Об упражнениях для формирования пространственных представлений
статья

Об упражнениях для формирования пространственных представлений

         Осуществление политехнической направленности — одна из основных задач обучения в средней школе. Поэтому при обучении математике, и в частности геометрии, должна проводиться целенаправленная работа по формированию таких важных в политехническом отношении качеств подготовки учащихся, как хорошо развитые пространственные представления, умение видеть в реальных ситуациях изученные теоретические положения, приводить примеры реализации теоретических положений на предметах окружающей обстановки. Так, ученик должен уметь иллюстрировать основные отношения между элементами предлагаемой ему модели (параллельность и перпендикулярность ребер многогранника, конгруэнтность граней, перпендикулярность ребра и грани и т. д.), при этом следует рассматривать модели не только правильных многогранников.

         Формированию таких представлений может способствовать надлежащим образом подобранная система упражнений. Так, например, в результате изучения теоремы о том, что одна из двух перпендикулярных плоскостей содержит перпендикуляр к другой, ученик должен представлять себе расположение этого перпендикуляра. Он должен понимать, что в прямоугольном параллелепипеде перпендикуляры к плоскости основания могут принадлежать боковым граням, а перпендикуляры к боковым граням — плоскости основания, что из условия перпендикулярности двух боковых граней пирамиды плоскости основания следует, что высота пирамиды совпадает с общим ребром этих граней.

           Анализ состояния знаний учащихся свидетельствует о том, что далеко не все усваивают этот материал. После изучения учащимися десятых классов материала о пирамиде им была предложена следующая работа.

1. вариант. В основании пирамиды лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, длина катета которого равна а. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом а. Нцйдите объем пирамиды.
2. вариант. Основанием пирамиды является правильный треугольник, длина высоты которого равна h. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья боковая грань наклонена к плоскости основания под углом р. Найдите объем пирамиды.

        Большинство писавших работу не смогли найти высоту пирамиды. 55% учащихся, выполнявших задание I варианта, и 36% учащихся, выполнявших задание II варианта, считали, что данная пирамида — правильная, хотя в условии задачи I варианта сказано, что в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, а в условии задачи II варианта говорится о том, что боковые грани образуют с плоскостью основания разные углы. У этих учащихся представление о правильной пирамиде, о различии между правильной и неправильной пирамидами не было сформировано. Это замечание относится не только к понятию пирамиды. Так, понятие параллелепипеда у учащихся чаще всего ассоциируется с прямоугольным параллелепипедом, понятие призмы — с правильной призмой, понятие высоты многогранника — с вертикалью и т. д.

         С целью предупреждения этого недостатка в знаниях учащихся необходимо систематически устанавливать связи между моделью геометрической фигуры и ее изображением. Формированию соответствующих представлений могут способствовать задания, в которых требуется указать из некоторого набора нужную модель. Например, при изучении материала о параллелепипеде можно предложить учащимся задания:

1. Из десяти моделей (среди которых есть модели призм, пирамид, конуса и шара) выбрать модели параллелепипеда.
2. Из моделей, отобранных в задании 1, выбрать модели прямых параллелепипедов.
3. Из моделей, отобранных в задании 1, выбрать модели прямоугольных параллелепипедов. Выяснить, обязательно ли модели прямоугольных параллелепипедов должны находиться среди моделей, отобранных в задании 2.
4. Построить изображение одной из моделей.

      При работе с понятиями следует обратить серьезное внимание на правильное формирование наглядных представлений о них, на умение распознавать данные понятия в конкретных ситуациях. Соответствующая система упражнений должна включать упражнения на распознавание характеристических свойств изучаемых понятий в конкретной ситуации; на формирование наглядных представлений о самом понятии; на применение изучаемого понятия к конкретным геометрическим фигурам. Например, при формировании понятий пирамиды и правильной пирамиды можно предложить учащимся упражнения:

1. Указать, какие из пирамид являются правильными:

а)        основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, а ее высота проходит через вершину этого треугольника;

б)        основанием пирамиды является правильный треугольник, а ее высота проходит через вершину этого треугольника;

в)        основанием пирамиды является правильный треугольник, а ее высота проходит через центр этого треугольника.

Объясните, почему выбранные вами пирамиды являются правильными.

2. Из данных моделей многогранников выберите те, которые соответствуют пирамидам, описанным в задании 1 (а — в).
3. Сделайте рисунки этих пирамид.

