Открытый урок по теме: "Комбинаторика"
план-конспект урока по теме

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ЛНТ (филиал) ФГБОУ ВПО «ЮГУ»

«Математические олимпийские игры»

по теме «Комбинаторика»

(1 курс)

Преподаватель математики :

Гимаметдинова Г.Ш

Тип урока – урок обобщения и систематизация знаний в форме дидактической игры «Математические ОЛИМПИЙСКМЕ ИГРЫ». 

Цели урока:

• обучающие – повторить и закрепить изученный материал по теме «Комбинаторика» в процессе решения задач;  познакомить с историческими задачами, в которых применяются элементы комбинаторики; рассмотреть применения формул комбинаторики  в решениях конкретных практических задач; проверка знаний .
• развивающие – развивать внимание, зрительную память, логическое мышление, интуицию, умение устанавливать причинно-следственные связи на межпредметной основе, математическую  речь, смекалку, умение самопроверять и анализировать свои ошибки.
• воспитательные – воспитывать дисциплинированность,  любовь к родине,  высокую  работоспособность и организованность, умения проводить оценку и самооценку знаний и умений, уважение друг к другу, осознанные  мотивы учения и положительное отношение к знаниям, развивать коммуникативные компетенции.

Время реализации занятия– 90 минут

Оборудование и материалы для урока: мультимедийное оборудование, презентация для сопровождения урока.

Структура урока :

 Целесообразность использования презентации на занятии продиктована    следующими факторами:

1. интенсификацией учебно-воспитательного процесса:

• улучшением  наглядности изучаемого материала,
• увеличением количества предлагаемой информации,
• уменьшением времени подачи материала;

2. повышением эффективности усвоения учебного материала за счет фронтальной и самостоятельной деятельности студентов.

                                   Правила проведения игры.

     За каждый правильный ответ выдается большая «олимпийская звезда», если ответ неполный (игрок получает маленькую  «олимпийскую звезду») или неверный, то предоставляется возможность заработать «олимпийскую звезду»   другому игроку.  Задания выполняются каждым студентом индивидуально, зарабатывая звезды.

     В конце игры «олимпийские звезды» обмениваются на медали:

• ЗОЛОТУЮ медаль получает игрок, получивший наибольшее количество «олимпийских звезд»;
• СЕРЕБРЯНУЮ и БРОНЗОВУЮ медали получают игроки, набравшие меньшее количество «олимпийских звезд».
• Обязательно в конце игры подводятся итоги и выставляются оценки с учетом дополнительных ответов.

Ход урока.

1. Организационный момент (Слайды 1,2,3). (3 мин.)

*Ставятся цели урока;

*Вопросы детям:

- Какое грандиозное событие состоится в феврале 2014г. в России?

          -  Символика Олимпийских игр?

          - Кто зажег олимпийский огонь?

     *Знакомство с правилами игры.

2. Актуализация прежних знаний

• Первая гонка «Математический биатлон» (10 мин.) (Слайды 4-8)

*Каждый игрок, пройдя трассу, на огневом рубеже может заработать «олимпийскую звезду», попадая «в цель», т.е. правильно ответив на вопрос задачи.

Вопросы:

1. Дайте определение комбинаторики (слайд 6)  
2. Дайте определение перестановки (слайд 7)
3.  Дайте определение факториала (слайд 8)
4.  Дайте определение размещения (слайд 9)
5.  Дайте определение сочетания (слайд 10)

6. Решите задачи:

      Задача № 1.

Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального            

  забега на 5-ти беговых дорожках?

                 Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5  = 120 способов.  

      Задача № 2. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести девушек на танец? 

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И          

                  варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,        

                  считаются разными, поэтому:

 Задача №3 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую 3  человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все  

                   возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из  7

                   человек. Искомое число способов равно 

*Победителем в биатлоне считается игрок, набравший наибольшее количество «олимпийских звезд».

• Вторая гонка «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ХОККЕЙ»    (Слайд 14-15) (7мин.)

   Студенты самостоятельно дома готовят по вопросу, которые преподаватель  проверяет заранее. Устраивается конкурс оригинальных задач и их решений. Интересные задачи предлагаются соперникам.

