Математика 5 класс

Административная контрольная работа по математике /5 класс / 23.12.2020

1. Решите уравнение:
а) 21+х=56
б) у-89=90

в) х∙14=112
г) 133:у=19
д) 7у – 39=717
е) х+3х=76

2. Найти значение выражения:
260+в – 160, если в=93

3.Найдите значение выражения:
а) 684∙397 - 584∙397=
б) 39∙58 – 9720:27+33=
в) 23 + 32=

4. Решить задачу с помощью уравнения.
В автобусе было 78 пассажиров. После того, как на остановке из него несколько человек вышли, в автобусе осталось 59 пассажиров. Сколько человек вышли из автобуса на остановке.

5. На отрезке MN =19, отметили точку К такую, что МК=15 и точку F такую, что FN=13. Найти длину отрезка KF.

6. Упростите выражение:
а) 24а+16+13а=
б) 25∙m∙16=

7. Задача. Коля задумал число, умножил его на 3 и от произведения отнял 8. Он получил 50. Какое число задумал Коля?

8. Задача. Длина прямоугольного участка земли 125 м, а ширина 96 м. Найдите площадь поля и выразите её в арах.

9. Используя формулу пути s=v∙t, найдите:
а) путь, пройденный автомашиной за 3 ч, если её скорость 80 км/ч,
б) время движения катера, прошедшего 90 км со скоростью 15 км/ч

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Административная контрольная работа по математике в 5 классе

1. а) Сравни числа: 3,258 и 4,2

6,381 и 6,4

 0,95 и 0,9499.

б) Вырази в метрах: 3 м 321 мм

 5 м 80 мм

 473 мм 5 мм.
2. Выполни действия:

а) 17,5 + 2,13

б) 0,39 + 0,046

 в) 96,2 — 4,09

г) 6 — 3,54.
3. Округли: до единиц:

 а) 5,23=

 20,734=

361,54 =

0,35=

б) до сотых.0,622;    15,237;     4,3651   и   0,007

4. Собственная скорость теплохода 53,2 км/ч. Скорость теплохода против течения реки 50,5 км/ч. Найди скорость теплохода по течению.

5. Запиши четыре значения а, при которых верно неравенство 0,33 < а < 0,36.

6. Выполни действия:

а) 0,738 • 9,7=

 б) 3,6 • 5,125=

 в) 0,081 • 0,1=

г) 28,13 : 9,7=

д) 0,0988 : 0,0095=

е) 0,052 : 0,01=
7. Найди значение выражения 575,4 — 4,3 • 8,8 + 9 : 0,18=

Ментальная арифметика (быстрый счёт) онлайн - тренажёр и теория

Настоящий курс ментальной арифметики (быстрого счёта) основан на наиболее эффективных приёмах быстрого счета, разработанных профессиональными математиками.

Если вы хотите научиться выполнять арифметические операции исключительно в уме с поразительной скоростью, а также овладеть математическими трюками, которые дадут вам преимущества в повседневной жизни и удивят ваших друзей, то этот курс для вас.

В отличие от активно рекламируемых платных курсов ментальной арифметики с использованием абакуса, предлагаемая методика подразумевает творческий подход к изучению приёмов быстрого счёта, что ведёт к развитию мышления и памяти.

Каждый из уроков курса состоит из теоретической части и практических занятий на онлайн-тренажёре.

Данный курс ментальной арифметики подходит как для взрослых, так и для детей.

Содержание курса «Ментальная арифметика онлайн»

Урок 1: Умножение двузначных чисел на 11

Урок 2: Сложение двузначных чисел

Урок 3: Сложение трёхзначных чисел

Урок 4: Вычитание двузначных чисел

Урок 5: Вычитание трёхзначных чисел

Урок 6: Умножение двузначных чисел на однозначные

Урок 7: Сложение четырёхзначных и трёхзначных чисел

Урок 8. Вычитание трёхзначных чисел из четырёхзначных

Урок 9. Умножение трёхзначных чисел на однозначные

Урок 10. Умножение двузначных чисел

Урок 11. Возведение двузначных чисел в квадрат

Урок 12. Возведение трёхзначных чисел в квадрат

Урок 13. Умножение четырёхзначных чисел на однозначные

Урок 14. Возведение двузначных чисел в куб

Урок 15. Деление трёхзначных чисел на однозначные

Урок 16. Деление четырёхзначных чисел на однозначные

Урок 17. Деление трёхзначных чисел на двузначные

Урок 18. Деление четырёхзначных чисел на двузначные

Урок 19. Возведение четырёхзначных чисел в квадрат

Урок 20. Умножение трёхзначных чисел на двузначные

Урок 21. Умножение пятизначных чисел на однозначные

Урок 22. Умножение трёхзначных чисел

Урок 23. Определение дня недели по дате

Умножение двузначных чисел на 11 | Теория

Начнём наш курс с эффектного трюка умножения на 11, чтобы вы сразу почувствовали силу ментальной арифметики. Это очень легко, если вы знаете секрет!

Задача: 26 x 11

Чтобы решить эту задачу, просто сложите первую и вторую цифры двузначного числа, умножаемого на 11, 2 + 6 = 8, и поместите результат между этими же цифрами: 286.

Однако вышеуказанное правило работает только в том случае, если сумма первой и второй цифры двузначного числа, умножаемого на 11, является однозначным числом (не больше 9).

В случае, если сумма первой и второй цифры двузначного числа, умножаемого на 11, окажется двузначным числом (больше 9), между первой и второй цифрами двузначного числа, умножаемого на 11, поместите вторую цифру суммы, а к первой цифре прибавьте единичку.

Проиллюстрируем это на задаче: 48 x 11

4 + 8 = 12

(4+1)28 = 528

Математическое доказательство применяемых правил при умножении двузначного числа на 11:

Допустим, имеется двузначное число ХY, первый знак которого - X, а второй – Y.

Умножаем двузначное число на 11 и преобразовываем выражение:

Согласно правилам сложения столбиком, если (X + Y) равно или больше 10, то в разряд десятков пишем вторую цифру суммы, а единичку прибавляем к сотням.

Сложение двузначных чисел | Теория

Один из базовых принципов ментальной арифметики: Упрощайте задачу, разбивая её на более простые для решения задачи.

