Практическая работа "Применение интеграла"
методическая разработка

Дисциплина: Математика.

Тема урока: «Интеграл и его применение».

Порядок выполнения работы. 

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже). Написать конспект.

2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Одним из самых серьёзных средств исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах является определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа.

Геометрический смысл интеграла – площадь плоской фигуры .

Физический смысл интеграла – 1) масса неоднородного стержня с определённой плотностью, 2) перемещение точки, движущейся по прямой со скоростью за промежуток времени.

История интегрального исчисления.

Интеграл - одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в связи с необходимостью решения задач из физики, механики математики, но в первую очередь, следующих двух: определения скорости прямолинейного движения и площади фигур. История понятия интеграла уходит корнями к математикам Древней Греции и Древнего Рима. Известны работы учёного Древней Греции - Евдокса Книдского (ок.408— ок.355 до н.э.) на нахождение объёмов тел и вычисления площадей плоских фигур. Сам Архимед (287-212 до н.э.) высоко ценил результаты древних математиков. Согласно его желанию, на его могиле высечен шар, вписанный в цилиндр. Архимед показал, что объём такого шара равен двум третьим объёма цилиндра. Архимед предвосхитил многие идеи интегрального исчисления, но потребовалось более полутора тысячи лет, прежде чем эти идеи нашли четкое выражение. Большое распространение интегральное исчисление получило в XVII веке. Учёные: Г. Лейбниц (1646-1716)и И.Ньютон (1643-1727) открыли независимо друг от друга и практически одновременно формулу, названную в последствии формулой Ньютона - Лейбница, которой мы пользуемся. То, что математическую формулу вывели философ и физик никого не удивляет, ведь математика—язык, на котором говорит сама природа. Применение интеграла.

1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПУТИ, ПРОЙДЕННОГО ТОЧКОЙ

1. Скорость движения точки  м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

Решение: согласно условию, . Следовательно, 

2. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью  м/с, второе — со скоростью v = (4t+5) м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 5 с?

Решение: очевидно, что искомая величина есть разность расстояний, пройденных первым и вторым телом за 5 с:

3. Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью и = (39,2—9,8^) м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение: тело достигнет наибольшей высоты подъема в такой момент времени t, когда v = 0, т.е. 39,2—9,8t = 0, откуда I = 4 с. По формуле (1) на ходим

2. ВЫЧИСЛЕНИЕ РАБОТЫ СИЛЫ

Работа, произведенная переменной силой f(х) при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х=b, находится по формуле При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Г у к а: F=kx, (3) где F — сила Н; х—абсолютное удлинение пружины, м, вызванное силой F, а k —коэффициент пропорциональности, Н/м.

Пример:

1. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее от 0,22 до 0,32 м?

Решение: используя равенство (3), имеем 50=0,01k, т. е. kК = 5000 Н/м. Находим пределы интегрирования: а = 0,22 — 0,2 = 0,02 (м), b=0,32— 0,2 = 0,12(м). Теперь по формуле (2) получим

Самостоятельная работа.

Задача 1.

Вычислите массу участка стержня от , если его линейная плотность задается формулой 

Задача 2

Вычислите количество электричества, протекшего по проводнику за промежуток времени [ 2;3 ], если сила тока задается формулой