Алгоритм решения тригонометрических уравнений.
методическая разработка

Тема «Основные приемы решения уравнений»

Тригонометрические уравнения.

Справочные материалы

Таблица часто встречающихся значений тригонометрических функций

Определения :

Арксинусом  числа а  (arcsin а) называется такое число  х из [-], синус которого равен а.

arcsin (- а) = - arcsin а

Арккосинусом числа а  (arсcos а) называется такое число  х из [0; π], косинус которого равен а.

arсcos (- а) = π - arсcos а

Арктангенсом числа а  (arctg а) называется такое число  х из (-), тангенс которого равен а.

аrctg(- а) = - arctg а

Арккотангенсом числа а  (arсctg а) называется такое число  х из (0; π), котангенс которого равен а.

аrсctg( - а) = π - arсctg а

Основные формулы  для решения простейших тригонометрических уравнений

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным.

1. Алгоритм решения уравнений вида

a

a

a.

1).Заменить тригонометрическую функцию новой переменной, например  через  t.

2). Наложить на переменную условия, допустимых значений, при которых  существует данная тригонометрическая функция.

3). Решить полученное уравнение вида: a t2 + bt + c = 0   применяя методы решения квадратных уравнений.

а) D = b2 – 4ac

б)  t1,2

4). Если уравнение содержало функции  sin x или cos x, то  надо произвести отбор корней принадлежащих отрезку [-1;1]., а посторонние отбросить.

5). Перейти к решению простейших тригонометрических уравнений одного из видов:

sin x = t   ;   cos x = t ;   tg x = t (см. таблицы).

2 .Если уравнения имеют вид :

a

a

1. Приводим их к виду , содержащему одно наименование, введя в уравнение подстановку(используем основное тригонометрическое тождество

    ;   ;  .)

2) Далее решаем, придерживаясь алгоритма.

Например:

Пусть     t

Получаем уравнение

t2 + t – 2 = 0

решаем как квадратное уравнение , получаем корни

t1 = 1      t2 = -2

t2 = -2  - посторонний корень, т.к. не удовлетворяет наложенному условию.

Решаем далее уравнение   sin x = 1   ; x =  + 2 ,n

2.     2

Используем формулу

2

Раскрываем скобки, приводим подобные, получаем уравнение

2

Пусть     t

Получаем уравнение

2t2 + t – 1 = 0

решаем как квадратное уравнение , получаем корни

t1 = 1      t2 = -0,5

Решаем далее уравнение  

1. cos x = 1;
2. cos x = -0,5 ; x = ; x =

Решите самостоятельно, используя алгоритм

1. 2
4. 4
5. 2

2. Однородные тригонометрические уравнения.

Уравнения  вида   a sin x + b cos x = 0  называют однородными первой степени.

При решении таких уравнений придерживаемся следующего плана действий.

1. Обе части уравнения делим на cos x≠ 0
2. Получаем  a + b
3.  Имеем a tg x + b = 0 ,  далее решаем как простейшее уравнение .

Например :

2sin x – 3 cos x = 0

2 tg x – 3 = 0

tg x =

x = arctg  +,

Уравнения  вида   a + b sin x cos x+ k = 0  называют однородными второй степени.

При решении таких уравнений придерживаемся следующего плана действий.

1. Обе части уравнения делим на  ≠ 0

2. Применяя формулу  , приводим уравнение к виду

a

3. Решение уравнения производим методом решения квадратных тригонометрических уравнений (см. алгоритм)

Например :

  - 4 sin x cos x+ 3 = 0  

Пусть tg x = y

у2 – 4у + 3 = 0

у1 = 1       у2 = 3

tg x = 1; x =  +,

tg x = 3 ; x = arctg 3 +,

Решите самостоятельно, используя алгоритм

1. 3 sin x = - cos x
2.  - 7 sin x cos x+ 4 = 0  

3 . Уравнения, решаемые разложением левой части на множители.

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением левой части на множители.

Например:

1. sin 2x – sin x = 0

используем формулу   sin 2x = 2 sinx cosx

2 sinx cosx –sin x = 0

sin x(2cos x – 1 ) = 0

sin x = 0 ; x =  ,n

2cosx -1 = 0 ; cos x = 0,5 ;x= ; x =

2. cos x = cos 3x

используем формулу разности косинусов

сosx – cos 3x = 0

-2 sin  sin = 0

sinx sin2x = 0

sin x = 0 ; x =  ,n

sin 2x = 0 ; 2x = ,n; x = , k

Решите самостоятельно.

1. sin 2x – cosx = 0
2. 2cos x=0
3. cos 5x + cos 3x = 0
4. sin5x – sin x = 0

Литература

1.Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа 10-11 кл» с.181-188

2.А.Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа 10-11 кл» с.81-83