Материалы по предмету "Геометрия"

Слайд 2

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника, – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками. боковые грани основание вершина боковые ребра S А B C D E

Слайд 3

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. В правильной пирамиде все боковые грани – равные равнобедренные треугольники . Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды. А В С D S Н О S п= S осн+ S б.п.

Слайд 4

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. O S C D В А ABCD – основание SO – высота A C D S B E F A C D S B ∆ SDB – диагональное сечение пирамиды SABCD.

Слайд 5

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему Док – во: S бок = (½al + ½al + ½al + … ) = = ½ l (a + a + a + …)= ½Pl А В С D S Н О S бок = ½ P осн  SH l

Слайд 6

Построение правильных пирамид O S А В D C M O А С В S M M A D C B E F S O

Слайд 7

Усеченная четырехугольная пирамида В А С О 1 A 1 C 1 D 1 B 1 D О Апофема Верхнее основание Нижнее основание Боковые грани (трапеции)

Слайд 8

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему . S бок =½ ( P 1осн. + P 2 осн. )  l Док – во: S бок = (½(a+b)l + ½(a+b)l + +½(a+b)l + … ) = = ½ l ( (a+a+…)+(b+b+…) ) = =½ ( P 1осн. + P 2 осн. )  l В 1 А 1 С 1 О A C D B D 1 О 1 l a b

Слайд 1

Слайд 2

Определение сферы R Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О). Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра. т. О – центр сферы О D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. D = 2R Параллель (экватор) меридиан диаметр R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

Слайд 3

Окружность и круг Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. r d r Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r – радиус; d – диаметр

Слайд 4

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R. Шар

Слайд 5

Исторические сведения о сфере и шаре Оба слова « шар » и « сфера » происходят от греческого слова «сфайра» - мяч. В древности сфера и шар были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы. Пифагорейцы в своих полумистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы». Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер. Сфера, шар всегда широко применялись в различных областях науки и техники.

Слайд 9

Уравнение окружности С(х 0 ;у 0 ) М(х;у) х у О следовательно уравнение окружности имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2 Зададим прямоугольную систему координат О xy Построим окружность c центром в т. С и радиусом r Расстояние от произвольной т. М ( х;у) до т.С вычисляется по формуле: МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 МС = r , или МС 2 = r 2

Слайд 10

Уравнение сферы (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2 х у z М(х;у ;z ) R Зададим прямоугольную систему координат О xyz Построим сферу c центром в т. С и радиусом R МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 МС = R , или МС 2 = R 2 C(x 0 ;y 0 ;z 0 ) следовательно уравнение сферы имеет вид:

Слайд 11

Взаимное расположение окружности и прямой r d Если d < r , то прямая и окружность имеют 2 общие точки. d = r d > r Если d = r , то прямая и окружность имеют 1 общую точку. Если d > r , то прямая и окружность не имеют общих точек. Возможны 3 случая

Слайд 12

α C (0 ;0; d) Взаимное расположение сферы и плоскости В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая… х у z O Введем прямоугольную систему координат Oxyz Построим плоскость α , сов-падающую с плоскостью Оху Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0; d) , где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α .

Слайд 13

α C (0 ;0; d) Сечение шара плоскостью есть круг. х у z O r Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 1 случай d < R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r . r = R 2 - d 2 М С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной . Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

Слайд 14

α C (0 ;0; d) d = R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку х у z O Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 2 случай

Слайд 15

α C (0 ;0; d) d > R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. х у z O Взаимное расположение сферы и плоскости Рассмотрим 3 случай

Слайд 16

Площадь сферы Площадь сферы радиуса R : S сф =4 π R 2 Сферу нельзя развернуть на плоскость. Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней. За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга S шара =4 S круга

Слайд 1

Слайд 2

Определение цилиндра. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов , не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

Слайд 3

Цилиндрическая поверхность A B M N P Q N M α Круговой цилиндр О О 1 Прямой цилиндр ВИДЫ ЦИЛИНДРА

Слайд 4

Элементы цилиндра. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

Слайд 5

X X′ Y′ Y 1) Основания равны и параллельны 2) Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу 3) все высоты цилиндра параллельны и равны друг другу. P Q N M α Перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания цилиндра на плоскость другого его основания, называется высотой цилиндра. СВОЙСТВА ЦИЛИНДРА

Слайд 6

О О′ α′′ α′ α F′′ F′ F Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник и называется осевым Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра то сечение является кругом. Если секущая плоскость не перпендикулярна к оси цилиндра и имеет не более одной общей точки с каждым из оснований, то сечение является эллипсом СЕЧЕНИЯ ЦИЛИНДРА

Слайд 7

S полн = S бок + 2 S осн S осн =  R 2 S бок = 2  RH S полн = 2  RH + 2  R 2 S полн = 2  R ( R + H ) ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА

Слайд 8

h r h r h r Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. V = πr²h. ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА

Слайд 1

Слайд 2

История развития геометрии уходит своими корнями в глубокую древность. Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление камышовых циновок, корзин, тканей, а позже – обработка металлов, все это вырабатывало представление о плоскостных и пространственных отношениях.

Слайд 3

Свое начало история развития геометрии, как науки, берет в Древнем Египте около 4 тысяч лет назад.

Слайд 4

Знания египтян позаимствовали древние греки, которые применяли их преимущественно для того, чтобы измерять площади земельных участков. Именно с Древней Греции берет свое начало история возникновения геометрии, как науки. Древнегреческое слово «геометрия» переводится, как «землемерие».

Слайд 5

В основу геометрической науки были положены простейшие геометрические свойства, взятые из опыта. Остальные положения науки выводились из простейших геометрических свойств с помощью рассуждений. Вся эта система была опубликована в завершенном виде в «Началах» Евклида около 300 года до нашей эры, где он изложил не только теоретическую геометрию, но и основы теоретической арифметики.

Слайд 6

Сочинение Евклида «Начала» почти 2000 лет служило основной книгой, по которой изучали геометрию. В «Началах» были систематизированы известные к тому времени геометрические сведения, и геометрия впервые предстала как математическая наука .

Слайд 7

История развития геометрии получила продолжение в середине III века до нашей эры благодаря великому Архимеду, который смог вычислит число Пи, а также смог определить способы вычисления поверхности шара. С их помощью он уже мог решать трудные практические задачи геометрии и механики, которые были важны для мореплавания и для строительного дела.

Слайд 8

Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, геометрия Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования.

Слайд 9

В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом: Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре). В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на одной прямой — «прямой Эйлера». Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера).

Слайд 10

Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий