Применение определённого интеграла для вычисления площадей и объёмов тел
методическая разработка по теме

Министерство образования Российской Федерации

Государственное учреждение

Среднего профессионального образования-

ПЕТРОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ

Л.И. Файвушкина

Алгебра и начала анализа.

Методическое пособие по изучению теоретического

материала и руководство к практическим занятиям.

Санкт-Петербург

2012

Введение

Методическое пособие рассчитано на студентов для самостоятельного изучения курса «Алгебра и начала анализа» по теме «Определенный интеграл и его применение в математике, физике». Первая часть пособия содержит необходимый теоретический материал для выполнения представленных заданий. Материал дан концентрированно, логично, без многословных ссылок, что дает возможность студенту самостоятельно пользоваться данной работой и использовать ее в процессе самообразования.

Все упражнения данного пособия составлены в порядке возрастающей трудности, подобранны разноуровневые задачи:

1. Базовый уровень – минимум
2. Базовый средний уровень
3. Базовый повышенный уровень
4. Повышенный уровень
5. Углубленный уровень

Большое количество разнообразных заданий с иллюстрациями способствует активизации интереса к данной теме. Данное методическое пособие дает возможность индивидуализировать работу со студентами, его можно использовать при объяснении нового материала в группах с различной подготовкой, а также оно может использоваться как пособие по самообразованию.

Тема:  «Определенный интеграл»

1. Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная снизу отрезком оси  OX, сверху – графиком непрерывной функции y=f(x), принимающей неотрицательные значения, а с боков – отрезками прямых  x=a, x=b.  

            y

        y=f(x)

        O        a        b        x

                        y        

                                                y=f(x)

        O        a        b        x

                                                 y         y=f(x)

        O        a        b        x

        y

        y=f(x)

           O           a        b        x

Площадь криволинейной трапеции.

                      y     f(b)

                            f(x+∆x)                       C 1     N1

y=f(x)                                                                          

B                f(x)                                                                  C          N

     A                      S

a        O        x    ∆x        b      x

Пусть x∈a,b.  Обозначим  SABCH за S(x).Придадим x приращение  ∆x такое, что

x+∆x≤b. Тогда S(x) получит приращение

∆S(x)=S(x+∆x)-S(x)

SMCNK<∆S< SMCN1K1

fx∆x<∆S

разделим на ∆x>0

f(x)∆x∆x<∆S∆x

fx<∆S∆x

По  теореме о пределе  промежуточной функции имеем:

lim∆x→0fx+∆x=lim∆x→0∆S∆x=lim∆x→0fx=f1x

S1x=fx;т.о.Sx- первообразная для fx
Sx=Fx+C

Если x=a;Sa=0;0=Fa+C;  C=-Fa

Если x=b;Sb=S всей трапеции

Sтрапеции= Fb+C

Sтрапеции=Fb-Fa=Sabfxdx, где F1x=fx

2. Определенный интеграл.
   Формула Ньютона- Лейбница.

Во многих задачах  надо найти  не значение какой-либо первообразной в некоторой точке, а разность этих значений в заданных точках a и b.

В самом деле: если  

∅x=Fx+C, то

∅b-0a=Fb+C-Fa+C=Fb-Fa

Таким образом, правая часть этого равенства не зависит от выбора С.

Итак, разность значений первообразной в точках a и b не зависит   от того, какую именно первообразную  функции y=f(x)  мы выбираем.

Эту разность называют определенным интегралом от функции y=fx  по отрезку [a;b] и обозначают Sabfxdx

Итак Sabfxdx=Fb-Fa

где y=Fx одна из первообразных для функции y=fx  на отрезке a;b

Разность Fb-Fa записывается в виде Fx |ab 

Fb-Fa= Fx |ab

Итак: Sab fxdx=Fb-Fa,

где F1(x)=f(x)- формула Ньютона- Лейбница.

Мы видим : Sab fxdx численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченный прямыми y=0, x=b, x=a и графиком непрерывной и неотрицательной на a;b функции y=fx.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

3. Правила нахождения определенного интеграла.

Свойства определенного интеграла.

Заметим,   что во всех этих свойствах предполагается,  что рассматриваемые функции имеют первообразные на рассматриваемых промежутках.

1° Sa bf1x+f2xdx=Sa bf1xdx+Sa bf2xdx

2° Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Sa bCfxdx=CSa bfxdx

3° Если нижний и верхний приделы поменять местами, то знак интеграла изменится
на противоположный.

Sa bfxdx=Fb-Fa=-Fa-Fb=-Sa bfxdx

4° Если точка C  лежит на отрезке a;b, то

Sa сfxdx+Sс bfxdx=Sa bfxdx

Доказательство:

Пусть F(x) – первообразная для fx, тогда

Sa сfxdx=Fc-Fa,

Sс bfxdx=Fb-Fc,

Sa bfxdx=Fb-Fa, но

Fc-Fa+Fb-Fc= Fb-Fa, отсюда следует

Sa сfxdx+Sс bfxdx=Sa bfxdx

См. чертеж:

y

        S1               S2

O        x

a                  c     b

Наглядный геометрический смысл.

