Материалы по предмету "Алгебра"

Задания по математике

по теме: «Корень п-ой степени и его свойства»

3 вариант.

1. Вычислить:
2. Найдите значение числового выражения:

3. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:

4. Найдите значение выражения:

5. Выполнить действия:
6. Решить уравнения:

Содержание

Пояснительная записка                                                                                   -2-

2. Проверочные задания по темам:

2.1    Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.                  -3-

2.2    Линейные уравнения и неравенства                                                              -7-

2.3    Преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробными показателями.                                                                -11-

2.4  Иррациональные уравнения                                                           -12-

2.5  Корень п-ой степени и его свойства                                                     -13-

2.6  Определение и свойства логарифма                                                   -17-

2.7  Логарифмические уравнения                                                             -18-

2.8  Практикум решения показательных уравнений                                   -23-

2.9  Показательные уравнения                                                           -26

2.10 Правильная пирамида                                                                  -30-

2.11. Индивидуальная контролирующая проверочная работа по теме:            «Пирамида»                                                                                          -31-                                                                                                            

2.12 Цилиндр. Конус. Шар.                                                                  -35-

Пояснительная записка.

Курс математики – один из базовых курсов, на которые опираются общепрофессиональные и специальные дисциплины, дисциплины специализации.

Для закрепления теоретических знаний и приобретения необходимых практических умений программной дисциплины по математике предусматриваются практические занятия, которые рекомендуются проводить после изучения соответствующей темы.

 Данная методическая разработка составлена для преподавателей  математики для оказания методической помощи для выдачи заданий студентам 1 курса колледжей и техникумов.  В данной методической разработке предложены такие темы, как вычисление пределов, раскрытие неопределенностей, линейные уравнения и неравенства, преобразование выражений, содержащих радикалы и степени с дробными показателями, иррациональные уравнения, корень п-ой степени и его свойства,         определение и свойства логарифма, логарифмические и  показательные уравнения, пирамида, цилиндр, конус, шар.                        

В результате решения практических заданий студент должен иметь представление:

о роли и месте математики в современном мире, общности ее понятий и представлений;

о методах решения некоторых практических задач с использованием элементов математического анализа.

Знать:

базовые понятия дифференциального исчисления;

способы решения простейших видов показательных и логарифмических уравнений;

способы решения простейших и иррациональных уравнений;

способы раскрытия неопределенностей при вычислении пределов;

2. Проверочные задания по темам:

2.1 Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей

Найти пределы функций

вариант 1.

2.1 Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей

Найти пределы функций

вариант 2.

2.1 Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.

Найти пределы функций

вариант 3.

2.1 Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей.

Найти пределы функций

вариант 4.

2. 2 Линейные уравнения и неравенства

Решить неравенства:

Вариант 1

Решить уравнения:

2.2 Линейные уравнения и неравенства

Решить неравенства:

Вариант 2

Решить уравнения:

2.2 Линейные уравнения и неравенства

Решить уравнения:

Вариант 3

Решите неравенства:

2.2 Линейные уравнения и неравенства

Решить уравнения:

Вариант 4.

Решить неравенства:

2.3 Преобразование выражений, содержащих радикалы

и степени с дробными показателями.

Упростите выражения:

2.4 Иррациональные уравнения

Решить уравнения:

2.5 Корень п-ой степени и его свойства

1 вариант.

1. Вычислить:
2. Найдите значение числового выражения:

3. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:

4. Найдите значение выражения:

5. Выполнить действия:
6. Решить уравнения:

2.5 Корень п-ой степени и его свойства

2 вариант.

1. Вычислить:
2. Найдите значение числового выражения:

3. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:

4. Найдите значение выражения:

5. Выполнить действия:
6. Решить уравнения:

2.5 Корень п-ой степени и его свойства

3 вариант.

1. Вычислить:
2. Найдите значение числового выражения:

3. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:

4. Найдите значение выражения:

5. Выполнить действия:
6. Решить уравнения:

2.5 Корень п-ой степени и его свойства

4 вариант.

