Комплексные числа
методическая разработка на тему
Презентация содержит :
- Основные понятия
Геометрическое изображение комплексных чисел
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Показательная форма комплексного числа
и задания для первичного закрепления материала
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 883 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Основные понятия Комплексным числом z называют выражение: где а и b – действительные числа, i – мнимая единица , определяемая равенством: а называется действительной частью числа z , b – мнимой частью . Их обозначают так: Если а = 0 , то число i b называется чисто мнимым . Если b = 0 , то получается действительное число а . Два комплексных числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными :
Геометрическое изображение комплексных чисел Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости XOY в виде точки A(a; b) . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называют плоскостью комплексной переменной . y 0 х A(a; b) z a b Точкам, лежащим на оси OX , соответствуют действительные числа ( b = 0 ) , поэтому ось OX называют действительной осью . Точкам, лежащим на оси OY , соответствуют чисто мнимые числа ( a = 0 ) , поэтому ось OY называют мнимой осью . Иногда удобно считать геометрическим изображением комплексного числа z вектор
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел Тогда имеют место равенства: Следовательно, комплексное число z можно представить в виде: y 0 х A(a; b) z a b Обозначим через r модуль вектора , через φ угол между вектором и положительным направлением оси OX . φ Тригонометрическая форма записи комплексного числа Модуль комплексного числа Аргумент комплексного числа Аргумент комплексного числа z считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси OX против часовой стрелки. Очевидно, что φ определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого r
Действия над комплексными числами Равенство комплексных чисел . 1 Два комплексных числа и называются равными : , если Комплексное число равно нулю , тогда и только тогда, когда 2 Сложение и вычитание комплексных чисел . Суммой (разностью) комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое равенством:
Действия над комплексными числами 3 Умножение комплексных чисел . Сложение и вычитание комплексных чисел, изображенных векторами производится по правилу сложения или вычитания векторов: y 0 х z z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 - z 2 Умножением комплексных чисел и называется число, получаемое при умножении этих чисел по правилам алгебры как двучлены, учитывая что При любом целом k :
Действия над комплексными числами На основании этого правила получим: тогда произведение находится по формуле: Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме: Произведение сопряженных комплексных чисел:
Действия над комплексными числами 4 Деление комплексных чисел . Чтобы разделить на необходимо умножить делимое и делитель на число, сопряженное делителю: Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме:
Действия над комплексными числами Найти произведение и частное комплексных чисел: = -1
Действия над комплексными числами 5 Возведение в степень комплексного числа . При возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени (формула Муавра) 6 Извлечение корня из комплексного числа . Корень n – ой степени из комплексного числа находится по формуле: Арифметическое значение корня из положительного числа r
Свойства модулей комплексных чисел
Действия над комплексными числами Придавая k значения 0, 1, 2, …, n –1 , получим n различных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2 π , и , следовательно будут получаться значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений. Корень n – ой степени из действительного числа также имеет n значений, так как действительное число – частный случай комплексного числа и может быть представлено в тригонометрической форме:
Действия над комплексными числами Найти все значения кубического корня из единицы A В С y х z
Показательная форма комплексного числа Рассмотрим показательную функцию от комплексной переменной z . Комплексные значения функции w определяются по формуле: Пример: Пусть Если х и y – действительные переменные, то z называется комплексной переменной. (1)
Показательная форма комплексного числа Если в формуле (1) положим x = 0 , то получим: Эта формула называется формулой Эйлера , выражающая показательную функцию с мнимым показателем через тригонометрические функции. (2) Заменим в формуле (2) y на – y : (3) Складывая и вычитая равенства (2) и (3) получим :
Показательная форма комплексного числа Представим комплексное число z в тригонометрической форме:: По формуле Эйлера: Следовательно, всякое комплексное число можно представить в показательной форме : Действия над комплексными числами в показательной форме : Пусть имеем: Тогда:
1. 2. «Найди ошибку» 4. 3.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ИЗУЧЕНИЮ ТЕМЫ «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»
Методические рекомендации для студентов по изучению одного из разделов математики: «Комплексные числа» составлены в соответствии с Государственными требованиями к минимуму содержания и уро...
![](/sites/default/files/pictures/2013/10/17/picture-317760-1382000832.jpg)
презентация к уроку "Комплексные числа"
цель: ознакомить студентов с понятием комплексных чисел и правилами действий над ними...
![](/sites/default/files/pictures/2013/08/29/picture-286876-1377778811.jpg)
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ «Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической форме, показательной форме и обратно»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯпо предмету: Элементы высшей математики (ЕН 01) по теме:«Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Переход от алгебраической формы...
![](/sites/default/files/pictures/2013/08/29/picture-286876-1377778811.jpg)
ПРЕЗЕНТАЦИЯ "КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА" - ПРИЛОЖЕНИЕ 1 к МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКЕ ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 "КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА"Приложения к МЕТОДИЧЕСКОЙ РАЗРАБОТКЕ ОТКРЫТОГО ЗАНЯТИЯпо предмету: Элементы высшей математики (ЕН 01) по теме:«Тригонометрическая и показательная формы компле...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/13/picture-343209-1384355199.jpg)
Учебное пособие "Комплексные числа" по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика»
Учебное пособие по учебной дисциплине ЕН.01 «Математика» предназначено для обучающихся ГБОУ СПО КМТ КК II курса специальности 270843 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленн...
![](/sites/default/files/pictures/2014/02/01/picture-395823-1391235844.jpg)
Итоговая контрольная работа по теме: "Комплексные числа"
Контрольная работа предназначается для специальностей экономического и технического профилей, 2-й курс. Проводится итоговый контроль ЗУН над следующими темами изучаемого материала: 1) решение квадратн...