      * «Нападающий» (один из игроков) «бросает шайбу в ворота» – предлагает  

     свою задачу.  «Защитники» (остальные игроки) должны на него ответить по

     принципу «кто быстрее». Тот, кто оказался проворнее и сообразительнее,

     зарабатывает «олимпийскую звезду».  Если «защитники» дают

     неправильный ответ или не отвечают вообще – тогда ГОЛ, и «нападающий»

     получает «олимпийскую звезду».

3. Актуализация межпредметных связей

• Третья гонка «РЫЦАРСКИЙ ТУРНИР»

(ЭКСКУРСИЯ В ПРОШЛОЕ…) (Слайды 10-11) (15 мин.)

    * Каждый игрок может одержать победу, представив известную личность  . Став «рыцарем»   он   получает «олимпийскую звезду».                  

Представление известной личности  из прошлого.

Студент (доклад). (Слайд 11.)

Комбинаторика в различных областях жизнедеятельности человека.

Комбинаторика в литературе.

 В басне Ивана Андреевича Крылова «Квартет»: «проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка» устроили любопытный эксперимент, они исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.  

                                                     Проказница-Мартышка,

                                                                   Осёл,

                                                                   Козёл

                                                   Да косолапый Мишка

                                              Затеяли сыграть Квартет.

                                       Достали нот, баса, альта, две скрипки

                                               И сели на лужок под липки —

Пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. —

Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом, Мишенька, садись против альта,

                                    Я, прима, сяду против вторы;

Тогда пойдёт уж музыка не та:

У нас запляшут лес и горы!»

Расселись, начали Квартет;

Он всё-таки на лад нейдёт.

«Постойте ж, я сыскал секрет, —

Кричит Осёл: — мы, верно, уж поладим,

                                                             Коль рядом сядем».

Послушались Осла: уселись чинно в ряд;

А всё-таки Квартет нейдёт на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

                                                                     И споры,

                                                          Кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье:

«Пожалуй, — говорят: — возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть;

                                                            Скажи лишь, как нам сесть!» —

«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

И уши ваших понежней, —

Им отвечает Соловей: —

А вы, друзья, как ни садитесь,

Всё в музыканты не годитесь».

Мартышка, Осёл, Козёл и Мишка пересаживались, считая, что от этого зависит звучание музыки. И если бы не вмешался Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы все возможные варианты.

Зададимся вопросом: сколько существует способов, чтобы рассадить, например в один ряд, четырех музыкантов?

Число перестановок можно посчитать по формуле:

                        Р4 = n! = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 24 способа.

                                                                                                 Ответ: 24 способа.

Математика на шахматной доске и в играх.

      Профессиональный интерес математиков к шахматам проявился довольно давно и был связан с двумя направлениями: математической логикой и комбинаторикой. Первое — рассмотрение игры с точки зрения построения ее формальной модели, удобной для логического анализа на основе действующих соревновательных правил. Второе — исследование конкретных позиций или их классов в игре для достижения определенных результатов, например матовой позиции за определенное число ходов. Последнее направление породило множество изящных логико-вычислительных проблем. Некоторые из них и по сей день предлагаются на различных математических и программистских олимпиадах, а также для развлечения на досуге.

Клод Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее.

По существу компьютерные шахматы — едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.

Необыкновенно популярна головоломка - кубик Рубика, изобретенный в 1975 г. преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов. Задача поиска оптимального (по числу ходов) алгоритма сбора кубика Рубика является самой сложной и не решенной пока математической задачей. Представляет интерес также изучение группы, порожденной поворотами граней, и др. Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по алгебре, комбинаторике, программированию.

Пароли и коды в нашей жизни.

Вся наша жизнь состоит из множества разнообразных программ. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль.

В качестве кода в зависимости от рода программы могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов, поведение или действие, и так далее...

Когда мы узнаем что-то новое, развиваемся, к нам приходит жизненный опыт, он то, как раз и есть ничто иное, как набор всевозможных паролей, комбинаций. Ведь опытный человек всегда найдет лучшее решение в конкретной ситуации, потому – что он располагает большей комбинацией паролей.

Мебельная комбинаторика.

Мебельная комбинаторика позволяет рассматривать различные варианты комплектации предметов мебели и выбирать из них наилучшее, комфортнее и практичнее.

