решение тригонометрических уравнений открытый урок
план-конспект урока

Филиал ГАПОУ СО «Энгельский механико-технологический техникум»

Открытый урок на тему:

Подготовила и провела

учитель математики

Дадатченко Т.А.

2022г.

П. Степное.

Цели урока:

• Обучающие:

• обобщение  и систематизация знаний и способов действий;
• проверка, оценка и коррекция знаний и способов действий;
• обучение самоконтролю, быстрому переключению с одного типа заданий на другой;
• повторить основные теоретические сведения по тригонометрии;
• повторить формулы тригонометрии, методы преобразования выражений;

• Развивающие:

• развитие самостоятельности, внимательности;
• формирование умения выбирать оптимальную стратегию при решении конкретной задачи и работы в целом;
• развитие умения аргументировано участвовать в обсуждении решений;

• Воспитательные:

• формирование культуры математической речи;
• содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности;
• воспитание коммуникативной и информативной культуры учащихся.

Тип урока: комбинированный урок

Вид урока: урок рефлексии

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная.

Методы обучения:    частично-поисковый,   системные обобщения,   самопроверка, взаимопроверка

Оборудование: 

• интерактивная доска,
• мультимедийный проектор,
• компьютер,
• бланки для записи ответов,
• таблицы,

К уроку подготовлена презентация. С ее помощью проводится устная работа, повторение ранее изученного материала, рассматриваются различные виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

План урока:

1. Организационная работа на уроке (3 мин.),
2. Актуализация опорных знаний ( 2 мин)
3. Подготовка учащихся  к усвоению нового материала ( 8 мин)
4. Создание проблемной ситуации( 1 мин)
5. Изучение нового материала( 8 мин)
6. Проверка понимания нового материала(3 ми
7. н)
8. Закрепление ( 7 мин)  
9. Проверка усвоения нового материала( 7 мин)
10. Домашнее задание ( 3 мин)
11. Итог урока. Рефлексия.(3 мин).  

Ход урока:

Слайд 2Какое слово начинается с трёх букв «Г» и заканчивается тремя буквами «Я»?
(Тригонометрия)

Слайд 3 «Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий,
и путь опыта – это путь самый горький»
Конфуций

Сегодня от вас потребуется: и умение размышлять (при выполнении каждого задания), и умение подражать (точное знание формул и их применение), и опыт (навык преобразования тригонометрических выражений). И я надеюсь, что все эти пути действительно приведут вас к знаниям, которые позволят вам в будущем успешно сдать экзамены и поступить в ВУЗы

Слайд 4 Тема нашего урока "Решение тригонометрических уравнений".

Слайд 5 Сегодня мы повторим формулы, вспомним способы решения тригонометрических уравнений .

И ещё: именно тригонометрические задания вызывают затруднения при сдаче экзаменов, такой вывод сделала комиссия, которая производила анализ ошибок по ЕГЭ.                                                                                                                                     Слайд 6  Тригонометрия, как и любая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человека. Различные задачи астрономии, мореплавания, землемерия, архитектуры привели к необходимости разработки способа вычисления элементов геометрических фигур, по известным значениям других их элементов, найденных путем непосредственных измерений.

     Само название «тригонометрия» греческого  происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: (тригонон) – треугольник, (метрейн) – измерение.

     Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во II веке до н.э. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц.

Слайд 7 2.Актуализация опорных знаний    Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами. И мы с вами выучили формулы простейших  тригонометрических уравнений Сейчас проверка  этих формул

     Устный опрос 2 мин

 Слайд 8 3      Подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала( 8 мин)

Возьмите таблицу, которая лежит перед вами

      Перед вами уравнения:     слайд 9 

В течение одной  минуты распределите уравнения по известным вам методам (алгоритмам) решения, результат занесите в таблицу  (в таблицу занести цифру  под которой стоит уравнение):

1) 2sinx cos 5x – cos 5x =0;

2) sin (π+x)=0

3)  3tg 2 x  + 2tg  x  - 1=0

4) 2 cos2 x + 9cos x +14=0;                          

5) sin 2х = -1   

6) 2sinx – 3cosx = 0

7)  cos 3x = 0;

8) cos (х – π/4) = ½;

 9) sin (x/2+ π /3)= -1/2.

