Методическая разработка практического занятия для студента "Теория пределов"
учебно-методический материал по теме

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Минусинский медицинский техникум

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

практического занятия по № 1

 для студента

Дисциплина: Математика

Специальность: 060101 Лечебное дело

Год обучения: 1 курс, 1 семестр

Тема: Теория пределов

Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» Н.В. Новолодская

Минусинск, 2013

Тема: Теория пределов

Уважаемые студенты!

Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли функция в заданной точке разрыв. Через пределы определяются такие понятия математики как производная, неопределенный и определенный интегралы, составляющие основу дифференциальных уравнений, которые, в свою очередь получили непосредственное применение в медицинской практике. Пределы являются основным средством в построении теории рядов.

Цели занятия

Студент  должен уметь:

− вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;

− раскрывать неопределенности.

Студент должен знать:

− место понятия предела в математическом анализе;

− понятие предела функции в точке и на бесконечности;

− теоремы о пределах;

− понятие бесконечно малой, бесконечно большой функции;

− виды неопределенностей, способы их раскрытия;

− замечательные пределы.

Материал для повторения: лекция 1,2

Оснащение занятия: дидактический материал

Этапы   самостоятельной работы:

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011.
2. Омельченко В.П. Математика: компьютерные технологии в медицине: учебник / В.П. Омельченко, А.А. Демидова. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительные источники:

3. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. –  Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
4. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов н/Д.: Феникс, 2009.
5. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.
6. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011. – 240 с.

Интернет-ресурсы:

www.slovari.yandex.ru

www.wikiboks.org

revolution.allbest.ru

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МЕДИЦИНЕ

Уважаемые студенты!

Мы оказались современниками мощного прогресса математических знаний. Процесс вторжения математики в нетрадиционные для нее области интеллектуальной и практической деятельности человека, создание за последние десятилетия компьютеров высокого класса потребовал перестройки математического образования. И в связи с этим вашему вниманию предлагается  небольшой материал о математических методах используемых в медицине.  Мы надеемся, что, познакомившись с многообразием математических методов, применяемых в медицинских науках и смежных с ней областях, вы  увидите более глубокую связь  между этими, казалось бы, на первый взгляд, совершенно  несовместимыми науками. И, что знания, которые вы получите на занятиях по математике, помогут вам при  изучении  в дальнейшем  медицинских наук.

Математические методы в медицине – совокупность математических подходов, используемых для получения количественных зависимостей, построения моделей, закономерностей каких – либо процессов или явлений, происходящих в живых организмах, а также относящихся к организации службы здравоохранения и охраны здоровья.

В медицине приходится иметь дело с большими и сложно организованными объектами, поэтому трудность исследования состоит в выборе специфических предпосылок и исходных положений для последующей математической  обработки, а также в  толковании результатов, получаемых  с помощью математических методов.

Использование математических методов в медицине, а также биохимии, физиологии и др.  подчинено решению задач конкретных областей деятельности человека, что значительно обогащает теорию и практику в этих областях, а так же дает реальную возможность поднять исследования в этих областях на уровень, соответствующий их значению в жизни современного общества.

Исходным материалом для математических методов в медицине и биологии являются, как правило,  суждения экспертов в данной области, количественные данные, получаемые при измерении морфологических, физиологических,  и биохимических переменных в организме.  Совокупность методов и приемов обработки данных в биологии и медицине иногда рассматривают как специфическую область количественных методов сбора и обработки информации – биометрию.

Применяемые методы

1. Различные графические описания (графики, диаграммы, номограммы и др.) описание крови , как физико – клинической системы удобнее проводить с помощью  номограмм – многомерных графиков с 8 – 10 координатами.
2. Математическое описание функциональных зависимостей (уравнения), связывающие между собой отдельные измерения переменных в организме. Примером  могут служить вычисления ударного  и минутного объема сердца по измеряемым данным частоты сердечных сокращений и формы кривой АД. Построения таких зависимостей производят на основе статистических методов.
3. Дифференциальные уравнения, выражающие соотношения между изменениями основных переменных. Примером описания течения процессов в сердечно – сосудистой системе может служить как независимая модель эластичного резервуара – линейное  дифференциальное уравнение типа:

Где переменная Р – мгновенное значение АД, коэффициент R – общее сопротивление кровеносного русла току крови,  коэффициент k – коэффициент упругости аорты, W(t) – объемная мгновенная скорость выброса крови из сердца.

Когда исследуемая ситуация описывается системой из трех, четырех и более дифференциальных уравнений, для их решения необходима ЭВМ.