Чтобы сложить два двузначных числа, сначала прибавьте к первому числу десятки второго числа, а затем прибавьте к получившейся сумме единицы второго числа (сложение «слева направо»*)

Задача: 34 + 23

Решение:

34 + 23(20+3)

34 + 20 = 54; 54 + 3 = 57

Задача: 84 + 49

Решение:

84 + 49(40+9)

84 + 40 = 124; 124 + 9 = 133

Если первое из двух чисел более простое (оканчивается на ноль [например, 30] или имеет небольшое количество десятков и единиц [например, 11]), то вы можете поменять числа местами, так как при совершении операций в уме за основу удобнее брать более сложное число. Однако вы должны с самого начала решить для себя, будете ли вы производить такую перестановку, и если да, то какие числа вы будете считать простыми, чтобы в дальнейшем не терять время на принятие решения.

Задача: 11 + 73

Решение:

73 + 11(10+1)

73 + 10 = 83; 83 + 1 = 84

Если одно из двух чисел заканчивается на 9, то удобнее увеличить его на единицу и прибавить его к другому числу, после чего уменьшить результат на единицу. Но, опять же, вы должны решить заранее, будете ли вы применять эту технику, чтобы в дальнейшем не тратить время на принятие решения.

Задача: 84 + 49

Решение:

84 + 50 – 1

84 + 50 = 134; 134 – 1 = 133

Возможно, что на первых порах вы столкнётесь с проблемой удержания промежуточных результатов в уме, но не беспокойтесь по поводу этого. Со временем, если вы будете регулярно практиковать ментальную арифметику, вы начнёте видеть или слышать** эти числа в своём уме, автоматически сохраняя промежуточные результаты операций в своей памяти.

* Почему при рассчётах в уме предпочтительно сложение «слева направо»?

В школе нас учили производить вычисления на бумаге «справа налево». Такая методика оптимальна для вычислений на бумаге, но для выполнения операций в уме предпочтительна техника «слева направо». Дело в том, что вы читаете и произносите цифры слева направо. Поэтому для вас более естественно и проще производить вычисления «слева направо». Даже если для вас сейчас эта техника неудобна, со временем вы оцените её преимущества.

** Каким образом мы представляем числа в своём разуме?

Одни люди представляют числа на слух, а другие – зрительно. Как показывает практика, первых людей намного больше.

Допустим, вам продиктовали номер телефона, и вы хотите сохранить его в памяти до тех пор, пока не запишите его в свой сотовый телефон или блокнот. Что вы делаете? Если вы время от времени повторяете номер в уме или вслух, то у вас больше развита слуховая память, а если вы периодически или постоянно представляете зрительный образ числа, то вы отличаетесь хорошей зрительной памятью.

Сложение трёхзначных чисел | Теория

Чтобы сложить два трёхзначных числа, сначала прибавьте к первому числу сотни второго числа, затем прибавьте к получившейся сумме десятки второго числа и, наконец, прибавьте к результату единицы второго числа (сложение «слева направо»).

Задача: 873 + 243

Решение:

873 + 243(200+40+3)

873 + 200 = 1073; 1073 + 40 = 1113; 1113 + 3 = 1116

Если первое из двух складываемых чисел более простое (круглое число* [например, 300] или с небольшим количеством сотен, десятков и единиц [например, 112]), то можете поменять числа местами.

Задача: 203 + 678

Решение:

678 + 203(200+3)

678 + 200 = 878; 878 + 3 = 881

Если одно из двух складываемых чисел при прибавлении к нему небольшого количества единиц даёт в результате круглое число, то сначала удобнее прибавить это круглое число, а потом отнять прибавленные единицы.

Задача: 481 + 397

Решение:

481 + 397(400-3) = 481 + 400 - 3

481 + 400 = 881; 881 – 3 = 878

Чтобы сложить трёхзначное число и двузначное число, сначала прибавьте к трёхзначному числу десятки двузначного числа, а затем прибавьте к получившейся сумме единицы двузначного числа.

Если перед вами стоит задача прибавить к двузначному числу трёхзначное число, то сначала поменяйте числа местами, так как при совершении операций в уме за основу удобнее брать более сложное число.

* Какое число называется круглым?

Круглым числом называется число, которое имеет один или более нулей в правой части.

Вычитание двузначных чисел | Теория

Также как и со сложением, мы разбиваем задачу вычитания двузначных чисел на две более простые задачи.

Задача: 74 – 23

Решение:

74 – 23(20+3) = 74 - 20 - 3

74 – 20 = 54; 54 – 3 = 51

Если вторая цифра (количество единиц) вычитаемого числа больше второй цифры (количества единиц) числа, из которого производится вычитание, то такую задачу удобнее решать с помощью «заимствования». Суть этого метода заключается в 1) увеличении вычитаемого числа до круглого числа, 2) вычитании этого круглого числа и 3) уменьшении результата на ранее прибавленные («заимствованные») цифры.

Задача: 74 – 29

Вторая цифра вычитаемого числа больше второй цифры числа, из которого производится вычитание (9 > 4). Поэтому применяем метод «заимствования»*.

74 – 29(30-1) = 74 – 30 + 1

74 – 30 = 44; 44 + 1 = 45

* Для большинства из нас складывать числа проще, чем вычитать, особенно если вычитаемое число не является круглым. Метод «заимствования» позволяет ограничить задачу вычитания сложного числа более простой задачей вычитания круглого (округлённого в большую сторону) числа с последующей корректировкой результата (путём прибавления «заимствованной» цифры).

Вычитание трёхзначных чисел | Теория

А) Если каждая из цифр вычитаемого числа меньше соответствующей цифры числа, из которого производится вычитание, то задачу удобно решать простым вычитанием «слева направо» (сначала отнимите сотни, затем десятки, и, наконец, единицы). Эта методика может применяться для всех случаев вычитания двузначных чисел, но, как будет показано дальше, в сложных случаях более эффективной может оказаться другая методика.

Задача: 784 – 342

Решение:

748 – 342(300+40+2) = 748 – 300 – 40 – 2

748 – 300 = 448; 448 – 40 = 408; 408 – 2 = 406

Такую задачу также удобно решать вычитанием соответствующих цифр двух чисел.

748 – 342 = (7-3)(4-4)(8-2) = 406

Б) Если в вычитаемом числе имеются цифры, которые больше соответствующих цифр числа, из которого производится вычитание, то задача усложняется, но и в этом случае имеется удобной способ быстрого решения такой задачи в уме с помощью метода «дополнения»:

1) округлите вычитаемое число в большую сторону до сотен;

2) отнимите округлённое число;

3) определите «дополнение» (см. ниже);

4) прибавьте к результату пункта 2 «дополнение».

Разница между округлённым числом и вычитаемым числом называется «дополнением».

Допустим, вычитаемое число равно 487. Округляя вычитаемое число в большую сторону до сотен, получаем число 500. «Дополнение» равно: 500 – 487 или, если проще: 100 – 87 (487 меньше 500 настолько, насколько 87 меньше 100).

Таким образом, «дополнение» легче представить как число, которое нужно прибавить к десяткам и единицам вычитаемого числа, чтобы в сумме получить 100.

Для вычисления в уме «дополнения» двузначного числа наиболее эффективна следующая методика*:

1) определите, какую цифру нужно прибавить к первой цифре числа, чтобы получить в сумме 9 (если число не заканчивается на 0) или 10 (если число заканчивается на 0);

2) определите, какую цифру нужно прибавить ко второй цифре числа, чтобы получить в сумме 10 (если число не заканчивается на 0); если число заканчивается на ноль, то искомая цифра также будет 0;

3) соединив найденные цифры, получите величину «дополнения».

Задача: найти дополнение числа 87

Решение:

8 + 1 = 9

7 + 3 = 10

13

С помощью метода «дополнения» решим задачу: 632 – 487

Решение:

1) округление 487 в большую сторону до сотен даёт 500;

2) отнимаем округлённое число: 632 - 500 = 132;

3) как было вычислено выше, «дополнение» равно 13;

4) прибавляем к результату пункта 2) дополнение: 132 + 13 = 132 + 10 + 3; 132 + 10 = 142; 142 + 3 = 145.

Решим ещё одну задачу: 841 - 268

Решение:

В вычитаемом числе имеются цифры, которые больше соответствующих цифр числа, из которого производится вычитание. Поэтому решим задачу с помощью метода «дополнения».

1) округление 268 в большую сторону до сотен даёт 300

2) отнимаем округлённое число: 841 - 300 = 541

3) определяем «дополнение»: 6 + 3 = 9; 8 + 2 = 10; 32

4) прибавляем к результату пункта 2) дополнение: 541 + 32 = 541 + 30 + 2; 541 + 30 = 571; 571 + 2 = 573.

* Математическое обоснование методики определения «дополнения» двузначного числа:

Допустим, имеется двузначное число ХY, первый знак которого - X, а второй – Y.

Если двузначное число, к которому определяется дополнение, не заканчивается на 0:

Согласно правилам вычитания столбиком, если Y больше 0 (Y равен любой цифре, кроме 0), то из разряда десятков отнимается единичка.

Если двузначное число, к которому определяется дополнение, заканчивается на 0:

Умножение двузначных чисел на однозначные | Теория

Умножение в уме двузначного числа на однозначное число* удобнее выполнять в следующем порядке:

умножить десятки двузначного числа на однозначное число;

умножить единицы двузначного числа на однозначное число;

сложить два результата.

Задача: 54 x 7

Решение:

(50+4) x 7

50 x 7 = 350; 4 x 7 = 28; 350 + 28 = 378[350+20=370;370+8=378]

Если двузначное число заканчивается на 9, то можно округлить двузначное число в большую сторону, затем умножить округлённое число на однозначное число и, наконец, уменьшить результат на однозначное число.

Задача: 49 x 7

Решение:

49(50-1) x 7

50 x 7 = 350; 350 – 7 = 343

* Если вам нужно умножить однозначное число на двузначное, то для решения такой задачи удобнее поменять числа местами.

Сложение четырёхзначных и трёхзначных чисел | Теория

Четырёхзначные и трёхзначные числа удобно складываются в уме «слева направо», подобно тому, как производилось сложение трёхзначных чисел в Уроке 3.

Задача: 3721 + 837

Решение:

3721 + 837(800+30+7)

3721 + 800 = 4521; 4521 + 30 = 4551; 4551 + 7 = 4558

Если трёхзначное число при прибавлении к нему небольшого количества единиц даёт в результате круглое число, то сначала удобнее прибавить это круглое число, а потом отнять прибавленные единицы.

Задача: 7534 + 298

Решение:

7534 + 298(300-2) = 7534 + 300 - 2

7534 + 200 = 7834; 7834 – 2 = 7832

Вычитание трёхзначных чисел из четырёхзначных | Теория

Задачу вычитания трёхзначного числи из четырёхзначного удобно решать в уме с помощью метода «дополнения», аналогично тому, как это делалось в Уроке 5:

1) округлите вычитаемое число в большую сторону до сотен;

2) отнимите округлённое число;

3) определите «дополнение»;

4) прибавьте к результату пункта 2 «дополнение».

Задача: 4523 – 732

Решение:

4523 – 800 + дополнение

4523 – 800 = 3723

Дополнение к 732 равно 68 (см. Урок 5)

3723 + 68 = 3791

Если каждая из цифр вычитаемого числа меньше соответствующей цифры числа, из которого производится вычитание, то задачу удобно решать простым вычитанием «слева направо» (сначала отнимите сотни, затем десятки, и, наконец, единицы). Возможно, что этим методом вам будет удобнее решать любую задачу вычитания трёхзначного числа из четырёхзначного.

Задача: 2659 – 431

Решение:

2659 – 431(400+30+1) = 2659 - 400 - 30 - 1

2659 - 400 = 2259; 2259 - 30 = 2229; 2229 - 1 = 2228

Такую задачу также удобно решать вычитанием соответствующих цифр двух чисел.

2659 – 431 = 2(6-4)(5-3)(9-1) = 2228

Умножение трёхзначных чисел на однозначные | Теория

Умножение в уме трёхзначного числа на однозначное число* удобнее выполнять в следующем порядке:

умножить сотни трёхзначного числа на однозначное число;

умножить десятки трёхзначного числа на однозначное число;

сложить два результата;

умножить единицы трёхзначного числа на однозначное число;

прибавить к сумме пункта 3 результат пункта 4.

Задача: 427 x 8

Решение:

(400+20+7) x 8

1) 400 x 8 = 3200

2) 20 x 8 = 160

3) 3200 + 160 = 3360;

4) 7 x 8 = 56

5) 3360 + 56 = 3416

В отдельных случаях задачу умножения трёхзначного числа на однозначное можно решить значительно быстрее:

а) трёхзначное число заканчивается на 11:

Задача: 711 x 7

Решение:

(700+11) x 7

700 x 7 = 4900

11 x 7 = 77

4900 + 77 = 4977

б) трёхзначное число заканчивается на 25:

Задача: 425 x 6

Решение:

(400+25) x 6

400 x 6 = 2400

25 x 6 = 150

2400 + 150 = 2550

* Если вам нужно умножить однозначное число на трёхзначное, то для решения такой задачи удобнее поменять числа местами.

10. Умножение двузначных чисел | Теория

В общем случае умножение в уме двузначных чисел удобно выполнять в следующем порядке:

за базовое (первое или находящееся слева) число примите число с наибольшей второй цифрой;

умножьте базовое (первое) двузначное число на десятки другого (второго) двузначного числа;

умножьте базовое (первое) двузначное число на единицы другого (второго) двузначного числа;

сложите два результата.

Задача: 42 x 36

Решение:

1) 36 x 42 (число 36 принято за базовое (первое) число, так как 6>1)

36 x 42(40+2)

2) 36 x 40 = (30+6) x 4 x 10

 30 x 4 = 120; 6 x 4 = 24; 120 + 24 = 144[120+20=140;140+4=144]; 144 x 10 = 1440*

3) 36 x 2 = (30+6) x 2

 30 x 2 = 60; 6 x 2 = 12; 60 + 12 = 72[60+10=70;70+2=72]

4) 1440 + 72 = 1752 [1440+70=1510;1510+2=1512]

Задача: 47 x 52

Решение:

1) 47 x 52 (число 47 принято за базовое (первое) число, так как 7>2)

2) 47 x 50 = 2350

3) 47 x 2 = 94

4) 2350 + 94 = 2444

Если одно из чисел заканчивается на 9, то задачу удобнее решать в следующем порядке:

за второе (находящееся справа) число примите число, заканчивающееся на 9;

округлите второе число в большую сторону до десятков, прибавив к нему 1;

умножьте первое число на округлённое второе число;

вычтите из результата пункта 3 первое число.

Задача: 39 x 56

Решение:

1) 56 x 39 (число 39 принято за второе (находящееся справа) число, так как оно заканчивается на 9)

2) 56 x 39(40-1)

3) 56 x 40 = (50+6) x 4 x 10

 50 x 4 = 200; 6 x 4 = 24; 200 + 24 = 224; 224 x 10 = 2240

4) 2240 - 56 = 2184[2240-50=2190;2190-6=2184]

Если одно из двузначных чисел равно 11, то решить такую задачу будет намного проще, если вы воспользуетесь методикой, изложенной в Уроке 1.

Во многих случаях решение задачи умножения двузначных чисел в уме намного упрощается, если воспользоваться методом факторизации.

Факторизация - это преобразование числа в произведение более простых чисел. Например, число 24 можно преобразовать в произведение 8 и 3 (24 = 8 x 3) или 6 и 4 (24 = 6 x 4). Число 24 также можно представить в виде произведения 12 и 2 (24 = 12 x 2), но при выполнении арифметических операций в уме удобнее иметь дело с однозначными числами.

Отдельные двузначные числа также можно представить в виде произведения трёх однозначных чисел. Например, 84 = 7 x 6 x 2 = 7 x 4 x 3.

Решим задачу умножения с помощью факторизации.

Задача: 34 x 42

Решение:

Факторизация числа 24 даёт 8 и 3 или 6 и 4. Для решения задачи представим число 24 в виде произведения 6 и 4, но, если вам удобнее, вы можете выбрать произведение 8 и 3.

34 x 24(6x4)

Умножаем первое число на 6, после чего умножаем результат на 4:

34 x 6 = 204[30x6=180;4x6=24;180+24=204]

204 x 4 = 816[200x4=800;4x4=16;800+16=816]

Чтобы знать, какие из двузначных чисел поддаются факторизации, необходимо тщательно изучить таблицу умножения. Можно выписать все двузначные числа, поддающиеся факторизации, с указанием возможных способов их факторизации.

Если оба из перемножаемых двузначных чисел поддаются факторизации, то в большинстве случае удобнее факторизовать меньшее число.

Задача: 36 x 72

Решение:

Число 36 можно представить в виде произведения 6 и 6, а число 72 - в виде произведения 9 и 8.

Так как 36 < 72, то удобнее факторизовать число 36.

72 x 36(6x6)

72 x 6 = 432[70x6=420;2x6=12;420+12=432]

432 x 6 = 2592[400x6=2400;30x6=180;2x6=12; 2400+180=2580;2580+12=2592]

Пример с факторизацией на три числа.

Задача: 57 x 75

Решение:

75 = 5 x 5 x 3

57 x 75(5x5x3)

57 x 5 = 285

285 x 5 = 1425

1425 x 3 = 4275

В случае, если одно из перемножаемых двузначных чисел состоит из одинаковых цифр (22, 33, 44 и т.д.), то его удобнее факторизовать на 11 и 2, 3, 4 и т.д.), так как умножение на 11 не представляет труда, как было показано в уроке 11.

Задача: 81 x 44

Решение:

81 x 44(11x4)

81 x 11 = 891;

891 x 4 = 3564

Если числа близки по значению с круглым числом, то при их перемножении в уме удобно пользоваться следующими формулами: (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a-b)C-ab**, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом.

