Методическая страничка

Совершенствование вычислительных навыков для создания условий успешности школьников в обучении

Попова Нина Геннадьевна,

учитель математики МКОУ

 «Хохловская средняя общеобразовательная школа»

Методическая система «Совершенствование вычислительных навыков для создания условий успешности школьников в обучении» выстраивалась в процессе работы над становлением вычислительных умений и навыков учащихся при обучении математике.  Проблема формирования вычислительной культуры актуальна для каждого учителя, начиная с начальной  школы. Вычислительные навыки не только составляют основу математики, но и необходимы при изучении многих других наук, носят межпредметный и прикладной характер. Как показывают проведённые мониторинги, включая ЕГЭ и ГИА, значительная часть школьников не достигают уровня обязательной математической подготовки по причине большого количество вычислительных ошибок, которые они допускают как при выполнении задач базового, так и повышенного уровня. Обучающиеся недостаточно уверенно владеют вычислительными стратегиями, пренебрегают промежуточным контролем и проверкой правдоподобия результата. Обучение вычислениям вносит специфический вклад в развитие основных психических функций учащихся, способствуя развитию скорости мышления, внимания, памяти.                   

           В последнее время учителя, проводя в жизнь идею развивающего обучения, несколько ослабили внимание к развитию и закреплению у учащихся вычислительных навыков. Поэтому у школьников возникают затруднения даже при умножении и делении десятичных и обыкновенных дробей, сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями, при выполнении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями. Отмечается также слабое практическое владение школьниками таких алгоритмов математических действий, как выделение целой части из неправильной дроби, представление числа, содержащего целую и дробную части в виде неправильной дроби, обращение десятичной дроби в обыкновенную и наоборот. Эти недостатки отрицательно влияют на усвоение учащимися не только математики, но и отдельных разделов курса физики и химии. Современный уровень развития науки и техники требуют глубоких и прочных математических знаний. Математические расчеты, основанные на использовании алгоритмов основных математических действий, являются необходимыми условиями успешной сдачи ЕГЭ, а умение считать является непременным элементом математического образования.

           Таким образом, возникает противоречие между требованиями, предъявляемыми обществом к выпускнику средней школы и его фактическими вычислительными навыками.

Идея: школьники смогут быть успешными при изучении математики и других предметов, сумеют преодолеть свой страх, затруднения, растерянность, неорганизованность, непонимание, будет создана комфортная среда для учителя и ученика, если целенаправленно и систематически вести работу по формированию и совершенствованию вычислительных умений и навыков, как на уроках, так и во внеурочной деятельности.

Методическая система направлена на освоение способов действий при совершенствовании вычислительных навыков.

Для достижения цели были поставлены следующие задачи, которые решались в ходе исследования:

1) изучить литературу по проблеме и определить основные направления работы по формированию и совершенствованию вычислительных навыков;

 2) разработать содержание таблиц - тренажеров в соответствии с изучаемым материалом и возникающими проблемами при выполнении вычислений;

3) отобрать необходимые методы и средства организации устного счета;

4) подобрать интересные по содержанию и форме предъявления задания для вычислений;

5) выбрать оптимальные приемы и методы обучения способам рациональных вычислений;

6) отработать эффективные способы обучения проверке результата вычислений и самоконтролю

         Проблема формирования у учащихся вычислительных умений и навыков всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е.С. Дубинчук, А.А.Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А.Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, С.Е. Царевой и др.

        Глубоко и всесторонне вопросы совершенствования устных и письменных вычислений учащихся исследовались лишь в 60-70 гг. ХХ века. Исследования последующих лет посвящены преимущественно разработке качеств вычислительных навыков (М.А. Бантова), рационализации вычислительных приемов (М.И. Моро, С.В. Степанова и др.), применению средств ТСО (В.И. Кузнецов), дифференциации и индивидуализации процесса формирования вычислительных умений и навыков (Т.И. Фаддейчева).