Свойства аддитивности площади плоской фигуры:

S=S1+S2

5° Если a=b, то Sa afxdx=0

Sa afxdx=Fa-Fa=0

Физический смысл очевиден:

перемещение точки за нулевой промежуток времени  от t=a до t=a равно 0.

6° Функцию ∅¹=Sa xftdx

определенный интеграл с переменным верхним пределом, является одной из первообразных для fx, т.е.

∅¹x=f(x)

Доказательство:

Пусть F(t) первообразная для fx, тогда

Sa xftdx=Fx-Fa, значит

∅x=Fx-Fa, но тогда

∅1x=F1x-F1a,

∅1x=F1x-fx, ч.т.д.

Приведем свойства определенного интеграла, связанных с неравенствами:

7° Если a

Sa bfxdx≥0

Доказательство:

Пусть Fx первообразная для fx, т.е. Fx=fx

Так как по условию fx≥0 на a;b, то F1x≥0 на a;b, т.е.y=Fxвозрастает на отрезке a;b

Из возрастания этой функции следует, что Fa≤Fb значит

 Sa bfxdx=Fb-F(a)≥0

8° Если на отрезке a;b выполняется неравенство fx≤qx, то

Sa bfxdx≤Sa bgxdx

Доказательство:

По условию qx-fx≥0, тогда  по свойству 7° имеем

Sa bgx-fxdx≥0, т.е.

Sa bgxdx-Sa bfx≥0,

Следовательно

Sa bfxdx≤Sa bgxdx

Геометрический смысл.

S1 < S2 

        y

        y=g(x)

        S2           y=f(x)

        O                S1        x

        a                   b  

9° Если на отрезке a;bвыполняется неравенство m≤fx≤M, то Ma-b≤Sabfxdx≤Mb-a

Доказательство:

Из свойства 8° следует

Sabmdx≤Sabfxdx≤SabMdx,

но Sabmdx=mSabdx=mb-a

SabMdx=MSabdx=Mb-a, т.о

Mb-a≤Sabfxdx≤Mb-a

Геометрический смысл.

        y

        A

        B

                    O                                                 x

        a        b

m (b – a)  - это площадь прямоугольника, целиком содержащегося внутри криволинейной трапеции aABb.

M (b – a) – это площадь прямоугольника, содержащего внутри себя трапецию aABb, т.о. это неравенство выражает соотношение между площадями трех фигур: двух прямоугольников и криволинейной трапеции.

10° Теорема о среднем значении.

Если функция y=fx непрерывна на отрезке a;b, то внутри отрезка существует такая точка  C, что

Sabfxdx=fcb-a

Доказательство:

Пусть m и M – наименьшее и наибольшее  значение непрерывной функции y=fx  на  отрезке a;b, тогда  согласно свойству 9° выполняется неравенство:

Mb-a≤Sabfxdx≤Mb-a

m≤Sabfxdxb-a≤M

Пусть  Sabfxdxb-a=α

тогда m≤α≤M

По теореме о промежуточном значении непрерывной функции (если функция  y=fx непрерывна на отрезке a;b, то она принимает на этом отрезке любое значение  M, лежащее между fa и fb, т.е. существует такая точка C,
a < c < b, что fc=M) имеем: на отрезке a;b существует такая точка C, что fc=L, т.е что fc=Sabfxdxb-a⇒Sabfxdx=fcb-a, ч.т.д.

Упражнения.

1.Базовый - минимум:

Вычислить:

а) S23(2x-1)3dx           б) S1ee1xdx

Указания:

а) не забудь разделить на 2;

б) S1xdx=lnx

2. Базовый – средний уровень:

Вычислить:

а) S181+x2+xxdx                б) Sπ4π3cos2x dx

Указания:

а) 1+x2+xx=1x+x+x-12

    Sxddx=xL+1L+1+C, где L≠-1

б) применим формулу понижения степени:

 cos2x=1+cos2x2

Решение:

а) S181x+x+1xdx=lnx+x22+x |18=ln8+32+42--0+12+2= =ln8+42+29,5

Ответ: ln8+42+29,5

б) Sπ4π3cos2x dx=Sπ4π31+cos2x2dx=12x+sin2x2 |π4π3=12π3+sin23π2--π4+sinπ22=12π3+34-π4-12=124π+38-14

Ответ: 124π+38-14

3. Базовый – повышенный уровень:

Вычислить:

а) Sπ4π3cosx cos2x-sinx sin2xdx     б) S-22(  x+1  +  x-1  )dx

Указания:

а) cosx cos2x-sinx sin2x=cos3x

Scos3xdx=sin3x3 (не забудь разделить на 3)

        y

б)                                    4

                                    3

                                                  2

                             S1                  S2         S3

                         -2        -1         0        1          2        x

Рассмотрим промежутки:

 -2≤x<-1-2x                  

 -1≤x<12                  

 1≤x≤22x            

S-2-1-2xdx+S-112dx+S122xdx=-x2|-2-1+2x |-11+x2 |12==-1+4+2+2+4-1=10

Ответ: S-22(  x+1  +  x-1 )dx=10

Эту задачу можно решить иначе:

S1=2+42-1=3=S₃

S₂=4

S=S1+S2+S3=10 кв.ед.