Задача: 67 x 64

Решение:

(60 + 7) x (60 + 4) = (60 + 7 + 4) x 60 + 7 x 4 = 71 x 60 + 28 = 4260 + 28 = 4288

Задача: 39 х 38

Решение:

(40 - 1) x (40 - 2) = (40 - 1 - 2) x 40 + 1 x 2 = 37 x 40 + 2 = 1480 + 2 = 1482

Задача: 41 x 38

Решение:

(40 + 1) x (40 – 2) = (40 + 1 – 2) x 40 + 1 x 2 = 39 x 40 - 2 = 1558

Умножение двузначных чисел, первые цифры (десятки) которых равны, а вторые цифры (единицы) дают в сумме 10, удобнее производить в следующем порядке:

умножьте первую цифру двузначных чисел на эту же цифру, увеличенную на единицу;

перемножить вторые цифры двузначных чисел;

поместите один за другим результаты пункта 1 и пункта 2.

Задача: 76 x 74

Решение:

1) 7 x 8 = 56

2) 6 x 4 = 24

3) 5624

Не расстраивайтесь и не сдавайтесь, если на первых порах у вас возникнут трудности с умножением двузначных чисел. Для уверенного выполнения такой операции в уме необходима практика, а также творческий подход.

* Для запоминания в уме промежуточных результатов вычислений можете применять мнемотехники, основанные на ассоциации цифр с образами.

** Доказательства формул путём преобразования: (C+a)(C+b) = (C+a)C+(C+a)b = C2+Ca+Cb+ab = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a)C-(C-a)b = C2-Ca-Cb+ab = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a)C-(C+a)b = C2+Ca-Cb-ab = (C+a-b)C-ab.

*** Доказательство метода: согласно формуле, применяемой в предудущем методе (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; так как a+b=10, то (C+a)(C+b) = (C+10)C+ab; поскольку произведение двузначных круглых чисел С и С+10 даёт число с двумя нулями на конце, а произведение a и b даёт двузначное число, то для нахождения суммы этих двух выражений достаточно поставить произведение a и b вместо двух последних нулей первого выражения.

11. Возведение двузначных чисел в квадрат | Теория

Возводить в уме двузначные числа в квадрат – это просто, если вы знаете, как это делать*.

А) Если двузначное число заканчивается на 1, 2, 3 или 4, то возведение такого числа в квадрат удобно производить в следующем порядке:

округлите двузначное число до десятков в меньшую сторону (отнимите от двузначного числа 1, 2, 3 или 4);

увеличьте двузначное число на то же количество единиц (1, 2, 3 или 4), которое вы отняли в пункте 1;

перемножьте результаты пункта 2 и пункта 1;

прибавьте к результату пункта 3 квадрат количества единиц, на которое было уменьшено и увеличено двузначное число в пунктах 1 и 2.

Задача: 622

Решение:

1) 62 – 2 = 60

2) 62 + 2 = 64

3) 64 x 60 = (60 + 4) x 6 x 10

60 x 6 = 360; 4 x 6 = 24; 360 + 24 = 384[360+20=380;380+4=384]; 384 x 10 = 3840

4) 3840 + 22 = 3840 + 4 = 3844

Б) Если двузначное число заканчивается на 6, 7, 8 или 9, то возведение такого числа в квадрат удобно производить в следующем порядке:

округлите двузначное число до десятков в большую сторону (прибавьте к двузначному числу 4, 3, 2 или 1);

уменьшите двузначное число на то же количество единиц (4, 3, 2 или 1), которое вы прибавили в пункте 1;

перемножьте результаты пункта 2 и пункта 1;

прибавьте к результату пункта 3 квадрат количества единиц, на которое было уменьшено и увеличено двузначное число в пунктах 1 и 2.

Задача: 762

Решение:

1) 76 + 4 = 80

2) 76 - 4 = 72

3) 72 x 80 = (70 + 2) x 8 x 10

70 x 8 = 560; 2 x 8 = 16; 560 + 16 = 576[560+10=570;570+6=576]; 576 x 10 = 5760

4) 5760 + 42 = 5760 + 16 = 5776[5760+10=5770;5770+6=5776]

В) Если двузначное число заканчивается на 5, то возведение такого числа в квадрат удобно производить в следующем порядке:

округлите двузначное число до десятков в большую сторону (увеличьте число на 5);

округлите двузначное число до десятков в меньшую сторону (уменьшите число на 5);

перемножьте результаты пункта 1 и пункта 2;

прибавьте 25 к результату пункта 3.

Задача: 852

Решение:

1) 85 + 5 = 90

2) 85 - 5 = 80

3) 90 x 80 = 7200

4) 7200 + 25 = 7225

Г) Если двузначное число заканчивается на 0, то задача возведение такого числа в квадрат не представляет трудностей:

Задача: 702

Решение:

702 = 70 x 70 = 4900

* Возведение в уме двузначного числа в квадрат удобнее всего производить по формуле: Х2=(X+Y)(X-Y)+Y2, приняв за Х число, которое необходимо возвести в квадрат, а за Y – количество единиц, на которое нужно уменьшить или увеличить число X, чтобы получить округлённое до десятков (заканчивающееся на 0) число.

Доказательство формулы путём преобразования:

X2=(X+Y)(X-Y)+Y2=(X+Y)X-(X+Y)Y+Y2=(X2+XY)-(XY+Y2)+Y2=X2+XY-XY-Y2+Y2=X2

12. Возведение трёхзначных чисел в квадрат | Теория

Возведение в уме трёхзначных чисел в квадрат производится аналогичным образом, как и в случае с двузначными числами:

округлите трёхзначное число до сотен в ближайшую сторону;

скорректируйте трёхзначное число на ту же величину, что и в пункте 1, но в другую сторону;

перемножьте результаты пунктов 1 и 2;

прибавьте к результату пункта 3 квадрат величины, на которую производилась корректировка.

Задача: 4272

Решение:

1) 427 – 27 = 400

2) 427 + 27 = 454

3) 454 x 400 = 181600

4) 181600 + 272 = 181600 + 729 = 182329

Задача: 2682

Решение:

1) 268 + 32 = 300

2) 268 - 32 = 236

Результат этого пункта также можно определить, принимая в учёт, что последние цифры результата равны последним двум цифрам удвоенного трёхзначного числа*.