        Каждое из этих исследований внесло определенный вклад в разработку и совершенствование той методической системы, которая использовалась в практике обучения, и нашло отражение в учебниках математики (М.И.Моро, М.А.Бантова, Г.В.Бельтюкова, А.М.Пышкало, С.В.Степанова, Ю.М.Колягин).

        Действующие на сегодняшний день программы по математике обеспечивают достаточный уровень формирования вычислительных навыков школьников. Изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них). Причем в каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема, конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения. В  курсе математики предусмотрен такой порядок введения вычислительных приемов, при котором постепенно вводятся приемы, включающие большее число операций, а приемы, усвоенные ранее, включаются в новые в качестве основных операций.

Навык – это действие, сформированное путем повторения, характерное высокой степенью освоения и отсутствием поэлементарной сознательной регуляции и контроля.

Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приемами.

Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

 Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций. В зависимости от степени овладения учеником учебными действиями, оно выступает как умение или навык, характеризующийся такими качествами, как правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм и прочность.

Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением курса математики и использованием соответствующих методических приемов.

Выполнение вычислительного приёма – мыслительный процесс, следовательно, овладение вычислительным приёмом и умение осуществлять контроль за его выполнением, должно происходить одновременно в процессе обучения.

В своей работе опираюсь на методические рекомендации

по развитию вычислительных навыков авторов статей В. Жохова и В. Погодина, помещенных в газете « Математика», 2001-2002 год.  За 29 лет педагогической деятельности сложилась своя концепция преподавания и воспитания учащихся на современном этапе. К середине 90-х годов осознана внутренняя потребность и социальная необходимость вести преподавание на принципах проблемного, развивающего и опережающего обучения, что способствует усвоению материала всеми учащимися на максимальном для них уровне. Формирование вычислительных умений и навыков – это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

         На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

           Новизна опыта проявляется в использовании элементов технологии алгебраических тренажеров автора Королевой Т.Г. применительно к общеобразовательной школе по УМК Виленкина Н.Я.; Алимова Ш.А.;  для учащихся 5-11 классов. Практическая значимость работы обусловлена тем, что разработана система заданий, развивающих познавательный интерес учащихся на уроках математики, которые помогут учителю оптимизировать процесс овладения вычислительными навыками.    

 Цель: освоение эффективных приемов и методов для совершенствования вычислительных навыков и повышения успешности их обучения

Для достижения цели были поставлены следующие задачи:

1) определить основные направления работы по формированию и совершенствованию вычислительных навыков;

2)  разработать содержание таблиц - тренажеров в соответствии с изучаемым материалом и возникающими проблемами при выполнении вычислений;

3) отобрать необходимые методы и средства организации устного счета;

4) сделать подборку рациональных и быстрых способов вычислений для ознакомления с ними обучающихся;

5) выбрать оптимальные формы организации учебного процесса

В работе были использованы следующие методы исследования: беседа с учителями, наблюдение, контроль, анализ, сравнение, изучение педагогического опыта.

          В своей работе использую рабочие программы, составленные на основе программ Жохова В.И., Бурмистровой Т.А.  и УМК под редакцией  Виленкина Н.Я.; Алимова Ш.А.  для учащихся 5-11 классов.

                                          Содержание обучения

                  Своеобразие концепции.

           Используя методические рекомендации и опыт коллег, в условиях своей школы и, учитывая особенности обучающихся, стремилась: создать свою систему таблиц для развития  вычислительных навыков; описать на примерах уроков и фрагментов уроков наиболее  оптимальные в ее практике методы и приемы работы над развитием прочных вычислительных навыков.

Вся педагогическая деятельность строилась на основе следующих принципов:

1. междисциплинарный подход в формировании прочных вычислительных навыков;
2. систематичность и непрерывность работы по развитию  вычислительных навыков;
3. единство интеллектуального и эмоционально- волевого начала в деятельности учащихся.