4. Повышенный уровень:

Вычислить:

S01x2dx2+4-x2

Указания:

Умножать числитель и знаменатель на 2-4-x2

S014-x2dx

4-x2=y≥0               x2+y2=4

-2≤x≤2

        y

                                                                         2      

                                                                                  K

ОК=2                                            -2                0      1      2                    

⦟К=30°                                                             

   -2

Вычислить:

S01dx1+2x+1

Указания:

Замена  переменной:

2x+1=t;   2x+1=t2;     x=t2-12

dx=tdx

Если x=0, то t=1

Если  x=4, то t=3

S03tdt1+t=S031-11+tdt=t |13-ln1+t |13=2-ln4+ln2=2-ln2

5.Углубленный уровень:

Вычислить:

а) S01xdx1-x2

Указания:

Замена переменной:

x=sint; -1

dx=cost dt

Если  x=0, то t=1

Если x=1, то t=π2

б) S0π2sint costdtcost=S0π2sin tdt=-cost |0π2=(-cosπ2)—cos0=1

Вычислить:

в) S01xl-xdx

Теория:

Интегрирование по частям.

Положим для кратности:

ux=u,  Ux=U

Известно, что duU=udU+Udu

udU=duU-Udu

Su dU=sduU-SU du

Su dU=uU-SU  du

Интегрирование с применением этой формулы называется интегрированием по частям.

S01xl-xdx=

Пусть l-xdx=dU

U= -l-x,  u=x, du=dx

=l-xx |01+S01l-xdx=-l-1-l-x |01=-l-1-l-1+1=-2l+1

Нахождение площадей фигур с помощью определенного интеграла.

Упражнения:

1. Базовый – минимум:

а) найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

y=-x2+4x и осью OX

б)найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=cosx и отрезком -π2;π2 оси OX

Указания:

а) сделай чертеж, воспользуйся формулой Ньютона-Лейбница

Sabfxdx=Fb-Fa, где F1x=fx

б) первообразная функции cosx равна sinx. Воспользуйся четностью функции y=cosx и симметричностью графика относительно OY.

Решение:

1)        4                A

                       y=-x2+4x

                                         O  0        2          B  4        x

OAB - криволинейная трапеция.

SOAB=S04-x2+4xdx=-x33+2x2 |04=-6423+32—(-0+0)=

=32-2113=1023

Ответ: SOAB=1023кв.ед.

2)                                y

                                       1   B

                 A        C

               -П2        0        П2        x

ABC- криволинейная трапеция

SABC=2S0П2cosxdx=2sinx |0П2=2sinП2-sin0=21-0=2

Ответ: SABC=2кв.ед.

2. Базовый  - средний уровень:

а) найти площадь фигуры, ограниченной  графиками функций y=5-x2  и  y=x-1

б)найти площадь  фигуры, ограниченной графиками функций y=x2+1  и  y=10

Указания:

а) воспользуйся теоремой:

если на отрезке a;b в fx≤gx, то Sabf1xdx≤Sabgxdx

б)сделай рисунок:

фигура симметрична относительно оси OY

           в)найди абсциссы точек пересечения графиков функций

y=x2+1  и  y=10

Решение:

а) 5-x2≥x-1

     x2+x-6≤0

     -3≤x≤2

Sфигуры=S-325-x2dx-S-32x-1dx=S-32-x2-x+6dx=

=-x33-x22+6x |-32=-83-42+12-273-92-18=2056

Ответ: 2056

б)

        y

                         A        10            B        y=10

                  y=x2+1

        1

        D        T        C        x

                          -3        0            3

Sфигуры=SпрямоугольникаABCD-Sкрив.трапецииDATBC=6∙10-S-33x2+1dx=

=60-x33-x |-33=609+3—9-3=60-2∙12=36

Ответ: SATB=36кв.ед.