268 х 2 = 536 или, ещё проще, 68 х 2 = 136

3) 236 x 300 = 70800

4) 70800 + 322 = 70800 + 1024 = 71824

Математическое обоснование упрощённого способа нахождения результата пункта 2:

Допустим, Х – число, возводимое в квадрат, а Y – число, которое нужно прибавить к числу X, чтобы округлить его в большую сторону до сотен, или отнять от числа Х, чтобы округлить его до сотен в меньшую сторону.

Найдём сумму числа X, уменьшенного на Y, и числа X, увеличенного на Y: (X + Y) + (X – Y) = X + Y + X - Y = 2X.

Если (X + Y) является округлённым до сотен числом (округление в большую сторону), то (X – Y) имеет то же количество десятков и единиц, что и 2X, так как (X + Y) и (X – Y) в сумме дают 2X.

Если (X – Y) является округлённым до сотен числом (округление в меньшую сторону), то (X + Y) имеет то же количество десятков и единиц, что и 2X, так как (X + Y) и (X – Y) в сумме дают 2X.

13. Умножение четырёхзначных чисел на однозначные | Теория

Умножение в уме четырёхзначного числа на однозначное число* удобно выполнять в следующем порядке:

умножить тысячи и сотни четырёхзначного числа на однозначное число;

умножить десятки и единицы четырёхзначного числа на однозначное число;

сложить два результата.

Задача: 3846 x 7

Решение:

(3800+46) x 7

1) 3800 x 7 = 38 x 7 x 100 = 266 x 100 = 26600

2) 46 x 7 = 322

3) 26600 + 322 = 26922

* Если вам нужно умножить однозначное число на четырёхзначное, то для решения такой задачи удобнее поменять числа местами.

14. Возведение двузначных чисел в куб | Теория

Возведение в уме двузначного числа X в куб (третью степень) удобно производить по формуле: Х3=(X+Y)X(X-Y)X+XY2*, где Y - число, на которое нужно уменьшить или увеличить число X, чтобы получить округлённое до десятков (заканчивающееся на 0) число.

Задача: 133

Решение:

Круглое число получается при вычитании 3 из 13. Поэтому за Y принимаем число 3. (X+Y) = 13 + 3 = 16 (X-Y) = 13 - 3 = 10 Подставляем полученные числа в формулу:

133 = 16 x 13 x 10 + 13 x 32

Умножение 16 на 13 удобно выполнить с помощью факторизации числа 16.

16 x 13 x 10 = 13 x 4 x 4 x 10 = 52 x 4 x 10 = 208 x 10 = 2080

13 x 33 = 13 x 9 = 117

2080 + 117 = 2197

Задача: 453

Решение:

453 = 50 x 45 x 40 + 45 x 52

50 x 45 x 40 = 45 x 40 x 50 = 1800 x 50 = 90000

45 x 52 = 45 x 5 x 5 = 225 x 5 = 1125

90000 + 1125 = 91125

Задача: 693

Решение:

693 = 70 x 69 x 68 + 69 x 12

Так как числа 69 и 68 близки к круглому числу 70, то их удобно перемножить с помощью формулы (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между круглым числом и перемножаемыми числами (см. урок 10).

 68 x 69 = (70 – 2) x (70 – 1) = (70 – 2 – 1) x 70 + 2 x 1 = 67 x 70 + 2 x 1 = 4690 + 2 = 4692

4692 x 70 = 4692 x 70 = 328440 (см. урок 13)

69 x 12 = 69 x 1 = 69

328440 + 69 = 328509

Задача: 923

Решение:

923 = 94 x 92 x 90 + 92 x 22

Так как числа 94 и 92 близки к круглому числу 90, то их можно перемножить с помощью формулы (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом (см. урок 10).

 94 x 92 = (90 + 4) x (90 + 2) = (90 + 4 + 2) x 90 + 4 x 2 = 96 x 90 + 4 x 2 = 8640 + 8 = 8648

8648 x 90 = 778320 (см. урок 13)

92 x 22 = 92 x 4 = 368

778320 + 368 = 778688

Задача: 963

Решение:

963 = 100 x 96 x 92 + 96 x 42

Перемножить 96 и 92 можно следующими способами (в порядке снижения сложности):

1) Обычное перемножение слева направо: 96 x 92 = 96 x 90 + 96 x 2 = 8640 + 192 = 8832

2) Метод вычитания: 92 x (100 – 4) = 9200 – 368 = 8832

3) С использованием факторизации: 92 x 6 x 4 x 4 = 552 x 4 x 4 = 2208 x 4 = 8832

4) Вычисление по формуле (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab: 96 x 92 = (90 + 6) x (90 + 2) = (90 + 6 + 2) x 90 + 6 x 2 = 98 x 90 + 6 x 2 = 8820 + 12 = 8832

5) Вычисление по формуле (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab: 96 x 92 = (100 – 4) x (100 – 8) = (100 – 4 – 8) x 100 + 4 x 8 = 88 x 100 + 4 x 8 = 8800 + 32 = 8832

8832 x 100 = 883200

Операцию 42 x 96 также можно выполнить несколькими методами, включая:

1) С использованием факторизации: 42 x 96 = 96 x 4 x 4 = 384 x 4 = 1536

2) Метод вычитания: 42 x 96 = 16 x (100 – 4) = 1600 – 64 = 1536

883200 + 1536 = 884736

* Формула получена путём умножения формулы для квадрата числа X (из урока 11) на число X: X3=X2X=((X+Y)(X-Y)+Y2)X=(X+Y)X(X-Y)+XY2

15. Деление трёхзначных чисел на однозначные | Теория

Для деления в уме трёхзначного числа (делимого) на однозначное число (делитель) первым делом необходимо определить количество цифр в ответе.

Если делимое – трёхзначное число, а делитель – однозначное число, то ответ может быть двузначным или трёхзначным числом.

Если произведение делителя на 100 (минимальное трёхзначное число) больше делимого, то ответ – двузначное число, а если произведение делителя на 100 меньше делимого, то ответ – трёхзначное число.

А) Если ответ – двузначное число:

Задача: 239 / 6

Умножение 6 на 100 даёт 600. Так как 600 больше 357, то ответ является двузначным числом.