 Реализации концепции посредством организации работы учащихся.     Насыщение уроков разнообразными, интересными и полезными вычислительными заданиями при большей плотности текущего теоретического материала, задач по изучаемым темам возможно лишь через совершенствование системы вычислительных упражнений на уроках. Основная функция  таких   упражнений – актуализация опорных для конкретной темы знаний и умений, подготовка учащихся к работе на протяжении всего урока, а также систематическое повторение изученного, поддержание и совершенствование основных специальных умений и навыков, в том числе и навыков вычислений.

Формирование любого навыка - процесс достаточно длительный, требующий не только большого числа упражнений, но и определенных усилий для поддержания навыка, уже выработанного. И вычислительные навыки, конечно же, не исключение.

Организация данных навыков всегда была и остается «узким местом» в работе на уроке: суметь за небольшое время дать каждому ученику достаточную «вычислительную нагрузку», предложить разнообразные задания, стимулирующие развитие внимания, памяти, эмоционально- волевой сферы, оперативно проверить правильность решений, обеспечить необходимый уровень самостоятельности в работе детей – весьма трудная задача. Помочь в разрешении этой проблемы помогают, как показывает опыт обучения школьников в средних и старших классах, наборы таблиц-тренажеров. Они предназначены как для работы на уроке, так и для самостоятельной работы  ученика дома.

Основное их назначение - формирование у обучающихся прочных навыков вычислений, эффективно развивая при этом внимание  и память - необходимые компоненты успешного овладения школьным курсом математики. Учителю на уроке они помогают организовать, сделать более продуктивной и насыщенной устную работу, каждодневную тренировку детей в устных и письменных вычислениях. Обратим особое внимание на то, что все таблицы в течение учебного года можно использовать многократно.

Перечислю важнейшие вычислительные умения и навыки у учащихся по каждому классу.

5-й класс

У учащихся необходимо закреплять умение выполнять все арифметические действия с натуральными числами. В результате прохождения программного материала пятиклассники должны уметь выполнять основные действия с десятичными дробями; применять законы сложения и умножения к упрощению выражений, округлять числа до любого разряда, определять порядок действий при вычислении значения выражения.

 6-й класс

У учащихся необходимо закрепить умение находить числовое значение выражения с использованием всех действий с десятичными дробями, использовать признаки делимости на 10, 2, 5, 3, 9. В процессе изучения нового материала учащиеся должны уметь выполнять сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями, умножение и деление дробей. Совместные действия над обыкновенными и десятичными дробями, применять переместительный и сочетательный законы сложения к упрощению вычислений с дробями, использовать распределительный закон умножения, выполнять действия с положительными и отрицательными числами.

У учащихся 7–9-х классов развивается и закрепляется умение находить числовое значение выражения на все действия с обыкновенными и десятичными дробями. Эта работа проводится как при изучении нового материала, так и при выполнении заданий вычислительного характера.

7-й класс

Вычислительная техника школьников совершенствуется при выполнении тождественных преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами и многочленами, при использовании формул сокращенного умножения.

8-й класс

При изучении различных тем широко используются умения учащихся выполнять действия с дробными числами в процессе нахождения числовых значений рациональных выражений, преобразования выражений, содержащих степени с целыми показателями, решения неравенств, вычисления квадратных корней.

9-й класс

Девятиклассники должны свободно владеть навыками действий с рациональными числами.

Тематика таблиц-тренажеров для учащихся основной школы.

Таблица № 1  «Натуральные числа»

Таблица №2  «Сложение и вычитание натуральных чисел»

Таблица № 3 «Умножение и деление натуральных чисел»

Таблица № 4 «Десятичные дроби»

Таблица №5  «Сложение и вычитание десятичных дробей»

Таблица № 6  «Умножение и деление десятичных дробей»

Таблица № 7   « Действия со смешанными числами»

Таблица № 8     «Умножение и деление обыкновенных  дробей»

Таблица  № 9   «Отрицательные и положительные числа»

Таблица   № 10  « Действия с одночленами»

Таблица  № 11  «Степень. Свойства степени»

Таблица № 12  «Уравнения»    

Таблица № 13 « Неравенства»

Таблица № 14 «Формулы сокращенного умножения»

Таблица № 15 «Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители»