3. Базовый повышенный уровень:

а)найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций
y=x;  y=0;  y=4-3x

б)найти площадь фигуры, заключенной между линиями y=x3,

прямыми x=-1, x=2 и осью OX

Указания:

а)найти абсциссы точек пересечения графиков функции
y=x;  y=0;  y=4-3x

При вычислении первообразной функции y=4-3x не забудь разделить на (–3), сделай рисунок

б)на (–1;0) функция y=x3отрицательна. При нахождении площади:

S=S01x3dx . Сделай рисунок

Решение:

а)                        y

y=4-3x      2                                          y=x 

        B

        0      С43   4                                   x

x=4-3x

x=4-3x

x=1

SABO=SфигурыBCA+SфигурыOBC=S01xdx+S1434-3xdx=23x32 |01+

+ 23(4-3x)32∙-13 |143=23+23∙-13∙-1=23+29=89

Ответ: SABO=89кв.ед.

б)          y        A

        x= –1                      x=2

                                              D

                   -1        0        2        x

                    B

Sфигуры=SBOC+SAСD=S02x3dx+S10x3dx=x44|02+x44|-10=4+14=

=4,25

Ответ: Sфигуры=4,25кв.ед.

4. Повышенный  уровень:

а)найти  площадь фигуры, ограниченной  графиком функции y=x2+4x+9 и касательной к  нему,  проведенными  в точке с  абсциссой   x= –3, x=0

б)найти  площадь  фигуры,  ограниченной  линиями y=1+sinx;

y=2Пx-Т2

Указания:

а)напишите уравнение касательной

y=fx0x-x0+fx0

Чтобы  написать уравнение касательной  к графику  функции , надо  знать   3   числа:

1. x0-абсцисса точки касания
2. f(x0)-ордината точки касания
3. f(x0)=K=tgL

Найдите производную данной функции, в нее, вместо  «x» подставьте  x0

Найдите координаты  касательных.

Сделайте рисунок.

б)постройте схематично графики функций:

y=1+sinx-сдвиг  графика функции y=sinx на  1  вдоль оси OY

y=2Пx-Т2

Точки   пересечения   с осями:

-x=П2                     x=0y=1

   y=0

Дополнительная точка: x=Пy=1

Решение:

а)уравнение I касательной:

f1x=2x+4,   f1x0=-6+x=-2,

fx0=9-12+9=6

y=-2x+3+6       y=-2x

б)уравнение   II касательной:

f1x=2x+4,   f1x0=4

fx0=9

y=4x+9

Пусть точка C –  точка пересечения касательных.

4x+9=-2x

xc=-1,5yc=3      

        y

                                         y=x2+4x+9      B      9  

              y=-2x        -y=4x+9

                                                       A     D                6  

                                                               C    

        K

                                                   -3        0        x

                                                            -1,5

ABC – искомая фигура.

SABC=Sкрив. трапецииKADB-S∆AKD-S∆BOC

Sкрив. трапецииKADB=S-30x2+4x+9dx=x33+2x2+9x |-30=18кв.ед.

S∆AKD=12AK∙KO=12∙3∙6=9кв.ед.

S∆BOC=12∙112∙9=634кв.ед.

SABC=18-9-634=214кв.ед.

Ответ: SABC=214кв.ед.

б)                                                                y

                                                                          B

                                                                   1        y=2П(x-П2)

         y=sinx+1                           A                                 C           

                                                                                                 E

      -2П      -32П         -П          -П2         0       П2 D           П          32П          2П              x

                    y=sinx                                               -1

ABCD – искомая фигура с осью симметрии BD.

SABCD=2SABC=2Sкрив.трапецииDBCE-S∆DEC=2SП2Пsinx+1dx-П2∙1∙12

=2-cosx+x|П2п+П4=21+П+0-П2-П4=2+П2

Ответ: SABCD=2+П2кв.ед.

5.Углубленный уровень:

а)найти площадь замкнутой фигуры, заданной на координатной плоскости неравенством y+2x≤x2+1

б)вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y=lnx и y=1l-1x-1l-1

Указания:

Сделай рисунок:

а)фигура имеет две оси симметрии: ось OX и OY

при y≥0,   y≤(x-1)2

        y≤0,   y≥-(x-1)2

б)S lnx dx - нетабличный, поэтому построй данную фигуру и симметричную ей фигуру, относительно прямой y=x.

Решение:

а)        y

                                                  B     1

                                          A            0        C          x

                                         -1                       1              

                                                   D        -1

ABCD - искомая фигура.

SABCD=4SBOC

SBOC=S01(x-1)2dx=13(x-1)3 |01=0-13(-1)3=13

SABCD=4∙13=43

Ответ: 43кв.ед.

б)                                            y

                                                 l          B        y=x

                                                 A  1                        y=lnx

                                1l-1                    0           C  1l-1            l        x

Sфигуры=SABCO-SAmBCO

SABCO=1+l2∙1=1+l2кв.ед.

SAmBCO=S01lxdx=lx |01=l-l0=l-1кв.ед.

Sфигуры=1+l2-l-1=3-l2кв.ед.

Ответ: Sфигуры=3-l2кв.ед.

