Конспект урока по теме: Комбинаторика"
план-конспект урока

Комбинаторика и ее возникновение.

Комбинаторика- это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры (карты, кости). Широко были распространены лотереи. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр: сколькими способами можно получить данное число очков, бросая 2 или 3 кости или сколькими способами можно получить 2-ух королей в некоторой карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и далее в развитии теории вероятностей.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако, он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.

Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.

Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.

Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции и т.д.

Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.

         Генеральная совокупность без повторений- это набор некоторого конечного числа различных элементов a1, a2, a3, ..., an.

Пример: Набор из n разноцветных лоскутков.

Выборкой объема k (k n) называется группа из m элементов данной генеральной совокупности.

Пример: Пестрая лента, сшитая из m разноцветных лоскутков, выбранных из данных n.

Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по kэлементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

- число размещений из n по k.

Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n-1 способом и т.д.

Преобразовав данную формулу, имеем:

Следует помнить, что 0!=1.

 Примеры:

1. В первой группе класса А первенства по футболу участвует 17 команд. Разыгрываются медали: золото, серебро и бронза. Сколькими способами они могут быть разыграны?

Решение: Комбинации команд-победителей отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 17 по 3. 

2. Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Комбинации руководящего состава общества отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 25 по 4.

Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n, т.е. размещения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.

- число перестановок.

Примеры:

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что они должны состоять из различных цифр?

Решение: Имеем перестановки из 5 элементов.

2. Сколькими способами можно собрать 6 разноцветных лоскутков в пеструю ленту?

Решение: Имеем перестановки из 6 элементов. 

Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые содержат по m элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.

 -число сочетаний из n по m 

Элементы каждого из n сочетаний можно расставить m способами. Тогда

Примеры:

1. Если в полуфинале первенства по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то сколькими способам и можно определить эту тройку?

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки, вышедшие в финал, являются сочетаниями из 20 по 3.

2. Сколькими способами можно выбрать трех делегатов из десяти человек на конференцию?

Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки делегатов являются сочетаниями из 10 по 3.

Конспект:

Задачи для решения на закрепление нового материала

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального            

                      забега на 5-ти беговых дорожках?  

Задача № 2. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести                

                       девушек на танец?

Задача №3. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3  

                     человек?

Задача № 4. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов  

                       распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Задача № 5. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

                       зеленый шарики?

Задача № 6. Учащимся  дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

                      время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Задача № 7.  На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из  

                       10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них  

                        побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Задача № 8. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,        

                      6, 7, 8, 9  при условии, что в записи числа каждая цифра используется только                

                      один раз?