Урок математики "Элементы комбинаторики"
методическая разработка

Этапы урока

Деятельность

преподавателя

Деятель-ность обучаю-щихся

Органи-зационный момент.

Взаимное приветствие преподавателя  и обучающихся.

Проверка отсутствующих.

Постановка целей урока.

Настроить на позитив.

Математику, физику и психологу задают одну и ту же задачу:

"Монету бросили 100 раз, и все 100 раз выпала решка.

 Что выпадет в 101-ый раз?"  

Математик:"С вероятностью 1/2 выпадет орёл"

Физик: "Эксперимент показал, что должна выпасть решка"

Психолог: "Выпадет орёл".

Математик с физиком: "Но почему?"

-Ну, как же, всё решка да решка! Орлу ведь тоже хочется!

Задаёт вопросы обучающимся:

Знакома ли вам тема урока? Какую цель можно поставить? (знакомство с новой темой, применение на практике и в жизни человека)

Слушают преподава-теля, проявляют интерес.

Цель формули-руют обучаю-

щиеся.

Актуали-зация знаний.

Разминка

Итак, начнем наш урок с разминки. Сегодня она будет в другой форме - в виде соревнования. Я задаю вопросы, и кто быстрее поднимет руку, тот и будет отвечать.

1) Портной имеет кусок сукна в 16 м, от которого он ежедневно отрезает по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок? (7 дней)

2) Разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку, и одно осталось в корзине? (Один берет корзину вместе с яблоком)

3) Четыре коровы черной масти и три - рыжей масти за пять дней дали такой же надой молока, как 3 коровы черной масти и 5 рыжей за 4 дня. Какие коровы молочнее: черной или рыжей масти? (рыжей)

4) Как представить цифру 4 тремя пятерками? (4=5-5:5)

5) Шесть ног, а бежит не быстрее, чем на четырех. (всадник на коне)

6) Какие часы показывают верное время только два раза в сутки? (которые остановились)

7) В известной сказке «Поди туда - не знаю куда, принеси то - не знаю что» царь послал стрелка Андрея за «тридевять земель». Тридевять - это сколько? (27)

8) Шел Кондрат в Ленинград, а навстречу 12 ребят.

У каждого по 3 лукошка, в каждом лукошке - кошка.

У каждой кошки - 12 котят. У каждого котенка

В зубах по 4 мышонка. И задумался старый Кондрат:

«Сколько мышат и котят ребята несут в Ленинград?»

Как бы вы ответили на этот вопрос? (Один Кондрат шел в Ленинград)

9) В мешке лежат шарики белого и черного цвета. Сколько нужно взять шариков, чтобы 2 было одинакового цвета? (3)

10) Поехал мужик зимой на ярмарку, а базар далеко. Вот едет он лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем. Встречает Бабу-Ягу и спрашивает: «Куда ехать?» Она ему показывает направо. И вот он снова едет лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем, встречает Лешего. Спрашивает: «Как доехать до базара?» Он показывает налево. Вот он снова едет лесом-полем, лесом-полем, лесом-полем и выезжает к реке. А за рекой - базар. Как ему перебраться на тот берег, учитывая, что лодки нет и надо переправить весь груз? (Дело было зимой). Молодцы!

Отвечают на вопросы.

Постановка проблемы.

Мотивация.

Предлагает решить задачу. Ставит проблему.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР (6)

Задачи такого типа называются комбинаторными.

Сообщает тему урока.

«Элементы комбинаторики».

Слушают преподава-теля, пытаются понять проблему урока.

Записывают тему урока в тетрадях.

Объяснение

нового материала.

Лекция преподавателя (исторические данные)

Комбинаторика –  раздел математики, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять». Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, - всемирно известным немецким учёным.

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Комбинаторика возникла в XII веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов - во время битвы, инструментов - во время работы.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.

Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств - любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях

Раздел комбинаторики, в котором рассматривается лишь вопрос о подсчете числа решений комбинаторной задачи, теорией перечислений.

Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер.

Комбинаторные задачи  делятся на несколько групп. Группы, составленные из каких-либо элементов называются соединениями.

1. Задача:

Сколькими способами можно расставить 3 различные книги на книжной полке?

abc  acb

bac bca

cab cba     ответ: 6.

Это задача на   перестановки

Перестановками из n элементов называются такие соединения из n  элементов, которые отличаются друг от друга лишь порядком следования элеметов.  

Pn =A= n(n-1)  (n-2)…321

Pn = n!

Произведение всех последовательных натуральных чисел от 1 до n обозначается n!    n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Факториалы растут удивительно быстро (записывает на доске пример):

n          1          2          3          4          5          6          7          8                   9                    10

n!        1          4          6          24        120      720      5040    40 320    362 880       3 628800

2. Задача.

У нас имеется  5 книг, что у нас всего одна полка, и что на ней вмещается лишь 3 книги. Сколькими способами можно расставить на полке 3 книги?

Выбираем одну из 5-ти книг и ставим на первое место на полке. Это мы можем сделать 5-ю способами. Теперь на полке осталось два места и у нас осталось 4 книги. Вторую книгу мы можем выбрать 4-мя способами и поставить рядом с одной из 5-ти возможных первых. Таких пар может быть 5·4. Осталось 3 книги и одно место. Одну книгу из 3-ёх можно выбрать 3-мя способами и поставить рядом с одной из возможных 5·4 пар. Получится 5·4·3 разнообразных троек. Значит всего способов разместить 3 книги из 5-ти 5·4·3 = 60.

