Формулы приведения
учебно-методический материал

Формулы приведения

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл formuly_privedeniya.docx420.86 КБ

Предварительный просмотр:

Санкт-Петербургское государственное бюджетное профессиональное учреждение

«Реставрационный колледж «Кировский»

Методическая разработка по теме

«Формулы приведения»

Преподаватель: Подзорова Т И

Март 2020г

Вступление

Данная методическая разработка посвящена изучению темы «Формулы приведения»

Формулы приведения  имеют широкое практическое применение. Они позволяют упрощать выражения, находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.  В данной работе дан полный список формул, показан вывод формул с помощью формул сложения, приведены примеры их использования при решении упражнений.

Дано мнемоническое правило, которое позволяет  не запоминать каждую формулу отдельно, а запомнить сам принцип преобразований.

Формулы приведения

Формулы ,позволяющие свести вычисления синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.

Формулы приведения для тригонометрических функций можно доказать с помощью формул сложения.

Например:

Применяя формулу сложения для синуса, получаем                                       =

=

Таким  образом можно доказать все  оставшиеся формулы .

Таблица формул приведения 
Формулы приведения, таблица

Формул приведения  очень много. Таблицей пользоваться не всегда удобно.

Запомнить их трудно, да в этом нет необходимости. Достаточно запомнить одно правило:

1. Если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида π+t, πt,2π+t, 2πt, то наименование тригонометрической функции следует сохранить;

 

2. если под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится сумма аргументов вида +t,t, +t, t, то наименование тригонометрической функции следует изменить (на кофункцию  :      

3. перед полученной функцией от аргумента t надо поставить тот знак, который имела бы преобразуемая функция при условии, что 0<t<π2.

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для cos()=....

С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверть?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что

– угол от 0 до π2, т.е. лежит в пределах 0°…90 (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол ?

Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей   повернуть в отрицательную сторону на угол a

. как определяется знак у формул приведения

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоять  минус:        cos()=.- 

Менять ли функцию на кофункцию или оставить прежней?

Здесь правило еще проще:

- если «точка привязки»    (90 или       (270)

– функция меняется на кофункцию;
- если «точка привязки»
 π  (180 )    или  2   (360)

– функция остается той же.

То есть, при аргументах исходной функции +,  −, +

 или , мы должны поменять функцию, а при аргументах π+, π−, 2π+ или 2π− -  нет

. Для того, чтоб это легче запомнить, вы можете воспользоваться мнемоническим правилом, которое в школе называют «лошадиным правилом»:

Точки, обозначающие      (90 или    (270)

 расположены вертикально, и если вы переводите взгляд с одной на другую и назад, вы киваете головой, как бы говоря «да

меняется ли функция в формулах приведения

Точки же, обозначающие  π  (180 )    или  2   (360) расположены горизонтально, и если вы переводите взгляд между ними, вы мотаете головой, как бы говоря «нет». меняется ли функция в формулах приведения 

 Эти «да» и «нет» - и есть ответ на вопрос: «меняется ли функция?».
Таким образом, согласно правилу, в нашем примере выше
cos(3π2−a)=...

косинус будет меняться на синус. В конечном итоге получаем,  cos()= −sin a

. Примеры с формулами приведения

Пример:      уво        Преобразуем cos(+).

Наименование функции изменяется на sin. Далее из того, что  0<<, следует, что +— аргумент из второй четверти, а в ней преобразуемая функция косинус имеет знак «минус». Этот знак надо поставить перед полученной функцией. Таким образом,       cos(+)= -

Пример .        Угол 120 лежит во второй четверти,значит в качестве «точки привязки» можем взять либо 180, либо 90

I способ: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/503871/img13.gif

II способ: https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/503871/img14.gif

Решение упражнений

vb

https://urok.1sept.ru/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/503871/img15.gif

Зачем нужны формулы приведения? Ну, например, они позволяют упрощать выражения или находить значения некоторых тригонометрических выражений без использования калькулятора.

