физический смысл производной
методическая разработка на тему

Краткий справочный материал

Примеры решений задач

Задания для самостоятельной работы

Физический смысл производной.

Производной функции f  в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение

Мгновенной скоростью поступательного движения тела в момент времени t называется отношение очень малого перемещения ∆s   к малому промежутку времени ∆t, за который произошло это перемещение

При  ∆t→0, υ(t) =S’(t).

Скорость-производная от пути по времени.

Ускорением называется величина, равная отношению малого изменения скорости ∆υ к малому промежутку времени ∆t, за которое произошло это перемещение 

    При Δt→0, а(t)=υ’(t).

Ускорение-производная от скорости по времени.

Отношение заряда Δ q, переносимого через поперечное сечение проводника за интервал времени Δ t, к этому интервалу времени называется силой тока.

При ∆t→0  i(t)=q’(t). Сила тока - производная от заряда по времени.

При ∆t→o, P=A’(t). Мощность – производная от работы по времени.

ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, ΔФ – изменение магнитного потока

При ∆t→0     ei = Ф’(t). ЭДС  индукции– производная от магнитного потока по времени

Единицы измерения

 Скорость – [м/с]
Ускорение – [м/с2]
Сила – [Н]
Энергия – [Дж]

Пример 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = - t4+6t3 + 2t2+ 9t - 22 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.

Решение.

1. Найдем производную функции

 x(t) = - t4 +6t3 + 2t2+ 9t - 22:

 x'(t) = -4t3 + 18t2+ 4t + 9

2. Найдем значение производной в точке t = 3:

 x'(3) = -4×33 + 18×32+ 4×3 + 9

 x'(3) = 75.

Ответ: 75 м/с.

Пример 2. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t3 - 6t2- 8t + 4, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 88 м/с?

Решение.

Найдем производную функции 

x(t) = t3 - 6t2- 8t + 4:

 x'(t) = 3t2- 12t - 8

По условию, скорость точки равна 88 м/с.

Получаем уравнение:

 x'(t) = 3t2- 12t – 8 =88

Решим его:

3t2- 12t – 8 =88

3t2- 12t – 96 =0, разделим обе части уравнения на 3,

t2- 4t – 32 =0

t1 = 8, t2 = - 4 – не соответствует условию задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ: 8

Пример 3. Точка движется по закону s(t)=2t³-3t (s – путь в метрах, t – время в секундах). Вычислите скорость движения точки, ее ускорение в момент времени 2с.

Пример 4 Маховик вращается вокруг оси по закону φ(t)= t4-5t. Найдите его угловую скорость ω в момент времени 2с (φ – угол вращения в радианах, ω – угловая скорость рад/с)

Пример 5 Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону х(t)=2-3t+2t².Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? (t измеряется в секундах, х – в метрах)

Пример 6 Точка совершает колебательные движения по закону х(t)=2sin3t. Докажите, что ускорение пропорционально координате х.

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2 + 7t - 3 , где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 10c.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t2– 13t + 23 , где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

3. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону  Найти кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения.

4.  Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение точки в момент .