1. Вычислить:
2. Найдите значение числового выражения:

3. Представьте выражение в виде дроби, знаменатель которой не содержит знака корня:

4. Найдите значение выражения:

5. Выполнить действия:
6. Решить уравнения:

2.6 Определение и свойства логарифма

Вычислить логарифмы:

Вычислите:

Свойства логарифмов

Вычислите:

Найдите А по его логарифму:

2.7 Логарифмические уравнения

Решите уравнения:

2.7.  Логарифмические уравнения

Вариант 1

Решить уравнение:

Дополнительные задания:

2.7. Логарифмические уравнения

Вариант 2

Решить уравнение:

Дополнительные задания:

2.7. Логарифмические уравнения

Вариант 3

Решить уравнение:

Дополнительные задания:

2.7. Логарифмические уравнения

Вариант 4

Решить уравнение:

Дополнительные задания:

2. 8. Практикум по решению показательных уравнений

Вариант №1

Решите уравнения

2х=4
3х=81
4х=2

5х= ;
=4;
7х=1

=25;
7–х= –;

=1
26–х =23х–2 
2х – 2х–2 =3

3х+3– 2•3х–1–4•3х–2 =17

Решите уравнение вынесением за скобки

2х+2х–1 +2х–2 56

10х+10х–1=1100

3х+33–х=12

Решите уравнение графически

2х=х–1

2.8. Практикум по решению показательных уравнений

Вариант №2

9х=27
3х=9
4х=64

6х= ;
=27;
8х=1

=36;
8–х= –;

=1
35–х=32х–1 
5х+1 – 5 =500

2•3х+1 +2•32–х =56

Решите уравнение вынесением за скобки

2•33х–1+27х–2/3 = 9х–1+2•32х–1

6х+6х+2=222

Решите уравнение графически

0,5х =2х

2.8. Практикум по решению показательных уравнений

Вариант №3

5х=25
6х=216
100х=10000

8х= ;
=125;
5х=1

=16;
5–х= –;

=1
49–х =42х–7 
3х–2 – 3х–3 =36

2х + 2х–1 +2х–2 =3х–3х–1+3х–2

Решите уравнение вынесением за скобки

3х+1 –4:3х–1 =45

2х+2х+2=40

22х+6+2х+7=17

Решите уравнение графически

х =3х–2

2.9. Показательные уравнения

вариант 1

Решить показательные уравнения:

2.9. Показательные уравнения

вариант 2

Решить показательные уравнения:

2.9. Показательные уравнения

вариант 3

Решить показательные уравнения:

2.9. Показательные уравнения

вариант 4

Решить показательные уравнения:

2.10. Правильная пирамида

Задача № 1

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 5 см., а высота – 3 см. Найдите площадь полной поверхности.

Задача № 2

Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна 5 см, а высота – 4 см. Найдите площадь боковой поверхности.

Задача № 3.

В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 600. Расстояние от вершины основания до боковой грани равно 3. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Задачи № 4

В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 600, а расстояние от середины стороны основания до противоположной боковой грани равно 4. Найдите площадь боковой поверхности.

2.11. Индивидуальная контролирующая проверочная работа.

Вариант  1

1. Найдите высоту правильной шестиугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, апофема h

2. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, а высота h. Определить полную поверхность пирамиды.

3. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой боковая поверхность равна
   60 см2, а полная поверхность 108 см2.

2.11. Индивидуальная контролирующая проверочная работа по теме: «Пирамида»

Вариант  2

1. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а апофема h.

2. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол в 600. Найдите боковую поверхность пирамиды.

3. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой площадь основания равна
   27см2, а полная поверхность 72см2.

2.11. Индивидуальная контролирующая проверочная работа по теме: «Пирамида»

Вариант  3

1. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а. Двугранные углы при основании равны . Определите полную поверхность.

2. Найдите величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 300.

3. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой площадь основания равна
   27см2, а полная поверхность 72см2.

2.11. Индивидуальная контролирующая

проверочная работа по теме: «Пирамида»

Вариант 4

1. Найдите величину двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 600.

2. Высота боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см. Определите полную поверхность пирамиды, если боковая грань наклонна к плоскости основания под углом 600. 

3. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, у которой боковая поверхность равна
   60см2,  а полная поверхность 108см2. 

2.12. Задания по теме: «Цилиндр. Конус. Шар».

Вариант 1

1. Длина окружности основания цилиндра равна 12, высота 10 см. Найти объем цилиндра.

2. Осевым сечением конуса является правильный треугольник. Образующая конуса равна 6v3. Вычислить высоту конуса.

3. Через середину радиуса шара проведено сечение, найти площадь, если радиус шара равен 6 см.