           Система работы по совершенствованию вычислительных навыков в 5-9 классах состоит из следующих этапов:

                       1. Этап вводного контроля

1. На этом этапе в начале работы с классом (независимо от того, пятый это класс или девятый), проводится проверка знания таблиц сложения, умножения, вычитания и деления. Форма проверки – устный счет по карточкам и таблицам. Задания из таблицы могут быть представлены на карточках (в двух вариантах) или с помощью проектора. Результаты заносятся в ведомость. Учащимся, допустившим ошибки, предлагаются сборники таблиц или отдельные таблицы за начальную школу для отработки навыков, и в течение определенного времени эти учащиеся повторно проверяются (при устном или письменном опросе в ходе уроков и при выполнении самостоятельных и контрольных работ).

2. Далее проводится проверка знаний по всем темам арифметики в форме устного счета, небольших письменных работ, отдельных заданий при выполнении текущих самостоятельных работ. При этом особое внимание обращается на решение простейших уравнений, нахождение компонентов действий и на порядок действий с натуральными числами.

При этом индивидуальная работа с неуспевающими учениками ведется как на уроках, так и вне уроков, учащимся выдаются на дом таблицы для отработки навыков.

Для успешности применения технологии совершенствования вычислительных навыков необходимо:

    диагностическое  выделение  главных задач.

     Проведённые замеры темпа вычислений позволяют  разделить учеников на три группы:  

   в первую группу войдут те, у кого скорость умножения менее 15 цифр в минуту - они плохо знают таблицу умножения;

   во вторую группу войдут те, у кого скорость умножения от 15 до 30 цифр в минуту, -  для них следует совершенствовать умение умножать, используя карточки технологического тренажа;

    третью группу составят ученики, вычисляющие на хорошем  уровне - более 30 цифр в минуту.

        Особенно важен этап текущей работы по формированию вычислительных навыков

К этому этапу готовятся серии таблиц-тренажеров  следующих видов.

1. Таблицы, для отработки отдельного навыка в определенном классе (например, действия с десятичными дробями – в 5 классе, формулы сокращенного умножения – в 7 классе, значения тригонометрических функций некоторых углов – в 10 классе).

2. Сводные тренажеры для отработки нескольких навыков при обобщающем повторении (например, действия с натуральными числами, целыми, дробными числами – в 9 классе).

Данные пособия размножаются и выдаются на руки каждому ученику. Такой же комплект имеется в каждом классе и у учителя.

На этом этапе используются следующие формы работы:

       1.  Устный фронтальный опрос по таблице, проводимый как учителем, так и учащимися.

       2. Письменный опрос (с записью ответа или записью ответов действий) по подготовленным таблицам.

       3.  Самостоятельная письменная работа (с записью ответа или ответов действий) по вариантам  с последующим анализом и работой над ошибками.

         4. Решение у доски во время опроса.

         5. Решение за первой партой.

         6. Разбор образцов решений и их оформление.

         7. Отработка алгоритмов вычислений.

         8. Математические эстафеты.

        9. Цепочные вычисления.

       10. Работа в парах (по таблицам называют ответы).

       11. Соревнование: «Кто быстрее?».

       12. Математический диктант.

При этом учитывается, что:

-на каждом  уроке  надо работать с каждым учеником. Для этого учитель должен выбрать формы работы и материал так, чтобы каждый ученик был занят делом, его работу можно было проконтролировать. Например, каждому ученику, работающему за первой партой, выдается таблица с таким заданием, чтобы он ликвидировал свои пробелы в знаниях. При этом ведется учет овладения  вычислительными  навыками каждым учеником ;

-очень важно научить школьников самоконтролю, т.е. умению контролировать решение, действия, а в результате и свои поступки;

-только при выполнении самостоятельной работы наиболее прочно усваивается изучаемый материал. Поэтому  учащиеся  привлекаются к составлению заданий по изучаемым темам и на повторение.