4. Методы теории управления (медицинская кибернетика), теория массового управления, теория игр, теория решений, методы теории информации. Внедрение этих методов в клиническую медицину и практику медико – биологических исследований происходит в рамках медицинской кибернетики, основными направлениями которой являются: разработка автоматизированных систем сбора обработки и хранения медицинской информации (в том числе разработка методов создания автоматизированных медицинских служб и архивов, банков данных, методов анализа результатов обследования больного и др.), создание диагностических систем с применением ЭВМ; разработка и использование методов математического моделирования и системного анализа различных систем организма в норме и в условиях патологии,  в том числе задачи управления лечением.
5. Методы теории вероятностей и математической статистики получили широкое распространение в практике медико-экспериментальных и клинических исследований, например при обработке лабораторных и клинических данных (в т.ч. при анализе ЭКГ, получении распределений  микрообъектов по оптико-геометрическим параметрам в гистологических препаратах и т.д.), в ходе  эпидемиологических исследований, в санитарной статистике,  аптечной сети и т.д.
6. Методы  факторного анализа используются при решении задач планирования экспериментов. Цель данного метода – это определение того вклада, который вносит в общую изменчивость результатов эксперимента каждый из факторов, влияющих на его исход.
7. Системный анализ и математическое моделирование систем – высшая ступень применения математических методов в биологии и медицине. В этом случае при решении практических медицинских и биологических задач возникает возможность оценки текущего состояния организма, прогнозирования результатов. Необходимая для этого информация о большом числе компонент системы и их взаимоотношениях представляется обычно в виде уравнений.  С помощью этого метода происходит формальное описание физиологических и медицинских концепций (гомеостаза организма, адаптации и компенсации, стресса) и количественного анализа процессов заболевания и лечения). Учеными были разработаны  модели комплекса физиологических систем организма, позволяющая одновременно изучать процессы дыхания, кровообращения, водно-солевого обмена и терморегуляцию. В институте сердечно-сосудистой хирургии им. А.Н. Бакулева модели сердечно-сосудистой системы успешно применяются в клинической практике. В Институте  проблем управления, совместно с Институтом трансплантации и искусственных органов разработаны методы математического моделирования искусственных внутренних органов в их взаимодействии с различными физиологическими системами организма. Успешно развивается работа по математическому моделированию системы охраны здоровья населения в масштабах страны. Перспективной областью применения математических методов является   моделирование и анализ различных типов патологических  и защитных процессов в организме человека (моделирование сахарного диабета, ранних стадий гипертонической болезни, иммунных реакций, процесса клеточного роста раковых клеток и др.). Применение данного метода невозможно без помощи ЭВМ.

В целом адекватное использование математических методов является перспективным методом  анализа медицинских и биологических явлений; их использование в медицине способствует прогрессу в медико – экспериментальной и клинической областях  и помогает врачу, увеличивая его творческие возможности.

На занятиях  по математике вы познакомитесь лишь с некоторыми элементарными методами, которые используются в медицинских науках. Это будет материал следующих разделов современной математики: «Дискретная математика», «Теория вероятностей», «Математическая статистика», «Основы математического анализа» и др.

Тема: Теория пределов.

Уважаемые студенты!

Одним из основных математических методов, применяемых в медицинских науках,  является описание многих процессов как в окружающем нас мире, так и в нашем организме, при помощи дифференциальных уравнений.  Но их изучение невозможно без знания основ дифференциального и интегрального исчисления.  В процессе  ознакомления с  темой этого занятия вы познакомитесь с  теорией пределов, без которой изучение вопросов дифференциального и интегрального исчисления невозможно.

При изучении данной темы вам предлагаются задания на нахождение пределов функций в точке и на бесконечности. Вам также  предложены задания для самостоятельного решения, выполнив которые вы сможете проверить степень усвоения материала и получить дополнительную оценку.

После изучения темы вы должны:

 знать:

• определение функции;
• определение предела функции в точке;
• определение предела функции на бесконечности;
• свойства пределов функций;
• определение непрерывности функции.

уметь:

• производить элементарные операции с функциями;
• находить пределы функций в точке;
• находить пределы функций на бесконечности

Раздел 1. Основное задание.

Пределы и их свойства

Предел функции в точке.

• ИНФОРМАЦИЯ:

• Число А является пределом функции  в точке  x0, если для любого, найдется такое , что при , выполняется неравенство  и записывают

• Функция  непрерывна в точке x0, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке.

• Свойства пределов:

!  Все правила имеют смысл, если пределы функций   и существуют.

Внимание: Задания, помеченные звездочкой (*),  обязательны для выполнения!

Выполнить задания:

1. Найти пределы  функций в точке.

