Методическая разработка практического занятия для студента "Дифференциальное исчисление"
учебно-методический материал на тему

Краевое государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Минусинский медицинский техникум

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

практического занятия по № 2

 для студента

Дисциплина: Математика

Специальность: 060101 Лечебное дело

Год обучения: 1 курс, 1 семестр

Тема: Дифференциальное исчисление

Разработчик: преподаватель дисциплины «Математика» Н.В. Новолодская

Минусинск, 2013

Тема: Дифференциальное исчисление

Уважаемые студенты!

Понятие производной – одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Изучение функции с помощью производной составляет предмет дифференциального исчисления. Быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной.

Таким же важным, как и понятие производной в математическом анализе, является и понятие дифференциала функции. В приложениях математики к решению конкретных задач приходится иметь дело с величинами, числовые значения которых получены путем измерений и, следовательно, точное их значение неизвестно. Если исходные данные содержат погрешности измерений, то применение точных методов вычислений нецелесообразно. Для упрощения и облегчения вычислений в таких случаях лучше использовать приближенные методы.

Теоретической основой одного из простейших приёмов приближенных вычислений является понятие дифференциала.

Цели занятия

Студент должен уметь:

− вычислять производные функций по определению и таблице производных;

− применять теоремы о производных;

− решать задачи с использованием производных.

находить дифференциал функции;

− применять формулу приближенных вычислений значения функции;

− находить частные и полный дифференциалы функции многих переменных

Студент должен знать:

− определение производной функции;

− таблицу производных;

− теоремы о дифференцировании суммы, произведения, частного, сложной функции;

− геометрический и физический смысл производной функции.

− области практического применения производной функции.

понятие дифференциала функции;

− понятие полного и частного дифференциала;

− формулу приближенных вычислений значений функции в точке с помо-щью дифференциала.

Материал для повторения: лекция 3,4,5

Оснащение: таблица основных производных, дидактический материал.

Этапы   самостоятельной работы:

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей. – Ростов н/Д: Феникс, 2011.
2. Омельченко В.П. Математика: компьютерные технологии в медицине: учебник / В.П. Омельченко, А.А. Демидова. – Ростов н/Д: Феникс, 2010.

Дополнительные источники:

3. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. / Е.В. Филимонова. –  Ростов н/Д.: Феникс, 2008.
4. Михеев В.С., Стяжкина О.В., Шведова О.М. Математика: Учебное пособие для среднего профессионального образования. /  В.С.Михеев. – Ростов н/Д.: Феникс, 2009.
5. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.
6. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – Форум, 2011. – 240 с.

Интернет-ресурсы:

www.slovari.yandex.ru

www.wikiboks.org

revolution.allbest.ru

Производная и дифференциал функции.

• ИНФОРМАЦИЯ:

• Производной от функции  по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

 или

Примечание: производная обозначается также 

• Геометрически производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке , т.е. .
• Производная есть скорость изменения функции в точке .
• Отыскание производной называется дифференцированием функции.
• Формулы дифференцирования основных функций:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. .

• Правила  вычисления производных:

1. 
2. , где
3. 
4. 
5. 
6. 

• Дифференциалом  (первого порядка) функции   называется главная часть ее приращения, линейная, относительно приращения аргумента.
• Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента .
• Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:  или .

1. Найти дифференциалы функций (формулы дифференцирования основных функций и правила вычисления производных см. информация ).

Цель: В процессе выполнения задания закрепить основные навыки в отыскании дифференциалов различных функций.

1. .

Решение: (по формуле 1)).

2. *;
3. ;
4. *;
5. *;
6. ;
7. *;
8. *;
9. ;

Решение: Используем основные правила нахождения производных: .

10. *;
11. ;
12. *;
13. *;
14. ;
15. *
16. ;
17. *;
18. *
19. *;
20. *;
21. ;
22. *
23. 
24. *

25. .

Решение: По правилу нахождения производной сложной функции:

.

26. *;
27. *;
28. *
29. ;
30. *;
31. ;
32. *;
33. ;
34. ;
35. *

Исследование функций с помощью производной.

Схема исследования функции: (записать) (5 мин).

1. Область определения функции.
2. Нули функции - точки пересечения функции с осью абсцисс.

Следует решить уравнение: .

Четность, нечетность. Если функция четная, то ее график симметричен относительно оси ординат, если нечетная, то график симметричен относительно начала координат.

3. Критические точки - точки, в которых производная равна нулю или не существует. Точки разрыва – точки, в которых функция не существует.

Следует найти производную функции и решить уравнение:.

4. Промежутки монотонности.

1. Если  то;
2. Если  то.

5. Точки экстремума.

1. Если в критической точке  производная меняет знак с «+» на «-»,  то - точка максимума (max).
2. Если в критической точке  производная меняет знак с «-» на «+»,  то - точка минимума (min).
3. Если в критической точке  производная не  меняет знак,  то - точка перегиба.

6. Асимптоты.

1. Вертикальная – проходит через точки разрыва. (н-р для функции  x=0 – точка разрыва).
2. Наклонная асимптота - , где  и .

2. Исследовать и построить график функции (схема исследования функции с помощью производной см. информация ).

Цель: В процессе выполнения задания рассмотреть и закрепить материал в области исследования функций с помощью производной и построения  графиков функций.

Решение (используем вышеизложенную схему):

 т.о. точек пересечения с осью абсцисс нет.

Исследуем функцию на четность:

функция ни четная, ни нечетная.

.

 - критические точки,   - точка разрыва.

4. и   5.

3. Вертикальная асимптота  .

Наклонная асимптота  

.

.

 - наклонная асимптота.

2. *;
3. *;

4. *;
5. .

3.Найти дифференциал функции:

Цель: В процессе выполнения задания закрепить основные навыки в отыскании дифференциалов различных функций для применения этих знаний при рассмотрении вопросов интегрального исчисления.

 – 10 мин.

1. ;

Решение:  

2. *;
3. ;
4. *;
5. ;
6. *.

4. Вычислить приближенное значение:

Цель: В процессе выполнения задания рассмотреть практическое приложение  дифференциала к приближенным вычислениям.

 – 20 мин.

Решение: Для рассмотрения берем функцию , .

2. *;
3. ;
4. *;
5. *;
6. ;
7. *;
8. *;
9. *;
10. *;
11. ;

Домашнее задание:

1. Найти дифференциалы  функций:

1. ;
2. ;
3. .

2. Вычислить приближенное значение:

1. ;
2. ;

Задания для самостоятельного решения:

1. Найти дифференциалы функций:

Контрольные вопросы:

1. Дать определение функции.
2. Что такое область определения функции?
3. Что такое область значений функции?
4. Как исследовать функцию на четность?
5. Что называется пределом функции в точке?
6. Что называется пределом функции на бесконечности?
7. Каковы основные свойства пределов.
8. Что такое приращение функции и аргумента?
9. Что называется производной функции?
10. В чем состоит физический смысл производной?
11. В чем состоит геометрический смысл производной?
12. Чему равен дифференциал функции?
13. Что называется дифференциалом аргумента?
14. В чем состоит геометрический смысл дифференциала функции?