Комплексные числа
методическая разработка на тему

Слайд 1

Комплексные числа Основные понятия Геометрическое изображение комплексных чисел Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Действия над комплексными числами Показательная форма комплексного числа

Слайд 2

Основные понятия Комплексным числом z называют выражение: где а и b – действительные числа, i – мнимая единица , определяемая равенством: а называется действительной частью числа z , b – мнимой частью . Их обозначают так: Если а = 0 , то число i b называется чисто мнимым . Если b = 0 , то получается действительное число а . Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными :

Слайд 3

Геометрическое изображение комплексных чисел Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости XOY в виде точки A(a; b) . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью комплексной переменной . y 0 х A(a; b) z a b Точкам, лежащим на оси OX , соответствуют действительные числа ( b = 0 ) , поэтому ось OX называют действительной осью . Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа ( a = 0 ) , поэтому ось OY называют мнимой осью . Иногда удобно считать геометрическим изображением комплексного числа z вектор

Слайд 4

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Тогда имеют место равенства: Следовательно, комплексное число z можно представить в виде: y 0 х A(a; b) z a b Обозначим через r модуль вектора , через φ угол между вектором и положительным направлением оси OX . φ Тригонометрическая форма записи комплексного числа Модуль комплексного числа Аргумент комплексного числа Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого r

Слайд 5

Действия над комплексными числами Равенство комплексных чисел . 1 Два комплексных числа и называются равными : , если Комплексное число равно нулю , тогда и только тогда, когда 2 Сложение и вычитание комплексных чисел . Суммой (разностью) комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством:

Слайд 6

Действия над комплексными числами 3 Умножение комплексных чисел . Сложение и вычитание комплексных чисел, изображенных векторами производится по правилу сложения или вычитания векторов: y 0 х z z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 - z 2 Умножением комплексных чисел и называется число, получаемое при умножении этих чисел по правилам алгебры как двучлены, учитывая что При любом целом k :

Слайд 7

Действия над комплексными числами На основании этого правила получим: тогда произведение находится по формуле: Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме: Произведение сопряженных комплексных чисел:

Слайд 8

Действия над комплексными числами 4 Деление комплексных чисел . Чтобы разделить на необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю: Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:

Слайд 9

Действия над комплексными числами Найти произведение и частное комплексных чисел: = -1

Слайд 10

Действия над комплексными числами 5 Возведение в степень комплексного числа . При возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра) 6 Извлечение корня из комплексного числа . Корень n – ой степени из комплексного числа находится по формуле: Арифметическое значение корня из положительного числа r

Слайд 11

Свойства модулей комплексных чисел

Слайд 12

Действия над комплексными числами Придавая k значения 0, 1, 2, …, n –1 , получим n различных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2 π , и , следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме:

Слайд 13

Действия над комплексными числами Найти все значения кубического корня из единицы A В С y х z

Слайд 14

Показательная форма комплексного числа Рассмотрим показательную функцию от комплексной переменной z . Комплексные значения функции w определяются по формуле: Пример: Пусть Если х и y – действительные переменные, то z называется комплексной переменной. (1)

Слайд 15

Показательная форма комплексного числа Если в формуле (1) положим x = 0 , то получим: Эта формула называется формулой Эйлера , выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. (2) Заменим в формуле (2) y на – y : (3) Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :

Слайд 16

Показательная форма комплексного числа Представим комплексное число z в тригонометрической форме:: По формуле Эйлера: Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной форме : Действия над комплексными числами в показательной форме : Пусть имеем: Тогда:

Слайд 17

1. 2. «Найди ошибку» 4. 3.