Арктангенс. Решения уравнения tgx=a
учебно-методический материал

Арктангес. Решение уравнения tgx = а

Тригонометрический круг тангенса.  Линия тангенсов.

Тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника определяется так:

Решим уравнение  tgx =

Проиллюстрируем решение уравнения  на числовой окружности.

На оси тангенсов отложим отрезок, длина которого равна  и проведем через конец этого отрезка и начало координат прямую. Эта прямая пересекает еденичную окружность в двух диаметрально противоположных точках. Эти точки получены в результате поворота на углы х1 и х2.

Эти два решения можно объединить  и записать

Ответ:

Решить уравнение: tgx = -  

Ответ: +  Z

 Что же такое arctga?

Арктангенс  в переводе с латинского означает дуга и тангенс. Это обратная функция.

arctga (арктангенс a)

Определение:

 Арктангенсом любого числа a  называется такое число    ),

  тангенс которого равен а: arctga =   , если tg  и   :  

     Для любого a справедлива формула  arctg(-a) = - arctga.

Эта формула позволяет находить значения арктангенсов отрицательных чисел через значения арктангенсов положительных чисел.

Например:

arctg1 = ,   так как  tg     ;

arctg( - ) = - ;  так  как   tg(-  ) =  -   и  

arctg(-4 ) = - arctg4

arctg (- ) = -arctg = -

Рассмотрим решение уравнения tgx = a

 и выведем формулу для решения этого уравнения

       Ответ:  х =  arctga +

Все корни уравнений вида tg(х) = а для любого a можно находить по формуле             

x = arctga + , где n

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

НО при решении тригонометрических уравнений и неравенств с тангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ.

По определению tg α =  , поэтому tgx имеет смысл при условии, что                    cox  x   , где n

 Поэтому в этих точках  (А;В) тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден), а прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей.

Пример : Решить уравнение tg x = –√3.

Решение.

Применяем формулу:

x = arctg (–√3) + πk, k

Найдем значение  arctg (–√3) = –arctg √3 = - –

Подставляем: x =  - – + πk, k

Ответ:   x =  - – + πk, k

Пример:    решить уравнение    tgx=2.

Используем формулу    x=arctga+πk,k∈Z и получаем

  Ответ :            x=arctg2+πk,k∈Z.

Дома

 №№607,608,610,611, 612(1,3), параграф 35