Это размещения.

Размещением из n элементов по m  называются такие соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами (хотя бы одним), либо порядком их следования.

Число размещений из n элементов по m обозначаются символом:

А= n(n-1)  (n-2)… (n-(m-1)).

А= n!m!

3. Задача. 

Сколькими способами можно расставить 3 тома на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии внешне неразличимых 5  книг?

Книги внешне неразличимы. Но они различаются, и существенно! Эти книги разные по содержанию. Возникает ситуация, когда важен состав элементов выборки, но несущественен порядок их расположения.

123  124  125  134  135  145  234  235  245  345         ответ: 10

Это сочетания.   

Сочетаниями из n элементов по m  называются такие соединения, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из  n элементов по m  обозначают символом

C=

Слушают преподава-теля.

Приложение (Презентация «Из истории комбинато-рики»)

Записывают определение в тетрадях. Пользуются учебником математики Н.В. Богомолов,

с. 371

(формулы 16.2, 16.3,16.4, 16.5),

с. 372

Записывают определение в тетрадях. Пользуются учебником математики Н.В. Богомолов,  (формула

16.1),

с. 371

Записывают определение в тетрадях. Пользуются учебником математики Н.В. Богомолов,

(формулы16.6, 16.7, 16.8, 16.9, 16.10), с. 372

Закрепление полученных знаний.

1 Задача.

Сколькими способами можно расставить  8 участниц  финального забега  на  восьми беговых дорожках?

P8 = 8!= 1 ∙2∙ 3 ∙4∙ 5 ∙6∙ 7 ∙8 = 40320

2 Задача.

Квартет

Проказница Мартышка

Осёл,

Козёл,

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

…

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры,

Кому и как сидеть…

Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов?

P = 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24

Задаёт вопрос: какой тип  комбинаторной задачи? (перестановки).

3 Задача.

 Обучающиеся изучают 9 предметов. Сколькими способами  можно составить  расписание на один день, чтобы  в нём было 4 различных предмета? 

A =9!/5! = 6∙ 7∙ 8∙ 9 = 3024

Задаёт вопрос: какой тип  комбинаторной задачи? (размещения).

Решение у доски. Записывают в тетрадях.

Отвечают на вопрос.

Решение у доски. Записывают в тетрадях.

Отвечают на вопрос.

Индиви-дуальная работа. Тест.

Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

 1) 30                          2)       100              3)       120              4) 5

 2. В 9«Б» классе 12 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

 1) 128                        2)       495                   3) 36                     4) 48

 3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

 1) 10                          2) 60                     3) 20                     4) 30

  № задания   1          2          3

 № ответа       3          2          4

Работают на месте.

На экране (Тест).

Взаимопро-верка с помощью мульти-медия, коррекция.  

Домашнее задание.

Раздает карточки с домашним заданием. Поясняет как решить.

1.В коробке находится 10 белых и 6 черных шаров. 

  Сколькими способами из коробки можно вынуть один шар любого цвета?

2.Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8 но  забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.

3.     В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

4. Проект «История комбинаторики»

Слушают преподава-теля.

Подведение итогов, рефлексия.

Задаёт вопросы обучающимся:

Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?

Решение комбинаторных задач развивает творческие способности.

Области применения  комбинаторики:

учебные заведения ( составление расписаний)

-сфера общественного питания (составление меню)

-лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)

-спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

-агротехника (размещение посевов на нескольких полях)

-география (раскраска карт)

-биология (расшифровка кода ДНК)

-химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

-экономика (анализ вариантов купли-продажи акций) азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)

-криптография (разработка методов шифрования)

-доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

-военное дело (расположение подразделений)

Решение задачи с профессиональной направленностью (укроп, петрушка, редис).

Как посадить растения, используя комбинаторные задачи: размещения, перестановки, сочетания?

Как посадить растения с учетом солнца и образования тени (межпредметная связь с физикой).

Какова была цель урока? Достигнута ли она?

Чем обусловлен выбор правила комбинаторики?

Чем обусловлен выбор формулы?

Перспектива последующей работы.

Настрой на позитив:

 "МАТЕМАТИКУ - сдам!"

Оцените степень сложности урока

Вам было на уроке:

• легко;
• обычно;
• трудно.

      Оцените степень вашего усвоения материала

• повторил весь ранее изученный материал;
• усвоил полностью, могу применить;
• усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
• усвоил частично;
• не усвоил.

Отвечают с места.

Выходят к доске и показывают применение формул на комбинато-рику.

Отвечают с места.

Отмечают в карточках.

Литера-тура.

1. «Математика» 1 сентября №1 2012г

И.Р. Высоцкий «В10 –вероятность»
2. А.Л.Семенов, И.В.Ященко  

«ЕГЭ 2012. Типовые тестовые задания»
3. А.Л. Семёнов, И.В.Ященко
 «ЕГЭ-2012. Математика. Типовые варианты. 30 вариантов»
4. И.Р. Высоцкий, Ященко
 «ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Рабочая тетрадь»
5. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
«Математика. Элементы теории вероятностей и статистики.
Подготовка к ЕГЭ-2012»

Электронные ресурсы:

Открытый банк заданий по математике

http://mathege.ru/or/ege/Main

СтатГрад МИОО