2.12. Задания по теме: «Цилиндр. Конус. Шар».

Вариант 2

1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, площадь которого 8 см2. Вычислите боковую поверхность цилиндра.

2. Осевым сечением конуса является правильный треугольник, площадь которого 64 см2 . Найти объем цилиндра.

3. Осевым сечением цилиндра является квадрат, площадь которого 64 см2 . Найти объем цилиндра.

2.12. Задания по теме: «Цилиндр. Конус. Шар».

Вариант 3

1. Длина окружности основания цилиндра равна 12, высота 10 см. Найти объем цилиндра.

2. Осевым сечением конуса является правильный треугольник. Образующая конуса равна 6v3. Вычислить высоту конуса.

3. Через середину радиуса шара проведено сечение, найти площадь, если радиус шара равен 6 см.

2.12. Задания по теме: «Цилиндр. Конус. Шар».

Вариант 4

1. Осевым сечением цилиндра является квадрат, площадь которого 8 см2. Вычислите боковую поверхность цилиндра.

2. Осевым сечением конуса является правильный треугольник, площадь которого 64 см2 . Найти объем цилиндра.

4. Осевым сечением цилиндра является квадрат, площадь которого 64 см2 . Найти объем цилиндра.

Список литературы:

1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л.

Математика: Учеб. Пособие для техникумов.- М.:

Высшая школа, 2005

2.  Алгебра и начала анализа.  Учебник для 10-11 кл. средней школы./  А.М. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред. А.Н. Колмогоров.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2008.

3.  Апанасов П.Т., Орлов М.И.

Сборник задач по математике: Учебное пособие для техникумов.- М.: Высшая школа, 1987.

4.  М.И.Башмаков.

Математика.- 2-е издание- М.: «Высшая школа». Учебное пособие для профессионально- технических училищ, 2001

5.  Геометрия:  Учебник для 10-11 кл. средней школы/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.- М.: Просвещение, 2008          

Задания  по математике  по теме:

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

 вариант 1.

Задания по математике  по теме:

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

 вариант 2.

Задания по математике  по теме:

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

 вариант 3.

Задания по математике  по теме:

«Вычисление пределов. Раскрытие неопределенностей»

 вариант 4.

Задания по математике  по теме:

 « Показательные уравнения»

вариант 1

Решить показательные уравнения:

Задания по математике   по теме:

« Показательные уравнения»

вариант 2

Решить показательные уравнения:

Задания по математике   по теме:

« Показательные уравнения»

вариант 3

Решить показательные уравнения:

Задания по математике   по теме:

« Показательные уравнения»

вариант 4

Решить показательные уравнения:

Задания по математике   по теме:

« Показательные уравнения»

вариант 5

Решить показательные уравнения:

Задания по математике   по теме:

« Показательные уравнения»

вариант 6

Решить показательные уравнения:

Задания по математике   по теме:

« Показательные уравнения»

вариант 7

Решить показательные уравнения:

Задания по математике   по теме:

 « Показательные уравнения»

вариант 8

Решить показательные уравнения:

Задания по математике   по теме:

« Показательные уравнения»

вариант 9

Решить показательные уравнения:

Задания по математике   по теме:

« Показательные уравнения»

вариант 10

Решить показательные уравнения:

Пояснительная записка.

Изучение способностей к усвоению математики  у учащихся старших классов  представляет теоретический и практический интерес.  Математика - один из основных предметов школьного курса, приобретающий особое значение в связи с гигантским техническим прогрессом. Данная методическая разработка   разраб отана в соответствии с идеей реализации методов формирования у учащихся старших  классов умений и навыков решать базовые виды задач с модулем.

Задачи с модулем  представляют для учащихся  наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу  экзаменов.

Однако в учебниках алгебры крайне мало задач, содержащих модули, а эти задачи стали вызывать повышенный интерес не только у сильных учащихся, но и увлекать тех ребят, которые достаточно хорошо владеют программой математики.

Специфика задач c модулем  заключается в частном изобилии возможных вариантов и подвариантов, на которые распадаются основной ход решения в особых, допустимых и недопустимых значений модуля, в необходимости иногда выполнять большой объем работы по "собиранию" и систематизации ответа.