10)  3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0                  

11)√3tg2x + 1 = 0

12)  3cos2x – sinx – 1 =0

13) 2cos(π/3 + 3x) – √3 = 0

У вас должна появиться  от такая таблица  слайд 10

Вспомним решения 1),12),11)

Слайд 11

1. 2sinx cos 5x – cos 5x =0;

Cos5x( 2sinx – 1) =0?

Cosx=0  или  2sinx-1 =0?

Cosx=0      x= π/2  + πk, k Z

2sinx -1 =0,    

2sinx = 1, sinx =1/2

         x = (– 1)n arcsin(1/2) + πn, n € Z  ,

         x = (– 1)n π/6 + πn, n € Z .

         Ответ:  π/2  + πk, k Z,

                      (– 1)n π/6 + πn, n € Z .

 Слайд 12 

11)  tg2x + 1 = 0

    tg2x  = – 1

    tg2x = – 1/

    2x = arctg (– 1/) + πn, n € Z

    2x = – π/6 + πn, n € Z

     x = – π/12 + πn/2, n € Z

Ответ:   – π/12 + πn/2, n € Z

 Слайд 13

12)  3cos2x – sinx – 1 =0

    3 (1 – sin2x) – sinx –1 = 0

    3 – 3 sin2x – sinx –1 = 0

    – 3 sin2x – sinx + 2 = 0

     3 sin2x + sinx – 2 = 0

Пусть sinx = y

3y2 + y – 2 = 0           D = b2 – 4ac = 1 – 4∙3∙(–2) = 25

y1,2 = (– 1 ± 5)/6 = 2/3; – 1

      sinx = 2/3                                        или                          sinx = – 1

     x = (– 1)n arcsin(2/3) + πn, n € Z                                       x =  – π/2+ 2πk, k € Z 

Ответ:   (– 1)n arcsin(2/3) + πn; x =  – π/2+ 2πk,  n, k € Z

 Слайд 14      4. Создание проблемной ситуации 1 мин

Задача: с помощью создания проблемной ситуации подвести учащихся к новому виду тригонометрических уравнений

2sinx – 3cosx = 0

3sin2x – 4sinx cosx + cos2x = 0

слайд 15    5. Изучение нового материала 8 мин

Задача: дать учащимся понятие однородных тригонометрических уравнений, разобрать способ их решения, добиться умения определять вид однородных тригонометрических уравнений, отработать навыки их решений.

Учитель называет вид уравнений, оставшихся на магнитной доске:

 «Это однородные тригонометрические уравнения», и предлагает учащимся записать тему урока:

Слайд 16 «Решение однородных тригонометрических уравнений».

  определение однородных тригонометрических уравнений вида:

 слайд 17   asinx + bcosx = 0,  a,b ≠ 0 и

 слайд 18   asin2x + bsinxcosx +  kcos2x = 0,  a,b,k ≠ 0

                                        слайд 19     Рассмотрим решение уравнения:

                                     6)  2sinx – 3cosx = 0,  cosx  ≠ 0

                                          2tgx – 3 = 0

                                           2tgx = 3

                                            tgx = 1,5

                                        x = arctg1,5 + πn, n € Z

                                   Ответ:  arctg1,5 + πn, n € Z          

 Слайд 20  10 ) 3sin2x – 4sinxcosx + cos2x = 0

Учитель с помощью вопросов подключает учащихся к работе.

Вопрос учителя: Проверяем, каждый ли член уравнения имеет одну и ту же степень?

Ответ: Да, каждый.

Вопрос учителя: Какой мы можем сделать вывод?

Ответ: Это уравнение однородное.

Вопрос учителя: Как мы решаем такое уравнение?

Ответ: Мы делим обе части уравнения на cos2x ≠ 0, т.к. sinx и cosx одновременно нулю равняться не могут.