Нахождение объемов тел с помощью определенного интеграла. V=SabSxdx, где Sx-площадь сечения тела плоскостью перпендикулярной оси OX и проходимой через точку M с абсциссой.

Задачи:

I.Базовый минимальный:

Фигура, ограниченная линиями  y2=4x, x=0, x=4, y=0 вращается вокруг оси OX. Найти объем полученного тела.

Указания:

Воспользуйся формулой: Vтела=П Sab y2dx

Решение:

Нижний предел 0, верхний-4

Полученное тело вращения называется параболоидом вращения.

        y

y2=4x

                                                X=0        

        0                   y=0        4        x

V=П S04 y2dx=П S044xdx=П2x2 |04=П∙2∙42=32П

Ответ: V=32Пкв.ед.

2.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением вокруг оси OX дуги синусоида от точки x=0  до x=П

        y

                                  1

                                  0        П2             П        x

                                 -1

Указания:

Воспользуйся формулой: V=П S0Пsin2x dx

sin2x=1-cos2x2

Решение:

V=П S0Пsin2x dx=ПS0П1-cos2x2dx=П12x-sin2x4 |0П=

= П12П-04=П24

Ответ: V=П24кв.ед.

II.Базовый средний:

Найти объем кругового конуса с радиусом основания r и высотой  h.

Указания:

Уравнение образующей: y=kx;k=tgl=rh

Решение:

Конус получается вращением вокруг оси OX прямоугольного треугольника OAB.

Уравнение образующей конус: y=x tgl=rhx

Vконуса=ПS0h  rhx2dx=Пr2h2 x23 |0h=Пr2h3

Ответ: Vконуса=Пr2h3кв.ед.

III.Базовый повышенный:

1.Найти объем тела, полученного при вращении парабол y=x2; y2=x

 вокруг оси OX.

Указания:

Найти точку пересечения графиков функции:

x2=x

x4=xx=0x=1

Vтела=П Sab y2 dx

Решение:

        y

        y=x2

        y2=x

        0        1        x

V=ПS01 xdx-ПS01x4dx=Пx22-x55 |01=П12-15=0,3П

Ответ: V=0,3П куб.ед.

2.Найти объем шара радиуса r

Указания:

а)поместите центр шара в начало координат

б) x2+y2=r2- уравнение окружности радиуса r с центром О (0;0)

в) y2=r2-x2

Решение:

Шар-тело, полученное вращением вокруг оси абсцисс полукруга

 y=r2-x2, построенной на отрезке [-r; r] как на диаметре.

        y

           -r        0        r        x

Следовательно:

Vшара=ПS-rrr2-x2dx=ПS-rr r2 dx-S-rr x2 dx=Пr2x-x33 |-rr=

=Пr3+r3-r33-r33=43Пr3

Ответ: Vшара=43Пr3 куб.ед.

IV.Повышенный уровень:

Эллипс вращается вокруг оси OX. Найти объем тела вращения.

x2a2+y2b2=1 –уравнение эллипса.

Указания:

y2=b2a2a2-x2

Применим формулу:

V=ПSaby2dx

Решение:

-а - нижний предел

 а – верхний предел

                           y

       -a        0        a        x

Vтела=ПS-aab2a2a2-x2dx=2Пb2a2 S0aa2-x2dx=

=2Пb2a2a2x-x33 |0a=43Пab2

Ответ: Vтела=43Пab2

Замечание:

Если эллипс вращается вокруг оси OY, то объем тела вращения будет

V=43Пab2

Найти объем полученного тела вращения.

Указания:

Полученное тело – конус. Решив задачу, проверьте формулу.

Vконуса=13Пr2h

Решение:

                               y

           3

        0        3        x

Vтела=ПS03(3-x)2dx=П(3-x)33-1 |03=П-130-27=9П        

Ответ: Vтела вращения=9Пкуб.ед.

V.Углубленный уровень:

1.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси OX кривой y=2x и прямой 4y-3x-5=0

Указания:

Найти пределы интегрирования.

3x+54=2x          x=1   x=-1

Сделай рисунок.

Решение:

        y        

                                                      y=2x 

                                        2

        12

                               -1               1        x

y=3x+54

V=Sbaf2xdx

Vтела=ПS-113x+542dx-S-1122xdx=116ПS-119x2+30x+25dx-

-12П22xln2 |-11=116П3x3+15x2+25x|-11-12П4ln2-14ln2=

=116П43+3-15+25-12П154ln2=72П-158ln2

Ответ: Vвращающегося тела=72П-158ln2

2.Объем шарового сегмента.

Теория:

Шаровой сегмент можно получить, вращая половину кругового сегмента ABC вокруг оси OX.

Задача:

Доказать: Vсегмента=ПН2R-13H

R-радиус шара

H-высота сегмента.