Таким образом, основные цели методической разработки таковы:

– повысить математическую культуру учащихся при решении  задач с модулем  в рамках основного  курса математики;
– облегчить процесс обучения учеников методам решения как базовых видов задач c  модулем, так и более сложных нестандартных задач.

–повысить логическое мышление учащихся;
В результате изучений методической разработки учащиеся должны уметь:

– четко и последовательно сохранять равносильность решаемых уравнений и неравенств с модулем с учетом области определения выражений;
– учитывать выполнимость всех производимых операций;
– осознавать, распознавать и создавать собственные алгоритмы решения  уравнений с модулем.

Методические рекомендации для учащихся при решении уравнений и неравенств со знаком модуля

Определение:

 Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется неотрицательное число, взятое из двух чисел а или –а.

Обозначение модуля числа: | а |.

Из определения следует: | а |  =

Примеры: 

=

Противоположные числа имеют равные модули, т.е.

Расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число, рассматривается всегда как величина неотрицательная.

Это можно считать геометрической интерпретацией модуля числа а.

Если | а | = 3, то а = 3.

Уравнения и неравенства, содержащие модуль, решаются с использованием аналитического определения модуля, а так же и с использованием его геометрического смысла.

Уравнения вида | f(x)| = b, bR

При b<0 решений нет,

При b=0 имеем f(x)=0,

При b>0 уравнение | f(x)| =b равносильно совокупности двух уравнений

Пример: | х-4| =3

откуда х = 7 и х = 1.

Второй способ. Пользуясь тем, что модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа, можно это уравнение решить так:

Прочитаем это соотношение так: расстояние от точки х до точки 4 равно 3. Откладываем на числовой прямой от точки 4 отрезок длиной 3 (в обе стороны)

Получим ответ: 7 и 1.

Уравнение вида f(| x| )=g(x), где f(x) и g(x) некоторые рациональные выражения

Уравнение равносильно совокупности систем:      и

Пример: решить уравнение х+    - 6=0

Данное уравнение равносильно совокупности систем:

и

Уравнение имеет два решения: -3 и 2.

Решением уравнения являются числа 3 и –2.

Решением первой системы совокупности является неотрицательное число х=2.

Решением второй системы совокупности есть число –2.

Следовательно, решением данного уравнения являются два числа: 2 и –2.

Замечание:

Данное уравнение можно решать, используя метод замены неизвестного.

Пусть | х| =t, тогда

и уравнение можно записать так:

Решая его, находим корни. Это числа -3 и 2.

Берем только 2. Имеем | х| =2, т.е. х=.

Уравнение вида | f(x)| =g(x)

Уравнение равносильно совокупности систем: и

Пример: | 2х-5| =х-1

и

и

и

Числа х=4 и х=2 удовлетворяют данному уравнению.

Второй способ. Уравнение | f(x)| =g(x) равносильно совокупности систем:

и

Замечание: Если в уравнении | f(x)| =g(x) функция f(x) имеет более простой вид, чем g(x), то целесообразнее решать первым способом, а если более простой вид имеет функция g(x), то уравнение целесообразно решать вторым способом.

Уравнение вида | f1(x)| +| f2(x)| +…| fn(x)| =g(x)

Такие уравнения проще решать методом интервалов. Для этого находят сначала все точки, в которых хотя бы одна из функций | f1(x)| +| f2(x)| +…| fn(x)| меняет знак. Эти точки делят область допустимых значений уравнения на промежутки, на каждом из которых эти функции сохраняют знак. Затем, используя определение модуля, переходят от данного уравнения к совокупности систем, не содержащих знак модуля.

Пример: 

| 2х-3| +| х-3| =| 4х-1|

2х-3=0, х=1,5,

х-3=0, х=3,

4х-1=0, х=0,25

Вся числовая прямая разбивается на четыре промежутка.

х = -5

2) х = 1

3) Нет решений

4) Нет решений

Ответ: -5 и 1.

Пример: | | х-1| +2| =1

Можно при решении данного уравнения ввести вспомогательную переменную | х-1| = у. Тогда будем иметь простейшее уравнение | у+2| =1. Это уравнение решаем так:

Получаем:

Данные уравнения решения не имеют, т.к. модуль числа неотрицателен.

Ответ: решений нет.

Пример: 

| 2х+1| =4

Это уравнение можно решить, если свести его к решению совокупности двух систем.