*За доклад  уч-ся получает «олимпийскую звезду».

• Четвертая гонка «ГОНКА ПРЕСЛЕДОВАНИЯ…»

 (Слайды 29-34)  (6 мин.)

*Право решать задачи  предоставляется игрокам, имеющим наименьшее количество «олимпийских звезд».

     Задача 1. Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трёх горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику, при условии, что у каждой страны свой отличный от других стран флаг? ( слайд 30.) Ответ 6.

Задача 2.  ( слайд 32.) В коридоре висят три лампочки. Сколько имеется

 различных способов освещения коридора?

Задача 3.  ( слайд 33.) Студентам дали список из 10 учебников, которые рекомендуется использовать для подготовки к экзамену. Сколькими способами студент может выбрать из них 3 книги?

Задача 4.( слайд 34.) В группе 6РЭ30  обучается
30 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

*Уч-ся, правильно решившие задачи получают «олимпийскую звезду».

4. Коррекция знаний по теме

Пятая гонка «ФИНИШНАЯ ПРЯМАЯ» (Слайды 14-15) (10 мин.)

*Каждый участник выполняет тестовую работу.

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1)        30                        2)        100                3)        120                4) 5

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1)        128                        2)        35960                3) 36                        4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1)        10                        2) 60                        3) 20                        4) 30

4. Вычислить: 6! -5!

1)        600                        2)        300                3)        1                4)  1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

1)                                2)                        3)                               4)

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

1)                                2)  0,5                        3) 0,125                        4)  

7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1)        0,02                        2)        0,00012                3) 0,0008                        4) 0,002

Вариант 2.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1)                100                2)        30                3)        5                4)     120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1)                3                2)        6                3)        2                4)     1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1)                10000                2)        60480                3)        56                4)    39450

4. Вычислите:

1)                2                2)        56                3)        30                4)  

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

1)                                2)                        3)                        4)

6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

1)         0,25                        2)                        3)  0,5                        4)  0,125

7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

1)                0,5                2)        0,4                3)        0,04                4)  0,8

                                                      Вариант 3.

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1)                24                2)        4                3)        16                4)  20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1)                30                2)        21                3)        14                4)  7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1)         22                        2)        11                3)        150                4)     110

4. Сократите дробь:

1)        1                        2)                        3)                        4)    

5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?

1)                                 2)  0,5                        3)                          4)   0,25

6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.

    1)        0,25                        2) 0, 4                        3)        0,48                4)   0,2

7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что  выбранное изделие не будет бракованным.

     1)        0,8                        2)        0,1                3)  0,015                4)  0,35

                                                      Вариант 4

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1)        5        2)        120                3)        25                4)   100

2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

1)        12650                        2)        100                3)        75                4)10000

3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.

1)                120                2)        30                3)        50                4)   60

4. Упростите выражение:

1)         0,5                        2)                        3)        n                4) n-1

5. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?

1)                                2)                       3)                           4)    

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?

1)        0,504                        2)   0,006                        3)  0,5                4)  0,3

7. Из 30 учеников спорткласса, 11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?

1)                                2)  0,5                        3)                        4)   

Ответы к тестам

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

     *Суденты, предоставившие правильные ответы  решения задач получают «олимпийскую звезду».

5. Подведение итогов (4 мин.) (Слайды 16-17) 

У игроков подсчитываются «олимпийские звезды», ведется обсуждение интересных ответов, «олимпийские звезды» обмениваются на  медали, выбираются лучшие игроки, выставляются оценки и вручаются «сладкие медали» и грамоты.

Медали и грамоты вручает Глава Олимпийского комитета … (выбранный учитель или родитель).

Очень надеемся, что наши российские спортсмены выступят достойно на Олимпиаде в Сочи и займут 1 место по количеству завоеванных медалей!

                                Список использованной литературы

1. М.И. Башмаков. Математика. Сборник задач 10 класс. – М.: Академия, 2008. – 272с.
2. Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. – М.: Высшая школа, 2002. – 495с.
3. В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова. Математика. – Ростов – на – Дону: Феникс, 2008. – 380с.
4. Е.В. Филимонова. Математика. Ростов – на – Дону: Феникс, 2008. – 414с.

5. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике (1 часть). –

М.: Айрис  Пресс, 2003. – 288с.

6. Д.Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике (2 часть). – М.: Айрис  Пресс, 2003. – 256с.

Т.Н. Видеман, Е.В. Алтухова, Н.И. Мазурова, С.С. Бакулевская, Н.А. Докучаева. Математика. 10 – 11 классы: рефераты. – В.: Учитель, 2009. – 287с

7  . Интернет-ресурсы.

                              Приложения

                                            «Олимпийские звезды»

Задачи для решения на закрепление

Задача № 1. Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального            

                      забега на 5-ти беговых дорожках?  

Решение: Р5 = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5  = 120 способов.  

Задача №2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3, если каждая      

                      цифра входит в изображение числа только один раз?

Решение: Число всех перестановок из трех элементов равно  Р3=3!, где 3!=1 * 2 * 3=6

            Значит, существует шесть трехзначных чисел, составленных из цифр 1,2,3.

Задача № 3. Сколькими способами четверо юношей могут пригласить четырех из шести                

                       девушек на танец?

Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И          

                  варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами,        

                  считаются разными, поэтому:

Задача № 4. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5,        

                      6, 7, 8, 9  при условии, что в записи числа каждая цифра используется только                

                      один раз?

Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из  

                  трех цифр, взятых из предположенных девяти цифр, причём порядок

                  расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 132)

                  и 231 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из девяти        

                  элементов по три.

                  По формуле числа размещений находим:

Ответ:  504 трехзначных чисел.

Задача №5 Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3  

                     человек?

Решение: Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, нужно рассмотреть все  

                   возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из  7

                   человек. Искомое число способов равно 

Задача № 6. В соревновании участвуют 12 команд. Сколько существует вариантов  

                       распределения призовых (1, 2, 3) мест?

Решение: А123 = 12 ∙11 ∙10 = 1320 вариантов распределения призовых мест.

                                                                Ответ: 1320 вариантов.

Задача № 7.  На соревнованиях по лёгкой атлетике нашу школу представляла команда из  

                       10 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них  

                        побежит в эстафете 4×100 м на первом, втором, третьем и четвёртом этапах?

Решение: Выбор из 10 по 4 с учётом порядка:  способов.

                                                                                   Ответ: 5040 способов.

Задача № 8. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и

                       зеленый шарики?

Решение: На первое место можно поставить любой из четырех шариков (4 способа), на

                  второе – любой из трех оставшихся (3 способа), на третье место – любой из    

                  оставшихся двух (2 способа), на четвертое место – оставшийся последний шар.

                  Всего 4 · 3 · 2 · 1 = 24 способа.

                                              Р4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.                                                                                                                                                                Ответ: 24 способа.

Задача № 9. Учащимся  дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во

                      время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?

Решение: Выбор 6 из 10 без учёта порядка:   способов.

Ответ: 210 способов.

Задача № 10. В 9  классе учатся 7 учащихся, в 10  - 9 учащихся, а в 11  - 8 учащихся. Для

                       работы на пришкольном участке надо выделить двух учащихся из 9 класса,

                       трех – из 10,  и одного – из 11 . Сколько существует способов выбора  

                       учащихся для работы на пришкольном участке?

Решение: Выбор из трёх совокупностей без учёта порядка, каждый вариант выбора из

                  первой совокупности (С72)  может сочетаться с каждым вариантом выбора из    

                  второй (С93)  ) и с каждым вариантом выбора третьей (С81)  по правилу  

                  умножения получаем:

                                                                                                 Ответ: 14 112 способов.

Задача № 11.  Девятиклассники Женя, Сережа, Коля, Наташа и  Оля побежали на  

                         перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими

                         способами подбежавшие к столу пятеро девятиклассников могут занять

                         очередь для игры в настольный теннис?

Решение: Первым в очередь мог встать любой девятиклассник, вторым – любой из

                  оставшихся троих, третьим – любой из оставшихся двоих и четвёртым –

                  девятиклассник, подбежавший предпоследним, а пятым – последний. По

                  правилу умножения у пяти  учащихся существует 5· 4⋅3⋅2⋅1=120 способов  

                  занять очередь.