При разработке системы упражнений для урока о каждом упражнении надо иметь в виду следующее:

-цель введения упражнений на уроке (пропедевтика теоретического материала, введение понятий, формирование понятий, применение изученного материала);

-какой материал это упражнение готовит или формирует;

-место данного упражнения в общей системе;

-какой иллюстративный материал может быть использован при его выполнении (модели, готовые рисунки и т. п.);

-какой материал должен быть предварительно повторен учащимися, чтобы они могли выполнить упражнение.

       В зависимости от цели определенного момента урока могут измениться как формулировка упражнения, так и методика работы с ним. Так, например, при изучении раздела «Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых» вначале учащиеся должны усвоить определение этих прямых, уметь проиллюстрировать скрещивающиеся прямые примерами из окружающей обстановки на моделях многогранников, на рисунках. На этом этапе урока одно из упражнений может быть следующим: «На данной модели параллелепипеда укажите пары скрещивающий ребер». Если же изучается признак скрещивающихся прямых, то формулировка упражнения должна быть иной: Покажите на модели наклонного параллелепипеда пару скрещивающихся ребер. Покажите на этой модели такую плоскость, которая содержит одно из этих ребер и пересекает другое».

        Обратим внимание еще на одну сторону работы с упражнениями на уроке геометрии. В последнее время при наличии хорошо оснащенных техническими средствами обучения кабинетов математики учителя экономят учебное время за счет выполнения рисунков на уроке. Свои рассуждения они иллюстрируют готовыми рисунками, представленными на слайдах.  Ученики, не участвуя в работе по получению изображения, часто не представляют себе расположение основных элементов рассматриваемой фигуры. Для курса стереометрии такое положение недопустимо. Ученики должны иметь четко сформированные представления об изучаемом объекте, поэтому они обязаны быть активными участниками создания иллюстраций к изучаемому понятию или факту, в частности рисунка к задаче.

        Так, например, при изучении раздела «Объем наклонной призмы» у учащихся формируется понятие о перпендикулярном сечении призмы и выводятся две формулы для вычисления объема: через площадь перпендикулярного сечения и через площадь основания. Для того чтобы сформировать представление о равновеликости призм с конгруэнтными перпендикулярными сечениями и боковыми ребрами, целесообразно доказательство теоремы и решение задач сопровождать иллюстрацией проводимых рассуждений на моделях или конструированием рассматриваемых фигур на стереометрическом ящике. Все это способствует формированию более четких пространственных представлений.

В ряде случаев с целью формирования пространственных представлений целесообразно делать рисунок параллельно с решением, а не до него. Так, выполняя следующую задачу: «Основание пирамиды — ромб со стороной 6 см и углом 45°, все двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды» полезно:

1. Построить изображение ромба, лежащего в основании пирамиды.
2. Исходя из того, что все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, доказать, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания — центр окружности, вписанной в ромб.

4. Построить изображение высоты пирамиды.
5. Достроить изображение пирамиды.
6. Построить изображение линейного угла одного из двугранных углов при ребрах основания и т. д.

Реализуя эту схему, ученик не забудет о необходимости обоснования основных фактов.

         С построением чертежей фигур при параллельном проектировании (проецировании) учащиеся знакомы из курса черчения. Этих знаний вполне достаточно, чтобы сделать рисунок к любой стереометрической задаче при условии, что задано расположение рассматриваемой фигуры относительно плоскости проекции. Однако учащиеся старших классов часто не могут самостоятельно выбрать положение фигуры относительно плоскости проекции «наилучшим образом», наиболее наглядно. Одна из задач курса стереометрии — научить их этому. Например, для различных целей одну и ту же треугольную призму следует изображать различным образом. Поэтому прежде, чем построить изображение, надо показать учащимся модель, расположить эту модель относительно плоскости рисунка разными способами, выбрать из этих способов тот, который дает наиболее иллюстративный рисунок для решения данной задачи.

         Из всего сказанного следует, что при подготовке к уроку учителю необходимо самым тщательным образом продумать систему упражнений, с тем чтобы она обеспечивала формирование основных знаний, умений и навыков, которые должны быть отработаны на уроке. При этом следует не менее тщательно продумать и методику работы с каждым из этих упражнений и со всей системой в целом.