Открытый урок «Применение интеграла к решению физических задач»
план-конспект урока

Наталья Вячеславовна Бирюкова

Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл konspekt_uroka.docx162.7 КБ

Предварительный просмотр:

Эмблема КНТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Кстовский нефтяной техникум имени Бориса Ивановича Корнилова»

2017

Система качества образовательного учреждения

Открытый урок

Тема урока: «Применение интеграла к решению физических задач»

        Выполнила преподаватель информатики

        Н.В. Бирюкова

Кстово

2017

Девиз урока: «Математика – язык, на котором говорят все точные науки» Н.И. Лобачевский

Цель урока:

  • обобщить знания обучающихся по теме «Интеграл», «Применение интеграла»;
  • расширить кругозор, знания о возможном применении интеграла к вычислению различных величин; закрепить навыки использования интеграла для решения прикладных задач;
  • прививать познавательный интерес к математике, развивать культуру общения и культуру математической речи.

Цели педагогической деятельности.

Личностные:

  • умение определять границу усвоенных знаний, ясно и чётко ставить перед собой новые задачи;
  • умение излагать свои мысли в устной речи, выстраивать аргументацию;
  • навык работы как в группе, так и самостоятельно;
  • ценностно-эмоциональное отношение к изучаемому математическому содержанию с общекультурных позиций.

Метапредметные:

  • умение выделять главное, сравнивать, обобщать, проводить аналогии,
  • способность к выдвижению гипотез при решении учебных задач;
  • развитие способности к интерпретации;
  • представление о математике как средстве моделирования явлений окружающего мира.

Предметные:

  • уметь решать прикладные задачи с помощью интегрирования;
  • навык использования терминов «первообразная», «интеграл»,
  • навык построения речевых высказываний с использованием специальной терминологии;
  • навык вычисления интегралов;
  • умение распознавать первообразные функции в примерах из реальной жизни.

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Вид урока: урок – защита проекта «Применение интеграла».

Оборудование

технические: интерактивная доска, проектор;  

дидактические: карточки для самостоятельной работы, учебная презентация.

Структура урока:

  1. Организационный момент.

2. Актуализация опорных знаний.

3. Защита проекта«Применение интеграла»:

  1. из истории интегрального исчисления;
  2. свойства интеграла;
  3. применение интеграла в математике;
  4. применение интеграла в физике.

4.        Закрепление нового материала.

5. Подведение итогов.

6. Домашнее задание.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Приветствие. Объявление темы урока. Постановка целей и задач урока.

2.Актуализация опорных знаний.

Преподаватель: Выполним устное упражнение. Я буду говорить утверждение или правило, а вы должны сделать вывод: верно или неверно оно (если верное – руки не поднимают, если неверное – поднимают руки и объясняют, почему).

  1. Графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу. (верно)
  2. Если f непрерывная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна первообразной на этом отрезке. (неверно, 

f – непрерывная и неотрицательная)

  1. Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию. (верно)
  2. Интеграл от положительной функции есть площадь ее подграфика. (верно)

Преподаватель: Выполните задания, представленные в презентации: ответьте на вопросы теста и вычислите первообразную.

Преподаватель: Мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа. Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции. Физический смысл интеграла – перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

3.Защита проекта «Применение интеграла».

Преподаватель: Студенты группы провели большую работу, они подобрали задачи, в которых применяется определенный интеграл.

1 студент: Из истории интегрального исчисления 

2 студент: Свойства интеграла

http://festival.1september.ru/articles/511391/img1.gif

3 студент: Применение интеграла

Интеграл  Snприn .

Математика

  1. Вычисления S фигур.
  2. Длина дуги кривой.
  3. V тела на S параллельных сечений.
  4. V тела вращения и т.д.

Физика

  1. Работа А переменной силы.
  2. S – (путь) перемещения.
  3. Вычисление массы.
  4. Вычисление момента инерции линии, круга, цилиндра.
  5. Вычисление координаты центра тяжести.
  6. Количество теплоты и т.д.

4 студент: Рассматриваем применение интеграла в математике для вычисления площади фигур.