Цель: В процессе выполнения задания закрепить основные навыки в отыскании пределов функции в точке.

1. .

Решение: В этом пределе в функцию , стоящую под знаком предела подставляем  (т.к.  ) и получаем:

2. *;
3. *;
4. ;
5. 

Решение: В этом пределе подставим в функцию  , получим:

 - получили неопределенность .

Чтобы найти предел этой функции нужно ее преобразовать, обратив внимание, что   в числителе данной функции стоит выражение, содержащее корень . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение противоположное (или сопряженное) данному. Это будет выражение . Получим  

Выражение, стоящее в числителе  свернем по формуле разности квадратов , получим

Сократим   в числителе и знаменателе, и подставим   в функцию, получим

Примечание:  Образец оформления в тетради:

7. *;
8. *;
9. *;
10. ;
11. 

Решение: Подставив  в функцию  получим неопределенность , значит функцию   нужно преобразовать, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов . Имеем:

13. *
14. 

15. 
16. .

Решение: Подставив  в функцию  получим неопределенность , значит функцию  нужно преобразовать, разложив числитель и знаменатель на множители.

Для этого решим два квадратных уравнения (общий вид ):

Т.к. , то по теореме Виета найдем корни  квадратного уравнения:

И числитель, и знаменатель представляют  собой  квадратный трехчлен . По формуле разложения квадратного трехчлена на множители  получим:

Подставив полученные разложения  в функцию, имеем:

17. *;
18. *;
19. 
20. 

Предел функции на бесконечности.

• ИНФОРМАЦИЯ:

• Число А является пределом функции  на бесконечности (в бесконечно удаленной точке), если для любого, найдется такое , что при , выполняется неравенство  и записывают

2. Найти пределы  функций на бесконечности.

Цель: В процессе выполнения задания закрепить основные навыки в отыскании пределов функции на бесконечности.

21. .

Решение: Если , то функция , тогда:

.

22. *
23. *
24. .

Решение:  Если , то функция , тогда:

.

25.  *;
26. *

Внимание!  Если под знаком  предела содержится дробно-рациональная функция, то для того, чтобы найти предел функции необходимо в числителе и знаменателе дроби вынести за скобку х в старшей степени.

Решение:  Данная функция под знаком предела имеет  дробно-рациональную функцию. Подставив    в функцию , получим неопределенность, значит функцию   нужно преобразовать. Для этого и в числителе и в знаменателе вынесем за скобку  в старшей степени. Старшая степень  числителя равна 2, знаменателя тоже равна 2. Имеем:

Сократим , функции  при . Учитывая это имеем:

Примечание: Образец оформления в тетради:

28. *
29. *
30. .

Решение: Подставив    в функцию , получим неопределенность, значит функцию   нужно преобразовать. Для этого и в числителе и в знаменателе вынесем за скобку  в старшей степени. Старшая степень  числителя равна 3, знаменателя равна 4. Имеем:

Сократим   и , функции при . Учитывая это имеем:

 (функция  при ).

31. *
32. 

Решение: Подставив    в функцию , получим неопределенность, значит функцию   нужно преобразовать. Для этого и в числителе и в знаменателе вынесем за скобку  в старшей степени. Старшая степень  числителя равна 3, знаменателя равна 1. Имеем:

Сократим   и , функции  при . Учитывая это имеем:

34. *;
35. .

Раздел 2. Дополнительное задание.

1. Вычислить пределы:

1. 
2. 
3. ;
4. .
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 

Домашнее задание:

1 вариант

1)  Найти пределы  функций:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

3 вариант

1)  Найти пределы функций

1. 
2. ;
3. ;
4. 
5. 

2 вариант

1) Найти пределы  функций:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

4 вариант

1)  Найти пределы функций

1. ;
2. ;
3. ;
4. 
5. 

Проверочная работа.

Тема : Теория пределов

1 вариант.

1. Найти пределы следующих функций:

1. ;
2. ;
3. ;

2 вариант.

1. Найти пределы следующих функций:

1.  
2. ;

1. .

3 вариант.

1. Найти пределы следующих функций:

1. ;
2. ;
3. ;

4 вариант.

1. Найти пределы следующих функций:

2.  ;

4. ;

3. .

Дополнительное задание:

1. ;
2. 

Контрольные вопросы:

1. Дать определение функции.
2. Что такое область определения функции?
3. Что такое область значений функции?
4. Как исследовать функцию на четность?
5. Что называется пределом функции в точке?
6. Что называется пределом функции на бесконечности?
7. Каковы основные свойства пределов.
8. Назовите методы вычисления предела функции в точке.
9. Назовите методы вычисления предела функции на бесконечности.