Решение уравнения sinx=a
учебно-методический материал

  Решение уравнений sin=a. Арксинус.

Синусом угла называется ордината (то есть координата по оси  ОУ)  точки на единичной окружности, соответствующей повороту на данный угол .

Положительным направлением движения по тригонометрическому кругу считается движение против часовой стрелки. Повороту на 0 градусов ( или 0 радиан) соответствует точка с координатами (1;0)

Используем  эти определения для решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Решим уравнение  

Этому уравнению удовлетворяют все такие значения угла поворота , которые соответствуют точкам окружности, ордината которых равна  

Отметим на оси ординат точку с ординатой 

 Проведем горизонтальную линию параллельно оси абсцисс до пересечения с окружностью. Мы получим две точки, лежащие на окружности и имеющие  ординату  .Эти точки соответствуют углам поворота на и радиан:

 Если мы, выйдя из точки, соответствующей углу поворота на   радиан, обойдем полный круг, то мы придем в точку, соответствующую углу поворота на    радиан и имеющую ту же ординату. То есть это  угол поворота также удовлетворяет нашему уравнению. Мы можем делать сколько угодно "холостых" оборотов, возвращаясь в ту же точку, и все эти значения углов будут удовлетворять нашему уравнению. Число "холостых" оборотов обозначим буквой k (или n). Так как мы можем совершать эти обороты как в положительном, так и в отрицательном направлении, k (или  n ) могут принимать любые целые значения, записывается это так k  - множество целых чисел.

То есть первая серия решений исходного уравнения имеет вид:

    + 2- множество целых чисел (1)

Аналогично, вторая серия решений имеет вид:

       +  2- множество целых чисел  (2)

Как вы догадались, в основе этой серии решений лежит точка окружности, соответствующая углу поворота на  .

Эти две серии решений можно  объединить в одну запись:

    х =(  +   /

Если мы в этой записи возьмем  k = 2n ( то есть четное  k), то мы получим первую серию решений.

Если мы в этой записи возьмем  k = 2n + 1 ( то есть нечетное  k ), то мы получим вторую  серию решений.

ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ:

1.  sinх = 0

Отметим на окружности точки, ордината которых равна 0:

х =

2. 

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна 1:

 х =  + 2

3.  

Отметим на окружности единственную точку, ордината которой равна -1:

Так как принято указывать значения, наиболее близкие у нулю, решение запишем так:

х = -  +2, где n

Уравнение sinx=a

Если |a|>1, то уравнение sinx=a  не имеет корней.

Например, уравнение sinx=2 не имеет корней.

Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой,  

x=arcsina+πk, k∈Z

Что же такое arcsina?

Арксинус  в переводе с латинского означает «дуга и синус». Это обратная функция.

Если  |a|≤1, то arcsina (арксинус a) — это такое число из отрезка [], синус которого равен  a.

Говоря иначе:

аrcsina = x ⇒ sinx=a,      где |a|≤1,  x∈[−].

Пример:

Найти  arcsiт

Выражение  arcsiт

показывает, что синус угла x равен   , т. е. sinx=  .

Далее просто находим точку этого синуса на числовой окружности, что и является ответом:

Точка  , находящаяся на оси y,  соответствует точке   на числовой окружности.
Значит, arcsin= 

Обрати внимание!

Если sin =, то arcsin= 

В первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором — наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.

Теорема.

 Для любого a∈[−1;1] справедлива формула arcsin(−a)=−arcsina.

  Например:    arcsin (-  ) = - arcsin  = -

 Вывод:

Если |a|>1, то уравнение sinx=a  не имеет корней.

Если |a|≤1, то корни уравнения выражаются формулой,  

x=arcsina+πk, k∈Z

Частные случаи.

Формулы:  arcsin(sin

                    sin(arcsina) = a

Например:   arcsin(sin ) =

                      sin(arcsin ) =

Примеры

1.  sin2х =1.

 Это частный случай. Если синус равен 1, то угол равен  + 2

2х =  + 2

х =  +

Ответ: х =  +

2.   2sin - = 0

2 sin =

sin

 = arcsin + πk, k∈Z

 =  + πk, k∈Z,

х =   πk, k∈Z,

Ответ:   х =   πk, k∈Z,

3.  sin(x-  ) = 0.

Это частный случай.  Синус равен нулю, если угол равен  

 В нашем случае угол равен x-  x-  =  

х =   + .      Ответ:    х =   + .

4.  sin2x = -0,3

2х =   + πk, k∈Z,

2х = 0,3+ πk, k∈Z

х= , k∈Z

Ответ:   , k∈Z

5. sin4xcos2x = cos4xsin2x

sin4xcos2x – cos4xsin2x = 0,

sin(4x – 2x) = 0,

sin2x = 0,

2x =

х =,  

Ответ:  х =,  

Дома:    параграф 34,

№№586,587,589,590,591,596

Работа на сайте «Учи.ру», тема «Арксинус»,

На сайте «Якласс» тема « Решение уравнений sinx = a»