Указания:

Найдите площадь сечения, перпендикулярного оси OX и проходящего через точку C с абсциссой X, применив для этого теорему Пифагора.

        y

        A

        B

                                       O        P        x

        C

1)PB=H – высота сегмента, OB=R

2)P(x; o); OP=R-H

3)Из ∆OAP÷AP2=R2-x2=r2

AP2=r2(сечение)

4)V=ПSR-HR y2dx=ПSR-HRR2-x2dx=ПR2x-x33|R-HR=

=ПН2(R-13H)

Итак: Vшар сегмента= ПН2(R-13H)

Применение определенного интеграла при решения некоторых задач по физике и технике.

Пусть Sтела, движущегося со скоростью V(t) за время, прошедшее от момента t, до момента t2 вычисляется по формуле

S=St1t2Vtdt

Если материальная точка движется вдоль оси OX под действием силы F(x) , зависящей от координаты x, то работа силы по перемещению материальной

точки из «a» в «b» (b>0) вычисляется по формуле:

A=SabFxdx

Задачи:

I.Базовый минимальный:

1.Тело движется прямолинейно со скоростью V(t)=2t2-t+1(м\с)

Найти  путь, пройденный за первые 5 секунд.

Указания:

S=St1t2Vtdt

Решение:

S=St1t2 Vtdt

St=S052t2-t+1dt=2t33-t22+t |05=2503-252+5=7556

Ответ: S=7556 м

2.Найти формулу пути, падающего в пустоте, если скорость падения

U=gt м\с

Указания:

S(t)=St1t2 Vtdt

Решение:

St=St1t2 gt dt=gt22 |t1t2

Ответ: St=gt22   (g≈9,8 м\с2)

II.Базовый средний:

1.Точка движется по прямой так, что скорость в момент t равна Vt=10-0,2 tм\с. Найти путь, пройденный точкой за время от 3 до 10 секунд.

Указания:

Используй формулу:
S¹=St1t2 Vtdt

Решение:

S=S31010-0,2tdt=10t-0,2t22 |310=60,9 м.

Ответ: S=60,9 м

2. Скорость прямолинейного движущегося тела равна  Vt=4t-t2 . Вычислить путь от начала движения до остановки.

Указания:

В момент остановки тела V=0

4t-t2=0    t=0t=4

Решение:

S=S044t-t2dt=2t2-3t3 |04=32-643=323=1023

Ответ: S=1023м

III.Базовый повышенный:

1.Скорость падающего в пустоте тела определяется по формуле:

V=9,8 t м\с

Вычислить пройденный путь за первые 10 секунд падения.

Указания:

S(t)=Sab Vtdt

Решение:

St=S010 9,8t dt=9,8t22 |010=9,8∙1002=490м

Ответ: S=490м

2.Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки, если скорость его определяется по формуле:

V=6t-2t2 см\с

Указания:

в момент остановки скорость тела равна V

6t-2t2=0   t=0t=3

Решение:

S=S036t-2t2dt=3t2-2t33 |03=27-18=9см

Ответ: S=9см

IV.Повышенный уровень:

1.Два тела начинают движение одновременно из одной и той же точки: одно со скоростью V=3t2 м\с, другое со скоростью V=2t м\с. На каком расстоянии они будут через 10 секунд, если они движутся по прямой линии в одном направлении?

Указания:

S(t)=St1t2 Vtdt

Решение:

S1 =S0103t2dt=t3 |010=1000м

S2=S0102t dt=t2|010=100м

 S1-S2=900м

Ответ: S=900м

2.Сила в 1Н растягивает пружину на 3 см. Какую работу она при этом производит?

Указания:

По закону Гука сила пропорциональна растяжению пружины, т.е. сила F=K∙x, где x - величина сжатия или растяжения.

K- коэффициент пропорциональности.

F=m∙xn

A=S0l Fxdx

Решение:

Найдем K:

1= K∙0,03

K=10,03

F=10,03x

Работа равна:

A=S00,0310,03x dx=10,03x22 |00,03=0,032=0,015 Дж

Ответ: A=0,015 Дж

V.Углубленный уровень:

1.Материальная точка массы m=1 движется по прямой под действием силы, которая меняется по закону Ft=8-12t

Найдите закон движения точки x = x(t),

если в момент времени t = 0 ее координата равна 1. В какой момент времени скорость точки будет максимальной?

Указания:

Satdt=Vt+C

at=x11t

SVtdt=St+C

V(t) = x1(t)

Первая производная пути во времени прямолинейного движения есть скорость тела. Вторая производная пути во времени – ускорение.

