной величины вычисляют так:

• Дисперсия. Дисперсия случайной величины X характеризует разброс (рассеяние, распределение) ее отсчетов на числовой оси относительно математического ожидания mx этой случайной величины. Обозначают дисперсию случайной величины X как Dx.

Дисперсия дискретной СВ вычисляется так:

• Среднее квадратическое отклонение. Отметим существенный факт. Если размерность математического ожидания mx совпадает с размерностью самой случайной величины X, то дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Удобнее было бы оперировать с числовыми характеристиками одной размерности. Для этого из дисперсии извлекают корень квадратный. Полученную величину называют средним квадратическим отклонением СКО случайной величины X и обозначают как σx:

Размерность СКО совпадает с размерностью случайной величины.

Пример. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0.6. Построить ряд распределения для числа попаданий в мишень при трех выстрелах. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа попаданий в мишень.

Решение. Обозначим как Z дискретную случайную величину – число попаданий в мишень. Набор ее значений: z0=0, z1=1, z2=2, z3=3. Опыт укладывается в схему Бернулли. Поэтому вероятность события Z=zk вычисляем так:

Теперь строим ряд распределения случайной величины Z (табл. 8.2).

Действуя по формуле (8.11), находим МО для дискретной СВ Z:

Действуем по формулам (8.12) и (8.13):

На рис. 8.10 показан ряд распределения CB Z, значения mz и σz.