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения                  18cos41: sin49

Решение: 

18cos41sin49=

Углы 41и 49 нестандартные, поэтому «в лоб» без калькулятора вычислить непросто. Однако, используя формулы приведения, мы легко найдем правильный ответ.
Прежде всего, обратите внимание на один  важный момент:
49=90−41. Поэтому мы можем заменить на 49 на 90−41

.

=18cos41sin(90−41)=

 

Теперь применим к синусу формулу приведения:

  • 90−41

  – это первая четверть, синус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

  • 90- находится на «вертикали» - функция меняется на кофункцию.

sin(90−41)=cos41

=18cos41cos41=

 

=18

Ответ:  18

Пример.     Вычислите при помощи формул приведения а) sin600, б) tg480, в) cos330, г) sin240

.Решение: а) sin600=sin(360+240)=-=−

б) tg480=tg(360+120)=tg120==

в) cos330=cos(360−30)=cos30=

г) sin24=sin(270−30)=−cos30=−

Задача  Упростить выражение:

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40300/8795c440_f3b4_0130_87ab_12313d0128c8.png

Решение:

1) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40302/88e07ba0_f3b4_0130_87ad_12313d0128c8.png

2) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40304/8a099d70_f3b4_0130_87af_12313d0128c8.png

3) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40306/8b45df00_f3b4_0130_87b1_12313d0128c8.png

4) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40308/8c6151f0_f3b4_0130_87b3_12313d0128c8.pnged

5) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40310/8d754330_f3b4_0130_87b5_12313d0128c8.png

6) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40312/8e906720_f3b4_0130_87b7_12313d0128c8.png

7) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40314/8fbabbe0_f3b4_0130_87b9_12313d0128c8.png

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40316/90e49d00_f3b4_0130_87bb_12313d0128c8.png

Ответ: 1.

 Вычислить https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40318/92178460_f3b4_0130_87bd_12313d0128c8.png

Решение:

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40320/933491a0_f3b4_0130_87bf_12313d0128c8.png

1. https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40322/94fa26b0_f3b4_0130_87c1_12313d0128c8.png

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40324/968b1eb0_f3b4_0130_87c3_12313d0128c8.png

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40326/983f0d50_f3b4_0130_87c5_12313d0128c8.png

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40328/996d04d0_f3b4_0130_87c7_12313d0128c8.png

3. https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40330/9aa1be70_f3b4_0130_87c9_12313d0128c8.png

Ответ: https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40332/9bcace90_f3b4_0130_87cb_12313d0128c8.png

  Решить уравнение: https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40334/9cfcda00_f3b4_0130_87cd_12313d0128c8.png

Решение:

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40336/9e149040_f3b4_0130_87cf_12313d0128c8.png

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40338/9f72fd70_f3b4_0130_87d1_12313d0128c8.png

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40340/a0a2a190_f3b4_0130_87d3_12313d0128c8.png

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40342/a1cabc90_f3b4_0130_87d5_12313d0128c8.png

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40344/a2f67a50_f3b4_0130_87d7_12313d0128c8.png

https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40346/a426c4b0_f3b4_0130_87d9_12313d0128c8.png

Задача 6. Решите уравнение: https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40348/a551fde0_f3b4_0130_87db_12313d0128c8.png

Решение:

1) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40350/a6855c90_f3b4_0130_87dd_12313d0128c8.png

2) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40352/a7ab1af0_f3b4_0130_87df_12313d0128c8.png

3) https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40354/a9558dc0_f3b4_0130_87e1_12313d0128c8.png при любом действительном https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40356/aa839050_f3b4_0130_87e3_12313d0128c8.png

Ответ: https://static-interneturok.cdnvideo.ru/content/konspekt_image/40358/abb26480_f3b4_0130_87e5_12313d0128c8.png

Самостоятельная работа    

1)№№525, 526,527- учебник алгебры Алимова

2) «Учи.ру»- Карточки по теме «Формулы приведения

рмулы сложения углов:

Sin (\alpha + \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)+Cos(\alpha)Sin(\beta)

Sin (\alpha - \beta)=Sin(\alpha)Cos(\beta)-Cos(\alpha)Sin(\beta)

Cos (\alpha + \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)-Sin(\alpha)Sin(\beta)