Решение:

Согласно второму закону Ньютона m∙x11=F, у нас m=1

F=8-12t

Надо решить уравнение:

x11=8-12t

x1=S8-12tdt=8t-6t2+C1

x=S8t-6t2+C1dt=4t2-2t3+C1t+C2

x0=C2=0-по условию

V0=C1=1-по условию

xt=4t2-2t3+t

скорость максимальная, если

Vt=0

V1t=8-12t=0,  t=23C

Ответ: xt=4t2-2t3+t

t=23C

2.Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 10 см, если по закону Гука сила пропорциональна сжатию пружины и для сжатия на 1 см необходима сила в 20Н.

Указания:

по закону Гука сила сжатия

FS=K∙S,

где S(в метрах) – величина сжатия пружины

0≤S≤0,1

Найдите K:

A=S0l FSdS

Решение:

20=K∙0,01           K=2∙103Н\м

FS=2∙103∙SH

A=S0l FSdS

A=S00,1 2∙103∙SdS=2∙103S22 |00,1=10Дж

Ответ: A=10Дж

Комбинированные задачи.

II.К разделу «Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница»

1. S12x-12-xdx

Указания:

y=-x2+3x-2, где y≥0

y2=-x2+3x-2

Решение:

y=-x2+3x-2; y≥0

x-32+y2=14, y≥0

O132;0

Вычислим площадь полукруга.

Z=12

        y

                                               12

        1                   32              2        x

Sполукруга=12П14=П8

Ответ: Sполукруга=П8

2.Найдите значение a и b, при которых функцияfx=ax+b удовлетворяет условиям:

f2-f22=1 и  S01 f2xdx≤14

Указания:

Составьте систему согласно условию задачи, состоящую из уравнений и неравенства.

Решение:

f2=2a+b;   f1x=a;  f12=a

f2- f12=2a+b-a=a+b

т.о. a+b=1

S01a2x2+2ab x+b2dx=a23+ab+b2

a+b=1              a23+ab+b2≤14          b=a-1    a-322 ≤0    

a=32    b=-12

Ответ:
a=32    b=-12

3.Вычислить:

S031x2+5x+4dx

Указания:

1x2+5x+4=131x+1-1x+4

Решение:

S031x2+5x+4dx=13S031x+1-1x+4dx=13(lnx+1-lnx+4)|03

=13lnx+1x+4 |03=13ln47-ln14=13ln167

Ответ: 13ln167

IV.К разделу «Площадь криволинейной трапеции»

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций.

fx=2+sinx

gx=1+cos2x при x∈0;П

Указания:

Вычислить при каких x∈0;П

fx≥gx

Scos2x dx=S1+cos2x2dx

Решение:

2≤sinx+2≤3

1≤1+cos2x≤2⇒

При x∈0;П,   f(x)≥g(x) 

Sфигуры=S0П12+sinx-12cos2xdx=12x-cosx-14sin2x|0П=П2+2

Ответ: Sфигуры=П2+2

2.Фигура находится в правой полуплоскости и ограничена кривыми.

y=ax2  и  y=12ax2;  y=1,  y=2

При каких a≥1 площадь фигуры будет наибольшей?

Указания:

Рассмотрите функции, обратные функциям:

y=ax  и  y=12ax, т.е.

y=xa и y=2∙xa , x=1,  x=2

Решение:

        y        y=2∙xa

  C

        B        D        y=xa

                                                          A

        0        1             2                x

SABCD=S122∙xa-xadx=2-1a S12x12dx=2-1a ∙23x23|12=

=2(5-32)3a

Функция S(a) достигает наибольшего значения на конце луча [1; ∞), т.е.

при a=1

Ответ: Sнаибольшая=10-623a

3.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

y∙x=2;  x=1;  x=3

Указания:

y=±2x,  где x>0

Сделай рисунок.

Решение:

        y

                                    2                   y=2x

        0        1        3        x

        y=-2x

Sзаштрих.фигуры=2 S1 32xdx=4lnx |13=4ln3-4ln1=4ln3

Ответ: Sзаштрих.фигуры=ln81

V.К разделу «Нахождение объемов тел с помощью определенного интеграла»

1.Вычислить объем тела, образованного вращением одной арки синусоида y=sinx на промежутке [0; П] вокруг оси OX.

Указания:

V=П Sab f2xdx

sin2x=1-cos2x2

Решение:

V=П S0Пsin2x dx=П S0П1-cos2x2dx= П12x-sin2x4|0П=

=П2-0-0+0=П24

Ответ: V=П24

2.Найти объем фигуры, отсеченной от кругового цилиндра с радиусом основания 3 и высотой 10 плоскостью, проходящей через центр основания под углом 45° к плоскости основания.

Указания:

-поперечное сечение – равнобедренный прямоугольный треугольник

V=П Sab Sx dx, где

Sx-площадь сечения, перпендикулярного оси OX и проходящую через точку с абсциссой x.