                                               3tg2x – 4tgx + 1 = 0

Учитель предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение. Желающие выходят к доске, на местах решают в тетрадях.

Решение: пусть  tgx = y

                             3y2 – 4y + 1 = 0

                              D = 16 – 4·3·1 = 4

                               y1,2 = (4 ± 2)/6 = 1; 1/3

tgx = 1                                  или                tgx = 1/3              

x = π/4 + πn, n € Z                                      x = arctg(1/3) + πk, k € Z

Ответ:   π/4 + πn, n € Z ; arctg(1/3) + πk, k € Z

 Слайд 21    6 Проверка понимания учащимися нового материала. 3 мин

Задача: выяснить, усвоен ли учащимися способ решения уравнений нового вида.

На доске записаны уравнения.

1.      sinx = 2cosx – однородное

2.      √3sin3x – cos3x = 0 – однородное

3.      sin2x – 2sinx – 3 = 0 – квадратное

4.      2cos2x + 3sin2x + 2cosx = 0 – квадратное

5.      6sin2x – cos2x – 5sinxcosx = 0 – однородное

Учащиеся должны назвать вид уравнения и объяснить, как его можно решить.

 Слайд 22   7 . Закрепление нового материала. 7 мин

Задача: закрепить у учащихся знания и умения, которые они получили на уроке.

Учитель предлагает учащимся Решить на доске уравнения под цифрами 2 и 5. по вызову учителя двое учащихся выходят к доске.

 Слайд 23  

2) √3sin3x – cos3x = 0,

    cosx ≠ 0

    √3tg3x – 1 = 0

    √3tg3x = 1

    tg3x = 1/√3

    3x = arctg(1/√3) + πn, n € Z

    3x = π/6 + πn, n € Z

     x = π/18 + πn/3, n € Z

слайд 23                      5) 6sin2x – cos2x – 5sinxcosx = 0

     cos2x ≠ 0

     6tg2x – 1 – 5tgx = 0

     Пусть tg x = y

     6y2 – 1 – y = 0

     D = 25 – 4·6· (–1) = 49

     y1,2 = (5 ± 7)/12 = 1; –1/6

                       tgx = 1                              или                     tgx = –1/6

             x = π/4 + πn, n € Z                                      x = arctg(–1/6) + πk, k € Z

Ответ: π/4 + πn; arctg(–1/6) + πk, n,k € Z

 Слайд 24        8 Проверка усвоения нового материала.7 мин

 Задача: проверить знания учащихся при решении уравнений, стимулировать учащихся к самоанализу, самоконтролю  

Самостоятельная работа

По истечении времени учитель предлагает учащимся поменяться работами друг друга, проверить и оценить их, записать на листках фамилию проверяющего.

 Слайд 25     9 Домашнее задание  3 мин

К сожалению, нельзя указать общего метода решения  тригонометрических   уравнений , почти каждое из них (кроме простейших) требует особого подхода.

«Мышление начинается с удивления», – заметил 2 500 лет назад Аристотель. Наш соотечественник Сухомлинский считал, что «чувство удивления – могучий источник желания знать; от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Я надеюсь, что сегодняшний наш урок прошел для вас с пользой. Думаю, научившись бороться с трудностями при решении ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ  УРАВНЕНИЙ, вы сможете преодолевать любые жизненные трудности.

И да поможет вам Математика 

  Слайд 26    X. Итог урока: 3 мин

Вопрос учителя: С каким видом уравнений познакомились?

Ответ: С однородными.

Вопрос учителя: Как решаются эти уравнения?

Ответ: Делением на cosx ≠ 0 или sinx ≠ 0

Вопрос учителя: Что имеем после деления?

Ответ: Уравнение первой или второй степени, которые мы умеем решать.

 Слайд 27    Рефлексия

 Оценки за урок      

  Слайд 28    Спасибо за урок

13 группа _____________________________________________________

Простейшее

тригонометрическое

Замена переменной

 Разложение                   на множители

???