Площадь всякой плоской фигуры, рассматриваемая в прямоугольной системе координат, может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилежащих к оси Ох и оси Оу. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f(х), осью Ох и двумя прямыми х=а и х=b, где а http://festival.1september.ru/articles/511391/Image308.gif х http://festival.1september.ru/articles/511391/Image308.gifb, f(х) http://festival.1september.ru/articles/511391/Image309.gif0 вычисляется по формуле

http://festival.1september.ru/articles/511391/Image310.gif

рис.1

При вычислении площадей фигур могут представиться следующие случаи:

а) фигура расположена над осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b (рис.1). Площадь этой фигуры находится по формуле 1;

б) фигура расположена под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b. Площадь находится по формуле:

 http://festival.1september.ru/articles/511391/Image312.gif.

рис.2

в) Фигура расположена над и под осью Ох и ограничена осью Ох, кривой у=f(х) и двумя прямыми х=а и х=b.

рис.3

 г) Площадь ограничена двумя пересекающимися кривыми у=f(х) и у =(х).

рис.4

5 студент:

Вычисление площадей плоских фигур

Задача 1

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

х-2у+4=0 и х+у-5=0 и у=0

http://festival.1september.ru/articles/511391/img4.gif

SAMN=  иSNMC=

6 студент: Просмотр видеоролика.

Вычисление объемов тел.

Задача 2

Вычислить объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: у=, х=1,х=2, у=0(у>0)

7 студент: Интеграл, широко применяющийся в физике.

1. Задача о нахождении пути по заданной скорости.

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью http://festival.1september.ru/articles/511391/Image316.gif за промежуток времени от http://festival.1september.ru/articles/511391/Image317.gif до http://festival.1september.ru/articles/511391/Image318.gifвычисляется по формуле http://festival.1september.ru/articles/511391/Image319.gif.

Задача 3

Скорость движения точки http://festival.1september.ru/articles/511391/Image320.gif м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, http://festival.1september.ru/articles/511391/Image321.gif. Следовательно, http://festival.1september.ru/articles/511391/img5.gif

8 студент

Задача 4

Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью v = (39,2—9,8t) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2-9,8t = 0, откуда I 4 с. По формуле (1) на ходим

S=

9 студент        

2. Задача о вычислении работы переменной силы.

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формулеА=При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон

Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а —коэффициент пропорциональности, Н/м.

Задача 5

Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

А=

10 студент

3. Задача о вычислении количества электричества
Количество электричества (электрический заряд) за промежуток времени [t1:t2] при известной силе тока I=I(t) вычисляется по формуле q =

Задача 6

Вычислите количество электричества,

протекшего по проводу за промежуток времени [3:4], если сила тока задается формулой I(t)=3-2t

Решение:q = =кл

4.Закрепление нового материала.

Преподаватель: У вас на столах находятся таблица и задачи. Используя данную таблицу, найдите: а) количество электричества; б) массу стержня по его плотности (1 вариант); в) работу за промежуток времени; г) работу по переносу единичной массы (2 вариант).

Физические приложения интеграла

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла

А – работа;

F – сила;

N - мощность.

F(x)=A' (x);

N(t)=A' (t).

A=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image348.gif;

A=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image349.gif

m –масса тонкого стержня

p – линейная плотность

P(x)=m' (x).

m=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image350.gif

Q –электрический заряд;

I – сила тока.

I(t)=q' (t)

Q=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image351.gif

S –перемещение;

v –скорость.

V(t)=S' (t)

S=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image352.gif

Q –количество теплоты;

с – теплоёмкость.

C(t)=Q' (t)

Q=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image353.gif

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

  1. Вычислите массу участка стержня от http://festival.1september.ru/articles/511391/Image354.gif, если его линейная плотность задается формулой http://festival.1september.ru/articles/511391/Image355.gif
  1. Вычислите работу за промежуток времени [4;9], если мощность вычисляется по формуле http://festival.1september.ru/articles/511391/Image356.gif
  1. Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [2;3], если сила тока задается формулой http://festival.1september.ru/articles/511391/Image357.gif
  1. Вычислите работу по переносу единичной массы, совершенную силой http://festival.1september.ru/articles/511391/Image358.gif

 на участке

[ -1;2].