Cos (\alpha - \beta)=Cos(\alpha)Cos(\beta)+Sin(\alpha)Sin(\beta)

Формулы двойного угла:

Sin2x=2SinxCosx

Cos2x=Cos^2x-Sin^2x=1-2Sin^2x=2Cos^2x-1

1+Cos2x=2Cos^2x ,  Cos^2x=\dfrac{1+Cos2x}{2}

1-Cosx2x=2Sin^2x ,  Sin^2x= \dfrac{1-Cos2x}{2}

tg2x=\dfrac{2tgx}{1-tg^2x}

ctg2x=\dfrac{ctg^2x-1}{2ctgx}

Формулы сложения тригонометрических функций:

Sin\alpha+Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)

Sin\alpha-Sin\beta=2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)

Cos\alpha+Cos\beta=2Cos\left (\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)Cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)

Cos\alpha-Cos\beta=-2Sin\left (\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)Sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)

Простейшие тригонометрические уравнения:

1) Уравнения вида Sinx=a

простейшее тригоном уравнение с синусом_Уравнения вида Sinx=a,
a \in [-1;1]
Частные формулы:

x_1=arcSin(a)+2\pi n
x_2=\pi - arcSin(a)+2\pi n
где
n \in Z
Общая формула:
x=(-1)^n arcsin(a) + \pi n ,
где
n \in Z
Удобные случаи

2) Уравнения вида Cosx=a

простейшее тригоном уравнение с косинусомУравнения вида Cosx=a ,
a \in [-1;1]
Частные формулы:
x_1=arccos(a)+2\pi n
x_2= - arccos(a)+2\pi n
где
n \in Z
Общая формула:
x=\pm arccosa+2\pi n,
где
n \in Z
Удобные случаи 

1) Уравнения вида tgx=a

простейшее тригонометрическое уравнение с тангенсомУравнения вида
tgx=a,
a \in (- \infty; + \infty )
Частные формулы:

x_1=arctg(a)+2\pi n
x_2=arctg(a)+\pi+2\pi n
где
n \in Z
Общая формула:
x=arctg(a) + \pi n ,
где
n \in Z
Решение на круге. 

1) Уравнения вида ctgx=a

простейшее тригонометрическое уравнение с котангенсомУравнения вида
ctgx=a,
a \in (- \infty; + \infty )
Частные формулы:

x_1=arcctg(a)+2\pi n
x_2=arcctg(a)+\pi+2\pi n
где
n \in Z
Общая формула:
x=arcctg(a) + \pi n ,
где
n \in Z
Решение на круге. 

Линия синусов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность – нечетность

|sin t|  1

sin(–t) = –sin t

Линия косинусов

Область значений

Знаки по четвертям

Четность – нечетность

|cos t|  1

cos(–t) = cos t

Область определения

D(sin) = R

D(cos) = R

Область значений

E(sin) = [–1; 1]

E(cos) = [–1; 1]

Четность – нечетность

нечетная функция

четная функция

Периодичность

sin(x ± 2π) = sin x

cos(x ± 2π) = cos x


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект учебного занятия по теме: "Формулы приведения". Тригонометрия.

Коспект  и технологическая карта учебного занятия по теме:  "Формулы приведения" 10 класс. Тригонометрия....

Презентация учебного занятия по теме "Формулы приведения". Тригонометрия.

Презентация на открытое учебное занятие по теме: "Формулы приведения" 10 класс. Тригонометрия....

Конспект урока:"Формулы приведения"

ОТКРЫТЫЙ УРОК по дисциплине «Математика»  Преподаватель: ЛАКУНОВА Елена Александровна Дата проведения:  05.02.2013 г.Группа: 1 курс, гр. 112, спец. 080114 «Экономика и бухгалтерски...

Формулы приведения

Тригонометрия просто!...

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ ДИСЦИПЛИНА: МАТЕМАТИКА ТЕМА «Формулы приведения»

Данная методическая разработка представляет собой конспект занятия по дисциплине «Математика» на тему «Формулы приведения », проводимого со  студентами 1 курса,ориентирова...

Формулы приведения

Материалы по математике...

Формулы приведения

Материалы по математике...