Открытый урок «Применение интеграла к решению физических задач»
план-конспект урока

Тема урока: «Применение интеграла к решению физических задач»

        Выполнила преподаватель информатики

        Н.В. Бирюкова

Кстово

2017

Девиз урока: «Математика – язык, на котором говорят все точные науки» Н.И. Лобачевский

Цель урока:

• обобщить знания обучающихся по теме «Интеграл», «Применение интеграла»;
• расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использования интеграла для решения прикладных задач;
• прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи.

Цели педагогической деятельности.

Личностные:

• умение определять границу усвоенных знаний, ясно и чётко ставить перед собой новые задачи;
• умение излагать свои мысли в устной речи, выстраивать аргументацию;
• навык работы как в группе, так и самостоятельно;

• ценностно-эмоциональное отношение к изучаемому математическому содержанию с общекультурных позиций.

Метапредметные:

• умение выделять главное, сравнивать, обобщать, проводить аналогии,
• способность к выдвижению гипотез при решении учебных задач;
• развитие способности к интерпретации;
• представление о математике как средстве моделирования явлений окружающего мира.

Предметные:

• уметь решать прикладные задачи с помощью интегрирования;
• навык использования терминов «первообразная», «интеграл»,
• навык построения речевых высказываний с использованием специальной терминологии;
• навык вычисления интегралов;
• умение распознавать первообразные функции в примерах из реальной жизни.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Вид урока: урок – защита проекта «Применение интеграла».

Оборудование: 

технические: интерактивная доска, проектор;  

дидактические: карточки для самостоятельной работы, учебная презентация.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Защита проекта«Применение интеграла»:

1. из истории интегрального исчисления;
2. свойства интеграла;
3. применение интеграла в математике;
4. применение интеграла в физике.

4.        Закрепление нового материала.

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Приветствие. Объявление темы урока. Постановка целей и задач урока.

2.Актуализация опорных знаний.

Преподаватель: Выполним устное упражнение. Я буду говорить утверждение или правило, а вы должны сделать вывод: верно или неверно оно (если верное – руки не поднимают, если неверное – поднимают руки и объясняют, почему).

1. Графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу. (верно)
2. Если f непрерывная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна первообразной на этом отрезке. (неверно, 

f – непрерывная и неотрицательная)

3. Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию. (верно)
4. Интеграл от положительной функции есть площадь ее подграфика. (верно)

Преподаватель: Выполните задания, представленные в презентации: ответьте на вопросы теста и вычислите первообразную.

Преподаватель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

3.Защита проекта «Применение интеграла».

Преподаватель: Студенты группы провели большую работу, они подобрали задачи, в которых применяется определенный интеграл.

1 студент: Из истории интегрального исчисления 

2 студент: Свойства интеграла

3 студент: Применение интеграла

4 студент: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.

Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а  х b, f(х) 0 вычисляется по формуле

рис.1

При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи:

а) фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (рис.1). Площадь этой фигуры находится по формуле 1;

б) фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b. Площадь находится по формуле:

 .

рис.2

в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.

рис.3

 г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у =(х).

рис.4

5 студент:

Вычисление площадей плоских фигур

Задача 1

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

х-2у+4=0 и х+у-5=0 и у=0

SAMN=  иSNMC=

6 студент: Просмотр видеоролика.

Вычисление объемов тел.

Задача 2

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: у=, х=1,х=2, у=0(у>0)

7 студент: Интеграл, широко применяющийся в физике.

1. Задача о нахождении пути по заданной скорости.

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью  за промежуток времени от  до вычисляется по формуле .

Задача 3

Скорость движения точки  м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно, 

8 студент

Задача 4

Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью v = (39,2—9,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

S=

9 студент        

2. Задача о вычислении работы переменной силы.

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формулеА=При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон

Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.

Задача 5

Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

А=

10 студент

3. Задача о вычислении количества электричества
Количество электричества (электрический заряд) за промежуток времени [t1:t2] при известной силе тока I=I(t) вычисляется по формуле q =

Задача 6

Вычислите количество электричества,

протекшего по проводу за промежуток времени [3:4], если сила тока задается формулой I(t)=3-2t

Решение:q = =кл

4.Закрепление нового материала.

Преподаватель: У вас на столах находятся таблица и задачи. Используя данную таблицу, найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности (1 вариант); в) работу за промежуток времени; г) работу по переносу единичной массы (2 вариант).

Физические приложения интеграла

Самостоятельная работа

5.Подведение итогов.

 Сегодня мы завершили тему «Интеграл», рассмотрели всё многообразие прикладных задач, которые решаются с помощью интеграла, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, объемы фигур, рассмотрели применение интеграла на практике. Задачи, которые мы решили, могут встретиться  вам на занятиях по специальным дисциплинам или в вашей будущей профессиональной деятельности. Думаю, выс ними успешно справитесь.

6.Домашнее задание.

1) Скорость движения тела задана уравнением V=(6t2+4)м/с. Найдите путь, пройденный за 5с от начала движения.

2) Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее 0,01м нужна сила 10 Н.

Методическая литература:

1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.
2. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» М.И. Башмаков. Дидактические материалы/ М.И. Башмаков, Т.А. Братусь и др..
3. Интернет-ресурсы: Википедия.

приложение

Физические приложения интеграла

Самостоятельная работа