Ученикам

№ п/п

Правильный ответ

1

60

2

1345600

3

22

4

133

5

4

6

45

7

72

8

1

9

11

10

55,5

11

17

12

14000

13

374000

14

3

15

10

16

8

17

19

18

72

19

36

20

29

21

10

22

47088

23

90

24

42

25

1

26

16

27

16

28

10

29

38,4

30

73

31

22

32

10

33

25

34

240

35

800

36

600

37

21

38

65

39

10

40

44

41

7

42

8

43

4

44

14

45

8

46

9

47

72

48

35

49

4

50

16

1. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

2.  Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

3.  На рисунке изображён график функции y = f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

4.  На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.

5.  На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

6.  На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

7.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

8. На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

9.  На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

10.  На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8).

11.  На рисунке изображён график функции  и восемь точек на оси абсцисс: , , , ,  В скольких из этих точек производная функции  положительна?

12.  На рисунке изображён график функции  и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , ,  В скольких из этих точек производная функции  отрицательна?

13.  На рисунке изображен график функции  и отмечены точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

14.  На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна прямой  или совпадает с ней.

15.  На рисунке изображен график производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику  параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

21 . На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y = f(x) параллельна прямой y = 6x или совпадает с ней.

16.  Прямая  параллельна касательной к графику функции  Найдите абсциссу точки касания.

17.  Прямая  является касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

18.  Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.

19.  Прямая  является касательной к графику функции  Найдите 

20.  Прямая  является касательной к графику функции  Найдите , учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

№ п/п

Геометрический смысл

Физический смысл

1

2

60

2

6

20

3

3

59

4

4

8

5

-0,25

7

6

-0,5

7

0,25

8

-2

9

-0,25

10

1,25

11

4

12

7

13

-2

14

5

15

-3

16

0,5

17

-1

18

0,125

19

7

20

-33

21

5

1. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите промежутки возрастания функции  В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

2.  На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции y = f(x).

3.  На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

4. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

5.  На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

6.  На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

7.  На рисунке изображён график y=f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8; 3). В какой точке отрезка [-3; 2 ] функция f(x) принимает наибольшее значение?

8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3]  f(x) принимает наименьшее значение?

9.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].

10.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].

11.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].

12.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

13.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

14.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

15.На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

16.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

17.  На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].

18.  На рисунке изображен график функции y=f(x) , определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество точек, в которых производная функции f(x)равна 0.

19. На рисунке изображён график  - производной функции f(x).На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, ..., x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?

20. На рисунке изображён график  производной функции  и восемь точек на оси абсцисс:    , В скольких из этих точек функция  убывает?

21.  На рисунке изображен график функции  и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

22. На рисунке изображён график функции у = f'(x) — производной функции f(x) определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

23.  Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x0, в которой функция принимает наименьшее значение, если  f (−5) ≥ f (5).

24.  Функция  определена на промежутке  На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция  принимает наибольшее значение.

25.  На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.

26.  На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −6.

27.  Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

28.  Материальная точка движется от начального до конечного положения. На рисунке изображён график её движения. На оси абсцисс откладывается время в секундах, на оси ординат — расстояние от начального положения точки (в метрах). Найдите среднюю скорость движения точки. Ответ дайте в метрах в секунду.

№ п/п

Правильный ответ

1

14

2

44

3

4

4

7

5

4

6

44

7

-3

8

-7

9

1

10

1

11

5

12

-3

13

18

14

6

15

6

16

5

17

4

18

5

19

3

20

5

21

4

22

9

23

3

24

-2

25

5

26

7

27

1,6

28

4

1.  В треугольнике  угол  равен 90°, , Найдите 

2.  В треугольнике  угол  равен 90°, ,  Найдите 

3.  В треугольнике ABC угол C равен 90°, АС = 8,  Найдите BC.

4.  В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, , Найдите ВН.

5.  Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 6 и 10.

6.  Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

7.  В треугольнике ABC угол ACB равен °, угол B равен °, CD — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

8.  Острый угол прямоугольного треугольника равен 32°. Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах

.

9.  Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

10.  Один из углов прямоугольного треугольника равен °. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

11.  В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 21°. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

12.  Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

13.  В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

14.  Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

15.  Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 14°. Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

16. Втреугольнике ABC AC = BC = 5,  Найдите АВ.

17. Втреугольнике ABC AC = BC = 7,  Найдите AB.

18.  В треугольнике  ,   — высота, Найдите 

19. Втупоугольном треугольнике  , высота  равна 4. Найдите 

20. Втупоугольном треугольнике  , высота  равна 20. Найдите 

21.  Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 150°. Боковая сторона треугольника равна 20. Найдите площадь этого треугольника.

