Конспект урока по теме: Комбинаторика"
план-конспект урока
Предварительный просмотр:
Комбинаторика и ее возникновение.
Комбинаторика- это область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному множеству.
Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев тогдашнего общества большое место занимали азартные игры (карты, кости). Широко были распространены лотереи. Первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр: сколькими способами можно получить данное число очков, бросая 2 или 3 кости или сколькими способами можно получить 2-ух королей в некоторой карточной игре. Эти и другие проблемы азартных игр являлись движущей силой в развитии комбинаторики и далее в развитии теории вероятностей.
Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицы (числа способов выпадения k очков на r костях). Однако, он не учел, одна и та же сумма очков может выпасть различными способами, поэтому его таблицы содержали большое количество ошибок.
Теоретическое исследование вопросов комбинаторики предприняли в XVII веке французские математики Блез Паскаль и Ферма. Исходным пунктом их исследований были так же проблемы азартных игр.
Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Я. Бернулли, Г. Лейбница, Л. Эйлера. Однако, и в их работах основную роль играли приложения к различным играм.
Сегодня комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний, для составления планов производства и реализации продукции и т.д.
Генеральная совокупность без повторений и выборки без повторений.
Генеральная совокупность без повторений- это набор некоторого конечного числа различных элементов a1, a2, a3, ..., an.
Пример: Набор из n разноцветных лоскутков.
Выборкой объема k (k n) называется группа из m элементов данной генеральной совокупности.
Пример: Пестрая лента, сшитая из m разноцветных лоскутков, выбранных из данных n.
Размещениями из n элементов по k называются такие выборки, которые содержат по kэлементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
- число размещений из n по k.
Число размещений из n по k можно определить следующим способом: первый объект выборки можно выбрать n способами, далее второй объект можно выбрать n-1 способом и т.д.
Преобразовав данную формулу, имеем:
Следует помнить, что 0!=1.
Примеры:
- В первой группе класса А первенства по футболу участвует 17 команд. Разыгрываются медали: золото, серебро и бронза. Сколькими способами они могут быть разыграны?
Решение: Комбинации команд-победителей отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 17 по 3.
- Научное общество состоит из 25-ти человек. Необходимо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Комбинации руководящего состава общества отличаются друг от друга составом и порядком следования элементов, т.е. являются размещениями из 25 по 4.
Перестановками без повторений из n элементов называются размещения без повторений из n элементов по n, т.е. размещения отличаются друг от друга только порядком следования элементов.
- число перестановок.
Примеры:
- Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что они должны состоять из различных цифр?
Решение: Имеем перестановки из 5 элементов.
- Сколькими способами можно собрать 6 разноцветных лоскутков в пеструю ленту?
Решение: Имеем перестановки из 6 элементов.
Сочетаниями без повторений из n элементов по m называются такие выборки, которые содержат по m элементов, выбранных из числа данных n элементов генеральной совокупности без повторений, и отличаются друг от друга только составом элементов.
-число сочетаний из n по m
Элементы каждого из n сочетаний можно расставить m способами. Тогда
Примеры:
- Если в полуфинале первенства по шахматам участвует 20 человек, а в финал выходят лишь трое, то сколькими способам и можно определить эту тройку?
Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки, вышедшие в финал, являются сочетаниями из 20 по 3.
- Сколькими способами можно выбрать трех делегатов из десяти человек на конференцию?
Решение: В данном случае порядок, в котором располагается эта тройка, не существенен. Поэтому тройки делегатов являются сочетаниями из 10 по 3.
Конспект:
Задачи для решения на закрепление нового материала
Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального
забега на 5-ти беговых дорожках?
Задача № 2. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести
девушек на танец?
Задача №3. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3
человек?
Задача № 4. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов
распределения призовых (1, 2, 3) мест?
Задача № 5. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и
зеленый шарики?
Задача № 6. Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во
время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Задача № 7. На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из
10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них
побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?
Задача № 8. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только
один раз?
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/07/10/picture-95850.jpg)
Конспект урока на тему "Вводные слова"
В разработке урока используются приёмы технологии критического мышления,которые помогут ученикам: выяснить, что такое вводные слова и какова их функция в предложении;познакомиться с группами вводных с...
![](/sites/default/files/pictures/2013/04/17/picture-243963-1366189286.jpg)
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА КОНСПЕКТА УРОКА ПО ТЕМЕ: «ДИНАМИКА В КОМПОЗИЦИИ»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА КОНСПЕКТА УРОКА ПО ТЕМЕ: « ДИНАМИКА В КОМПОЗИЦИИ» основана на станковой композиции по теме " Танцуй фламенко!" , как наиболее подходящей для передачи...
![](/sites/default/files/pictures/2014/11/11/picture-524119-1415730254.jpg)
Методическая разработка. Раздел: Волейбол. Конспект урока по теме урока: техника приема и передач мяча.
Раздел программы: волейбол.Тема урока: техника приема и передач мяча.Цель урока: повысить двигательную активность обучающихся с помощью игры волейбол.Задачи урока:совершенствование техники прием...
Открытый урок по теме: "Комбинаторика"
Разработка открытого урока по математике по теме: "Комбинаторика" для студентов 1-ого курса специальности 21.02.01 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений....
Презентация к открытому уроку по теме: "Комбинаторика"
Презентация к открытому уроку по теме: "Комбинаторика" для студентов 1-ого специальности 21.02.01 Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений....
![](/sites/default/files/pictures/2018/03/22/picture-1023798-1521714489.jpg)
Конспект урока по теме "Темы и мотивы лирики в творчестве М.Цветаевой"
В данном методическом материале приведен план-конспекр урока с применением технологии развивающего обучения....
Конспект урока по теме Освоение лексического минимума, выполнение упражнений по теме "Источники права"
Данное занятие разработано по стандартам ФГОС. Особенность занятия: использование активныех и интерактивных методов, приемов Mind Map и Brain Storming. Итогом занятия является усвоение студентиами нов...