Материал для электронного учебника
опыты и эксперименты

Тема: Производная и ее геометрический и механический смысл. Правила вычисления производных.

Можно привести немало задач, для решения которых необходимо отыскивать скорость изменения некоторой функции.

Опр. 1: (производной функции в точке) Пусть задана функция , где , и пусть - некоторая точка интервала . Предел

 называется производной функции  в точке  и обозначается .

Таким образом, по определению 1,

=.                            (1)

Опр. 2: (дифференцируемости) Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой в этой точке.

Опр. 3: (дифференцирования) Операция нахождения производной от данной функции  называется дифференцированием.

Происхождение такого названия можно связать прежде всего с тем, что до перехода к пределу рассматривается отношение разностей, а разность на латинском языке обозначается словом differentia.

Опр. 4: (о дифференцируемости на интервале) Функция , где , имеющая в каждой точке интервала  производную, называется дифференцируемой на этом интервале.

Т.1: (необходимое условие существования производной) Если функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Т.2: (правила дифференцирования) Если функции  и имеют производные во всех точках интервала , то справедливы следующие свойства:

,

,

, где постоянная,

,

для любого .

Таблица производных:

1. , где с-константа.

2. , где .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

Пример №1: Найти производные функций:

а) = .

.

б) = .

=.

в)