22.  Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 25.

43.  Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

44.  Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

23.  Площадь треугольника ABC равна 4. DE  — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE.

24.  У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

25. Впараллелограмме ABCD AB = 3, AD = 21, 

 Найдите большую высоту параллелограмма.

26.  Площадь ромба равна 18. Одна из его диагоналей равна 12. Найдите другую диагональ.

27.  Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

28.  Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

29.  Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите боковую сторону трапеции.

30.  Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

31.  Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

32.  Периметр треугольника равен 12, а радиус вписанной окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

33.  Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

34.  Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

35.  Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 5 и 3, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

36.  Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

37.  Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите длину её средней линии.

38.  Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

39.  В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, CD = 16. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

40 Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

41.  Угол A четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 58°. Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

42.  Сторона правильного треугольника равна  Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

№ п/п

Правильный ответ

1

5

2

0,5

3

4

4

4,8

5

24

6

6

7

32

8

61

9

45

10

16

11

24

12

42

13

65

14

21

15

31

16

9,6

17

8

18

24

19

0,5

20

-0,6

21

100

22

10

23

1

24

6

25

18

26

3

27

28

28

10

29

5

30

5

31

23

32

6

33

30

34

2

35

22

36

4

37

10

38

2

39

52

40

7

41

122

42

1

43

6

44

6

1. В цилиндрический сосуд налили 2000 см3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см3.

2. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в раза больше первого? Ответ выразите в см.

3. Объем первого цилиндра равен 12 м3. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.

4. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на

5. Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.

6. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на

7. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

8. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите

9. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

10. Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на

11. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

12. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

13. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующая увеличится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

14. Найдите объем части конуса, изображенной на рисунке. В ответе укажите

15. Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.                                                                                                                           16. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает высоты. Объём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

17. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен Найдите образующую конуса.

18. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

19. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

20. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.

21. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.

22. В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

23. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

24. В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

25. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

26. Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

27. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.

28. Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на

№ п/п

Правильный ответ

1

1500

2

4

3

9

4

12

5

1,125

6

4

7

2

8

1

9

3

10

128

11

9

12

3

13

3

14

216

15

5

16

490

17

20

18

12

19

27

20

4

21

0,25

22

8

23

125

24

4

25

75

26

12

27

50

28

16

1. Площадь поверхности куба равна 18. Найдите его диагональ.

2.  Объем куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

3.  Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

4.Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

5.Диагональ куба равна   Найдите его объем

6. Объем куба равен   

Найдите его диагональ.

7. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

10. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

8. Объем одного куба в 8 раз больше объема другого куба. Во сколько раз площадь поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?

9.Вкубе  точка  — середина ребра , точка  — середина ребра , точка  — середина ребра  Найдите угол  Ответ дайте в градусах.

15.  Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

16.  Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба.

11. Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.

19. Объем параллелепипеда   равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды 

26.  В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300  воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.

27.  В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

28.  Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота – 10.

31.  Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

32.  Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

33.  Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 5.

36.  Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

37.  Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

38.  Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.

40.  В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми  и Ответ дайте в градусах.

42.  Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро.

12.Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

13.Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

14. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

№ п/п

Правильный ответ

1

3

2

24

3

4

4

27

5

8

6

6

7

9

8

4

9

60

10

3

11

24

12

48

13

8

14

5

15

4

16

6

17

32

18

7

19

1,5

20

30

21

45

22

45

23

5

24

572

25

0,6

26

184

27

5

28

300

29

248

30

12

31

120

32

8

33

20

34

4

35

10

36

16

37

1,5

38

2

39

54

40

60

41

60

42

4

1. В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

2. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

3. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка .

4. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 2; объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка .

5. В правильной треугольной пирамиде  медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна 4; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка .

6. В правильной четырехугольной пирамиде  точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .

7. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка .

8. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, , . Найдите боковое ребро .

9. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, , . Найдите длину отрезка .

10. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, =12, =18. Найдите боковое ребро

11. В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина ребра AB, S – вершина. Известно, что BC = 3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.

12. В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра AC, S — вершина. Известно, что BC = 6, а SL = 5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

13. В правильной треугольной пирамиде SABC точка K – середина ребра BC, S – вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.

14. В правильной треугольной пирамиде – середина ребра , – вершина. Известно, что =5, а =6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

15. В правильной треугольной пирамиде   – середина ребра ,   – вершина. Известно, что =7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка .

16. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

17. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

18. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

31. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

19. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

20. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

21. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

22. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

23. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

24. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

25. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

26. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

27. Объем треугольной пирамиды , являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды , равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

28. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

29. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

30. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

32. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.