                 Важной частью работы на данном этапе является коррекционная работа над ошибками, которая проводится в следующих формах:

-после проведения устного контрольного мероприятия учитель указывает на ошибки в работах  учащихся, а каждый ученик ищет их в своей тетради. Затем  учащиеся  сами приводят образцы решений, а если решение не найдено, учитель проводит маленькую консультацию по вопросам, которые возникли при решении данного задания: (учащиеся, которые справились верно с заданием работают далее по карточкам или по заданиям учебника). Через определенное время  учащиеся  вновь выполняют задания, в которых были допущены ошибки;

-одинаковые ошибки можно разобрать в группах или в парах, проконсультироваться с учителем. Эта работа проводится при необходимости  на   уроке, иногда - дома самостоятельно. После этого вновь проводится проверочная работа;

- после проведения контрольного мероприятия в классе, учитель проверяет и ставит знак «+» или «-». Проводится анализ ошибок (лучше сгруппировать ошибки) и по мере их исправлений давать задания (индивидуально), похожие для полного усвоения темы. При такой работе ни один ученик не остается вне поля зрения.

                 При объяснении нового материала необходимо, чтобы ученики сами составляли алгоритмы выполнения того или иного действия, затем сверяли с учебником и выбирали оптимальный для себя вариант. Такая работа приучает их к четкости и конкретности. В дальнейшем они смогут без суеты и волнения выполнить любое задание.

Текущий контроль, проводимый на этом этапе учителем, может заключаться в фиксировании:

а) количества верно выполненных примеров за 1 минуту, 2 минуты и так далее с каждым учеником (результаты вносятся в сводную ведомость класса);

б) промежутка времени, необходимого для безошибочного решения определенного количества примеров;

в) количества ошибок, допускаемых каждым учеником.

Используются различные формы проведения контроля. Наиболее характерные из них – самостоятельные и контрольные работы, проводимые учителем по своему плану. При регулярном проведении самостоятельных работ существует реальная возможность выяснить на ранней стадии пробелы в знаниях, прочность усвоения и скорректировать дальнейшую деятельность.

При такой форме работы ни один ученик не останется вне поля зрения учителя.

          И, как результат, этап итогового контроля.

Итоговый контроль проводится или в форме контрольной работы, или в форме устно-письменного зачета. К уроку-зачету учитель готовит систему таблиц по теме. На зачете учащиеся отвечают теорию, решают задания, содержащиеся в карточке, иногда еще показывают тетради с выполненными примерами на вычисление и составленными примерами. На таких уроках-зачетах часто ученики одновременно получают консультацию и учителя, и старшеклассников, принимающих зачет. Итоговые оценки выставляются в журнал.

К работе по совершенствованию вычислительных навыков активно привлекаются учащиеся: они подбирают или самостоятельно составляют задание для устного счета, составляют задания с применением рационального счета, по группам или индивидуально проводят устный счет на уроке, частично привлекаются к проверке работ, консультируют других учащихся.

Уже много лет  школа принимает участие в проведении единого государственного экзамена по математике. Анализируя  результаты экзамена, мы пришли к выводу, что именно из-за низкой вычислительной культуры многие ученики не могут справиться с некоторыми заданиями, хотя при этом они неплохо владеют приемами алгебраических преобразований, хорошо знают свойства функций. И количество таких ошибок практически остается на одном и том же уровне. Поэтому была начата работу по созданию тренажеров по алгебре и началам математического анализа. Подготовлены таблицы-тренажеры по следующим разделам:

1.Логарифмы.

2. Тригонометрия

3. Производная

4. Первообразная

5. Свойства степени с рациональным показателем

Еще одним важным направлением работы по совершенствованию вычислительных навыков является знакомство обучающихся со способами быстрых вычислений. Эту работу можно проводить как на уроках, так и  на занятиях математического кружка.

Некоторые способы быстрых вычислений:

Умножение чисел на 11.

     Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9.

Умножение двузначного числа на 111.

      Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.

Умножение на 5, 25, 125.

    Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.

Умножение на 9, 99, 999.

    К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Умножение на 75.

      Нужно число разделить на 4 и результат умножить на 300.

Умножение на 101.