Решение:

O – начало отсчета

R – радиус основания цилиндра

AB∈OX

FM⊥AB

OM=x

S∆MEF=R2-x2∙R2-x22=R2-x22

V=2 S0RR2-x22dx=R2x-x33 |0R=23R3

V=23∙33=18

        E

                C

        A        F        D        ⦟EMF=45°

                                                          M         O     

Ответ: V=18

3.Сравнить по величине

S0П4tgx dx  и  SП2П4 ctgx dx

Указания:

Сравните площади соответствующих криволинейных трапеций.

Решение:

Интеграл от неотрицательной функции есть площадь криволинейной трапеции.

        y

        y=tgx

                                          1        A        y=ctgx

        0        B        C        x

        П4                     П2

Графики y=tgx, y=ctgx

S0П4tgx=SOAB

SП2П4 ctgx=SBAC

В силу симметричности графиков площади равны.

Ответ: S0П4tgx=SП2П4 ctgx

VI.К разделу «Применение определенного интеграла при решении некоторых задач физики и техники».

1.Ускорение точки при движении по прямой в момент времени t равно t±sint. Найди координату, как функцию времени t, если в  момент времени t=0 координата равна 1 и скорость равна 1.

Указания:

Vt=Satdt

St=SVtdt

Решение:

1.Vt=S1+sintdt=t-cost+C1

по условию 1=0-cos0+C1

C1=2

2. St=St-cost+2dt=t22-sint+2t+C2

по условию C2=1

Ответ: S=t22-sint+2t+1

2.Камень брошен с земли вертикально вверх. Найти наибольшую высоту подъема камня, если скорость его V=19,6-9,8t м\с

Указания:

При достижении наибольшей высоты V=0

19,6-9,8t=0⇒t=2сек

Решение:

St=S02Vt=S0219,6-9,8tdt=19,6t-9,8t22 |02=19,6∙2-9,8∙42=

=19,6

Ответ: S=19,6 м

3.На материальную точку действует сила, которая линейно зависит от пройденного пути. В начале движения она составляет 100Н, а когда точка переместилась на 10м, сила возросла до 600Н. Найти работу, произведенную этой силой на пройденном пути.

Указания:

Из условия видно, что сила F(x) меняется по закону F(x) = ax + b. Параметры «a» и «b» находятся из условия задачи;

A=SabFxdx

Решение:

F(x) = ax + b

F(0)=100

F(10)=600

b=100                600=10a+100

b=100a=50

Т.о. F(x)=50x+100

A=S01050x+100dx=25x2100x |010=3500

Ответ: A=3500 Дж.

Список используемой литературы:

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление «Наука» 1984 год
2. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г. Производная и интеграл «Просвещение» 1976 год
3. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Сборник конкурсных задач по математике. Москва «Наука» 1983 год
4. Зайцев И.Л., Элементы высшей математики для техникумов. «Наука» 1968 год
5. Шварцбург С.И., Ивашев- Мусатов О.С. Алгебра и начала анализа Москва «Высшая школа» 1977 год

Оглавление:

1. Площадь криволинейной трапеции………………………………………………..3стр.
2. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница…………..…..5стр.
3. Правила нахождения определенного интеграла. Свойства определенного интеграла……………………………………………………………..…5стр.
4. Упражнения по теме  с  разбором и методическими  указаниями..9стр.
5. Способ интегрирования по частям…………………………………………………13стр.
6. Нахождение площадей фигур с помощью определенного интеграла. Разбор заданий различного уровня сложности……………………………..14стр.

6а) базовый минимум………………………………………………………………………14стр.

6б) базовый средний………………………………………………………………………..15стр.

6в) базовый повышенный………………………………………………………………..17стр.

6г) повышенный уровень…………………………………………………………………18стр.

6д) углубленный уровень………………………………………………………………..21стр.

7. Нахождение  объемов  тел  с помощью определенного интеграла. Разбор  заданий  различного  уровня   сложности…………………………22стр.

7а) базовый минимум……………………………………………………………………..22стр.

7б) базовый средний……………………………………………………………………….24стр.

7в) базовый повышенный……………………………………………………………….24стр.

7г) повышенный уровень………………………………………………………………..25стр.

7д) углубленный уровень………………………………………………………………..27стр.

8. Применение определенного интеграла при решении  некоторых задач по  физике и технике………………………………………………………………………..29стр.

8а) базовый минимум………………………………………………………………………29стр.

8б) базовый средний………………………………………………………………………..30стр.

8в) базовый повышенный………………………………………………………………..31стр.

8г) повышенный уровень……………………………………………………..………….31стр.

8д) углубленный  уровень………………………………………………………….…….32стр.

9. Дополнительные комбинированные задачи к разделам………………34стр.

9а) Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница……….34стр.

9б)  Площадь криволинейной трапеции………………………………………...36стр.

9в) Нахождение  объемов  тел  с помощью определенного интеграла………………………………………………………………………………………….38стр.

9г) Применение определенного  интеграла при решении  некоторых задач по физике и технике……………………………………………………41стр.