5.Подведение итогов.

 Сегодня мы завершили тему «Интеграл», рассмотрели всё многообразие прикладных задач, которые решаются с помощью интеграла, научились вычислять первообразные, интегралы, площади фигур, объемы фигур, рассмотрели применение интеграла на практике. Задачи, которые мы решили, могут встретиться  вам на занятиях по специальным дисциплинам или в вашей будущей профессиональной деятельности. Думаю, выс ними успешно справитесь.

6.Домашнее задание.

1) Скорость движения тела задана уравнением V=(6t2+4)м/с. Найдите путь, пройденный за 5с от начала движения.

2) Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислите работу силы F при сжатии пружины на 0,04 м, если для сжатия ее 0,01м нужна сила 10 Н.

Методическая литература:

  1. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.
  2. Учебник «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» М.И. Башмаков. Дидактические материалы/ М.И. Башмаков, Т.А. Братусь и др..
  3. Интернет-ресурсы: Википедия.

приложение

Физические приложения интеграла

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла

А – работа;

F – сила;

N - мощность.

F(x)=A' (x);

N(t)=A' (t).

A=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image348.gif;

A=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image349.gif

m –масса тонкого стержня

p – линейная плотность

P(x)=m' (x).

m=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image350.gif

Q –электрический заряд;

I – сила тока.

I(t)=q' (t)

Q=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image351.gif

S –перемещение;

v –скорость.

V(t)=S' (t)

S=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image352.gif

Q –количество теплоты;

с – теплоёмкость.

C(t)=Q' (t)

Q=http://festival.1september.ru/articles/511391/Image353.gif

Самостоятельная работа

Вариант 1

Вариант 2

  1. Вычислите массу участка стержня от http://festival.1september.ru/articles/511391/Image354.gif, если его линейная плотность задается формулой http://festival.1september.ru/articles/511391/Image355.gif
  1. Вычислите работу за промежуток времени [4;9], если мощность вычисляется по формуле http://festival.1september.ru/articles/511391/Image356.gif
  1. Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [2;3], если сила тока задается формулой

http://festival.1september.ru/articles/511391/Image357.gif

  1. Вычислите работу по переносу единичной массы, совершенную силой http://festival.1september.ru/articles/511391/Image358.gif

на участке[-1;2].


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Применение производной при решении физических задач.

  Чем же отличается интегрированное занятие от обычного? Сравнительный анализ показывает, что отличие, прежде всего, состоит в специфике учебного материала, на нём рассматриваемого или изу...

Учебно – методическое пособие по физике Рабочая тетрадь дидактических материалов для самостоятельного решения физических задач по теме «Основы молекулярно-кинетической теории» для всех специальностей 1 курса

Пособие состоит из заданий для самостоятельной работы студентов по физике по теме « Основы молекулярно-кинетической теории» для всех специальностей.Задания содержат перечень вопросов...

Методическая разработка открытого урока «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции»

Методическая разработкаоткрытого урокапо дисциплине «Математика» Тема: «Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции»...

Открытый урок. Фитбол – как средство оздоровительной физической культуры.

Повысить мышечный тонус, улучшить их взаимную координацию, развитиеглубинных мышц, формирование мышечного корсета, тренировка вестибулярногоаппарата, развитие координации движений – исключая наг...

Урок 9 класс ТЕМА: « Применение элементов векторной геометрии в решении физических задач» ( интегрированный урок физики и математики)

Цель:1. Повторение основных определений темы.           2.Формирование умений практического применения действий над...

Элективный курс «Практикум по решению физических задач» предназначен для учащихся 10-11 классов.

Программа элективного курса отличается от общеобразовательной программы по физике тем, что дает возможность учащимся, обучающимся в образовательных классах  хорошо овладеть навыками решения задач...

Дополнительная образовательная программа по физике «Методы решения физических задач»

Решение же задач позволит учащемуся включиться в познавательную деятельность, найти для решения задачу по силам.  Предлагаемый элективный курс предназначен для изучения в 8-9 классах в рамках пре...