    Чтобы умножить двузначное число на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

Умножение на 1001.

     Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число.

Деление на 5, 25, 125

     Умножить числа соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Приёмы стимулирования и контроля, взаимоконтроля, самоконтроля деятельности

Важным моментом является достойная оценка. Постоянная потребность, рассуждая, использовать уже имеющиеся знания, разумного ребенка обязывает учиться систематически.  Плохие оценки  стараюсь не ставить сразу, пытаюсь стимулировать желание доучить.  В работе применяются:

Выборочная проверка

 Взаимопроверка (ученики обмениваются  тетрадями и  проверяют  задание друг у друга; учитель проверяет задание у ученика,  который первым справился с ним, а затем этот ученик проверяет выполнение задания у другого, и так далее; учитель назначает консультантов,   которые производят проверку)

     Самоконтроль

    Тест  (поурочный,  тематический, итоговый)

     Зачет

Результативность

Систематическая и целенаправленная работа по формированию и совершенствованию навыков дала определенный эффект: у детей повысился уровень  вычислительной культуры, наблюдается более ответственное отношение к вычислениям, стремление вычислять правильно, рационально, повысилась мотивация к изучению математики и как следствие, повысилась успешность обучающихся. Анализ количества и качества ошибок в письменных и устных работах обучающихся с применением данной методической системы свидетельствует о наличии  ощутимых результатов – уменьшение количества ошибок в 1,5 - 2 раза. Повысилась результативность выполнения заданий ЕГЭ и ГИА за счет снижения числа вычислительных ошибок. Избежать случайных ошибок на экзамене ученикам помогает умение выбрать наиболее подходящий способ получения результата и умение пользоваться приемами проверки и интерпретации ответа.

Был проведен опрос учащихся по оценке применения таблиц-тренажеров.

Сегодня существуют компьютерные варианты тренажеров, оформленные и составленные программистами. И если в каждой школе будет достаточное количество ПК, то и каждый учитель справится с составлением тренажера, приспособленного именно для его методики, для каждого соответствующего класса.

                                          Библиографический список

1. Асрян Г.Н,  Осинкина Т,И. Итоговая аттестация по алгебре .Учебно-

методическая газета «Математика». 2005. №5. 1-15 марта.

2. Виленкин Н.Я, Жохов В.И, Чесноков А.С, Шварцбурд С.И.. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений.– М.: Мнемозина, 2010.

3. Германович П.Ю. Сборник задач по математике на сообразительность. Пособие для учителя. – М., Учпедгиз, 1960.

4. Жохов В.И., Погодин В.Н. Математический тренажер. 5-6 класс.: Пособие для учителей и учащихся. – М.: ООО «РОСМЕН-ПРЕСС», 2003.
5. Жохов В.И. , Погодин В.Н.Методические советы из опыта преподавания 5-6 классы. Математика №4,2001.
6. Королева Т.Г. .Математический тренажер по алгебре для 7-9 классов. Журнал « Математика в школе». 2001. №8
7.  Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов. Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1986.

8. Мельникова Н.А. Развитие вычислительной культуры учащихся. Математика №18, 2001.

9.Минаева С.С. Формирование вычислительных умений в основной школе. Математика. – 2006 год. - № 2.

10.Ройтман П.Б,  Минаева С.С,  Прокофьева Н.С и др. Повышение вычислительной культуры учащихся. Пособие для учителя – М.: Просвещение, 1980.

11. Струнникова Э.П., Мельникова Н.И. Устный счет. – 2007 год. - № 3.

12.Федотова Л.И. Повышение вычислительной культуры учащихся 5-9 классов. Математика. – 2004 год. - № 35.

13.Федотова Л.И. Повышение вычислительной культуры учащихся. Математика. – 2004 год. - № 36.

14.Филиппов Г.Н. Устный счет- гимнастика ума. Математика №2,2001.

15.Шварцбурд С.И. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах. – М., Просвещение, 1974.

  Приложение № 1

Тренажер по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел»

Тренажер по теме «Формулы сокращенного умножения. Разложение на множители» 7 класс