Второй способ. Решить можно, исходя из геометрического смысла модуля.

| 2х+1| =4, | 2х-(-1)| =4, | 2(х-(-1/2))| =4,

2| (х-(-1/2))| =4, | х-(-1/2)| =2

Используем числовую прямую.

=-2,5, х=1,5.

Пример: Решить систему

Из второго уравнения выразим | у+1| и подставим в первое уравнение.

Получим систему:

Ответ: (4; 2), (4; -4)

Решение неравенств, содержащих знак модуля

Неравенства вида  |f(x)| < a, где а – действительное  неотрицательное число.

По определению модуля:

если f(x) ≥ 0, то f(x) < a или 0≤ f(x) < a,

если f(x) < 0, то - f(x) < a или –а < f(x) < 0

Отсюда следует, что данное неравенство равносильно неравенству

–а < f(x) < a

Неравенства вида  |f(x)| > b, где b – действительное  неотрицательное число.

Если |f(x)| > b, то, по определению модуля, f(x) > b, если если f(x) ≥ 0 и  

- f(x) >b, если  f(x) < 0 или   f(x) < - b, откуда следует, что данное неравенство равносильно  совокупности  неравенств f(x) > b  и f(x) < -b

Примеры:

1) | 2х-5| <7

-7 < 2x-5 < 7

-2 < 2x < 12

-1 < x < 6

Ответ: (-1;6).

2) | x-3| >1

x-3 >1   и   x-3 < -1

x > 4   и   x < 2

Ответ: 

3. Неравенство вида f(| x| )

Неравенство равносильно совокупности двух систем:
и 

3) Решить неравенство:

Данное неравенство равносильно совокупности систем:

и

);

Решаем первую систему:

2

Решая вторую систему, получаем:

-3

Ответ: 

Неравенство можно решать и при помощи замены переменной.

t = |x|,  x2 = |x| = t2,  t2 - 5t + 6 < 0  и т.д.

4. Неравенство вида | f(x)|
Данное неравенство равносильно системе:

Для тех х, при которых ,  эта система, (а значит и данное неравенство),  решений не имеет.

4) Решить неравенство:

Данное неравенство равносильно системе:

   2 < x < 5

Ответ: (2; 5)

Второй способ: Неравенство равносильно совокупности двух систем

Решим первую систему:

Решение первой системы:

Решим вторую систему:

Решением этой системы является 2 < x < 3

Ответ:

Третий способ: Находим точки, в которых функция y = x - 2x -3 меняет знак.

Отмечаем их на числовой прямой и решаем неравенство на каждом промежутке.

5. Решение неравенства вида | f(x)| >g(x)
Неравенство вида | f(x)| >g(x) , где f(x) и g(x)- выражения, зависящие от х, равносильно совокупности двух неравенств f(x)>g(x) и , f(x)<-g(x),   т.е.

5) Решить неравенство

Находим точки, в которых хотя бы одна из функций , меняет знак: х=1, х=5.

Отмечаем их на числовой прямой и рассмотрим неравенство на каждом из трех промежутков: .

Заданное неравенство равносильно совокупности трех следующих систем неравенств:

Решение первой системы х<-1, вторая система не имеет решений и решение третьей системы х > 7

Ответ:

6) Решить неравенство: | | 2х+1| -5| >2

Решение:

Для упрощения решения введем новую переменную | 2х+у| =у

Будем иметь неравенство вида: | у-5| >2,

Тогда: у-5>2 и у-5<-2

y>7 и у<3

| 2х-1| <3 и | 2х+1| >7

Решаем неравенство: | 2х-1| <3

-3<2x+1<3

-4<2x<-2

-2

Решаем неравенство: | 2х+1| >7

2x+1>7 и 2x+1<-7

2x>6 и 2x<-8

x>3 и x<-4

Ответ: 

7) Решить неравенство:

Решение:

Неравенство равносильно совокупности двух систем:

Решаем первую систему:

или

Решая вторую систему, получим:

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

1. |2x-3|=11

2. |2x-5|=5-4x

3. |4x-3|=4x-3

4. |x+2|+|x-3|=5

5. |x+1|-|x-2|+|3x+6|=5

6. 2u+v=7

    |u-v|=2

7. 3|x+1|+2|y-2|=20

    x+2y=4

8. 1+2|sinx|=2cos2x

9. x+1|+|y+1|=8

   2x-|y+1|=5

10. |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2