1) определяем результат с точностью до десятков

Так как 6 x 30 = 180, а 6 x 40 = 240, то результат, округлённый в меньшую сторону до десятков, равен 30.

2) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 1

239 – 6 x 30 = 239 – 180 = 59

3) делим результат пункта 2 на делитель

59 / 6

Так как 6 x 9 = 54 и 59 – 54 = 5, то 59 / 6 = 9(остаток 5)

4) прибавляем к результату пункта 1 результат пункта 3

30 + 9(остаток 5) = 39(остаток 5)

Б) Если ответ – трёхзначное число:

Задача: 874 / 3

Умножение 3 на 100 даёт 300. Так как 300 меньше 874, то ответ является трёхзначным числом.

1) определяем результат с точностью до сотен

Так как 3 x 200 = 600, а 3 x 300 = 900, то результат, округлённый в меньшую сторону до сотен, равен 200.

2) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 1

874 – 3 x 200 = 874 – 600 = 274

3) определяем результат с точностью до сотен и десятков

Так как 3 x 90 = 270, а 3 x 100 = 300, то результат, округлённый в меньшую сторону до сотен и десятков, равен 200 + 90 = 290.

4) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 3

874 – 3 x 290 = 874 – 3 x 200 – 3 x 90 = 874 – 600 - 270 = 4

5) делим результат пункта 4 на делитель

4 / 3

Так как 3 x 1 = 3 и 4 – 3 = 1, то 4 / 3 = 1(остаток 1)

6) прибавляем к результату пункта 3 результат пункта 5

290 + 1(остаток 1) = 291(остаток 1)

16. Деление четырёхзначных чисел на однозначные | Теория

Для деления в уме четырёхзначного числа (делимого) на однозначное число (делитель) первым делом необходимо определить количество цифр в ответе.

Если делимое – четырёхзначное число, а делитель – однозначное число, то ответ может быть трёхзначным или четырёхзначным числом.

Если произведение делителя на 1000 (минимальное четырёхзначное число) больше делимого, то ответ – трёхзначное число, а если произведение делителя на 1000 меньше делимого, то ответ – четырёхзначное число.

А) Если ответ – трёхзначное число:

Задача: 3285 / 7

Умножение 7 на 1000 даёт 7000. Так как 7000 больше 3285, то ответ является трёхзначным числом.

1) определяем результат с точностью до сотен

Так как 7 x 400 = 2800, а 7 x 500 = 3500, то результат, округлённый в меньшую сторону до сотен, равен 400.

2) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 1

3285 – 7 x 400 = 3285 – 2800 = 485

3) определяем результат с точностью до сотен и десятков

Так как 7 x 60 = 420, а 7 x 70 = 490, то результат, округлённый в меньшую сторону до сотен и десятков, равен 400 + 60 = 460.

4) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 3

3285 – 7 x 460 = 3285 – 7 x 400 – 7 x 60 = 3285 – 2800 – 420 = 65

5) делим результат пункта 4 на делитель

65 / 7

Так как 7 x 9 = 63 и 65 – 63 = 2, то 65 / 7 = 9(остаток 2)

6) прибавляем к результату пункта 3 результат пункта 5

460 + 9(остаток 2) = 469(остаток 2)

Б) Если ответ – четырёхзначное число:

Задача: 7349 / 4

Умножение 4 на 1000 даёт 4000. Так как 4000 меньше 7249, то ответ является четырёхзначным числом.

1) определяем результат с точностью до тысяч

Так как 4 x 1000 = 4000, а 4 x 2000 = 8000, то результат, округлённый в меньшую сторону до тысяч, равен 1000.

2) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 1

7349 – 4 x 1000 = 7349 – 4000 = 3349

3) определяем результат с точностью до тысяч и сотен

Так как 4 x 800 = 3200, а 4 x 900 = 3600, то результат, округлённый в меньшую сторону до тысяч и сотен, равен 1000 + 800 = 1800.

4) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 3

7349 – 4 x 1800 = 7349 – 4 x 1000 – 4 x 800 = 7349 – 4000 - 3200 = 149

5) определяем результат с точностью до тысяч, сотен и десятков

Так как 4 x 30 = 120, а 4 x 40 = 160, то результат, округлённый в меньшую сторону до тысяч, сотен и десятков, равен 1800 + 30 = 1830.

6) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 5

7349 – 4 x 1830 = 7349 – 4 x 1000 - 4 x 800 – 4 x 30 = 7349 - 4000 – 3200 – 120 = 29

7) делим результат пункта 6 на делитель

29 / 4

Так как 4 x 7 = 28 и 29 – 28 = 1, то 29 / 4 = 7(остаток 1)

8) прибавляем к результату пункта 5 результат пункта 7

1830 + 7(остаток 1) = 1837(остаток 1)

17. Деление трёхзначных чисел на двузначные | Теория

Для деления в уме трёхзначного числа (делимого) на двузначное число (делитель) первым делом необходимо определить количество цифр в ответе.

Если делимое – трёхзначное число, а делитель – двузначное число, то ответ может быть однозначным или двузначным числом.

Если произведение делителя на 10 (минимальное двузначное число) больше делимого, то ответ – однозначное число, а если произведение делителя на 10 меньше делимого, то ответ – двузначное число.

А) Если ответ – однозначное число:

Задача: 476 / 59

Умножение 59 на 10 даёт 590. Так как 590 больше 476, то ответ является однозначным числом.

1) определяем результат с точностью до единиц

Так как 59 x 8 = 472, а 59 x 9 = 531, то результат, округлённый в меньшую сторону до единиц, равен 8.

2) находим остаток

476 – 472 = 4

3) объединяем пункт 1 и пункт 2

472(остаток 4)

Б) Если ответ – двузначное число:

Задача: 759 / 24

Умножение 24 на 10 даёт 240. Так как 240 меньше 759, то ответ является двузначным числом.

1) определяем результат с точностью до десятков

Так как 24 x 30 = 720, а 24 x 40 = 960, то результат, округлённый в меньшую сторону до десятков, равен 30.

2) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 1

759 – 24 x 30 = 759 – 720 = 39

3) делим результат пункта 2 на делитель

39 / 24

Так как 24 x 1 = 24 и 39 – 24 = 15, то 39 / 24 = 1(остаток 15)

4) прибавляем к результату пункта 1 результат пункта 3

30 + 1(остаток 15) = 31(остаток 15)

18. Деление четырёхзначных чисел на двузначные | Теория

Для деления в уме четырёхзначного числа (делимого) на двузначное число (делитель) первым делом необходимо определить количество цифр в ответе.

Если делимое – четырёхзначно число, а делитель – двузначное число, то ответ может быть двузначным или трёхзначным числом.

Если произведение делителя на 100 (минимальное трёхзначное число) больше делимого, то ответ – двузначное число, а если произведение делителя на 100 меньше делимого, то ответ – трёхзначное число.

А) Если ответ – двузначное число:

Задача: 4832 / 64

Умножение 64 на 100 даёт 6400. Так как 6400 больше 4832, то ответ является двузначным числом.

1) определяем результат с точностью до десятков

Так как 64 x 70 = 4480, а 64 x 80 = 5120, то результат, округлённый в меньшую сторону до десятков, равен 70.

2) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 1

4832 – 64 x 70 = 4832 – 4480 = 352

3) делим результат пункта 2 на делитель

352 / 64

Так как 64 x 5 = 320 и 352 – 320 = 32, то 352 / 64 = 5(остаток 32)

4) прибавляем к результату пункта 1 результат пункта 3

70 + 5(остаток 32) = 75(остаток 32)

Б) Если ответ – трёхзначное число:

Задача: 9952 / 41

Умножение 41 на 100 даёт 4100. Так как 4100 меньше 9912, то ответ является трёхзначным числом.

1) определяем результат с точностью до сотен

Так как 41 x 200 = 8200, а 41 x 300 = 12300, то результат, округлённый в меньшую сторону до сотен, равен 200.

2) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 1

9952 – 41 x 200 = 9952 – 8200 = 1752

3) определяем результат с точностью до сотен и десятков

Так как 41 x 40 = 1640, а 41 x 50 = 2050, то результат, округлённый в меньшую сторону до сотен и десятков, равен 200 + 40 = 240.

4) отнимаем от делимого делитель, умноженный на число, определённое в пункте 3

9952 – 41 x 240 = 9952 – 41 x 200 – 41 x 40 = 9952 – 8200 - 1640 = 112

5) делим результат пункта 4 на делитель

112 / 41

Так как 41 x 2 = 82 и 112 – 82 = 30, то 112 / 41 = 2(остаток 30)

6) прибавляем к результату пункта 3 результат пункта 5

240 + 2(остаток 30) = 242(остаток 30)

19. Возведение четырёхзначных чисел в квадрат | Теория

Как и в случаях возведения двузначных и трёхзначных чисел в квадрат, возведение четырёхзначных чисел в квадрат удобно производить в следующем порядке:

округлите четырёхзначное число до тысяч в ближайшую сторону;;

скорректируйте четырёхзначное число на ту же величину, что и в пункте 1, но в другую сторону;

перемножьте результаты пунктов 1 и 2;

прибавьте к результату пункта 3 квадрат величины, на которую производилась корректировка.

Задача: 63692

Решение:

1) 6369 – 369 = 6000

2) 6369 + 369 = 6738

3) 6738 x 6000 = 40428000

4) 40428000 + 3692 = 40428000 + 136161 = 40564161

Задача: 48912

Решение:

1) 4891 + 109 = 5000

2) 4891 - 109 = 4782

3) 4782 x 5000 = 23910000

4) 23910000 + 1092 = 23910000 + 11881 = 23921881

20. Умножение трёхзначных чисел на однозначные | Теория

Чем больше цифр в перемножаемых числах, тем большим количеством способов можно решить задачу.

Поэтому при умножении многозначных чисел первым делом необходимо выбрать метод решения задачи, который требует наименьших усилий.

Метод факторизации

Если одно из чисел или оба числа можно факторизовать, то задачу проще всего решить методом факторизации.

Если факторизации поддаются оба числа, то факторизовать удобнее двузначное число*.

Задача: 247 x 42

Решение:

42 = 7 x 6

247 x 42 = 247 x 7 x 6 = 1729 x 6 = 10374

Более половины всех двузначных чисел поддаются факторизации на однозначные числа, 10 или 11.

Задача: 932 x 33

Решение:

33 = 11 x 3

932 x 11 x 3 = 10252 x 3 = 30756

(задачу умножения трёхзначного числа на 11 удобно свести к двум более простым задачам, первую из которых легко решить с помощью метода, описанного в уроке 1: 932 x 11 = 930 x 11 + 2 x 11 = 10230 + 22 = 10252)

Если двузначное число не поддаётся факторизации, то попробуйте факторизовать трёхзначное число.

Задача: 252 x 53

Решение:

252 = 6 x 6 x 7

53 x 252 = 53 x 6 x 6 x 7 = 318 x 6 x 7 = 1908 x 7 = 13356

Если трёхзначное число нельзя факторизовать на однозначные числа, 10 и 11, то можно попробовать факторизовать его на двузначное и однозначное числа.

Задача: 423 x 83

423 = 47 x 9

423 x 83 = 83 x 47 x 9 = 3901 x 9 = 35109

Метод сложения

Если перемножаемые числа не поддаются факторизации, то такую задачу всегда можно решить методом сложения. При этом обычно удобнее разбивать трёхзначное число.

Задача: 821 x 37

Решение:

821 x 37 = (820 + 1) x 37 = 820 x 37 + 1 x 37 = 30340 + 37 = 30377

Если двузначное число заканчивается на 1 или 2, то удобнее разбивать не трёхзначное число, а двузначное число.

Задача: 373 x 41

Решение:

373 x 41 = 373 x (40 + 1) = 373 x 40 + 373 x 1 = 14920 + 373 = 15293

Метод вычитания

В некоторых случаях более удобно решать задачу умножения трёхзначных чисел на двузначные методом вычитания.

Вычитание из трехзначных чисел:

Задача: 439 x 38

Решение:

439 x 38 = (440 – 1) x 38 = 440 x 38 – 1 x 38 = 16720 – 38 = 16682

Задача: 397 x 87

Решение:

397 x 87 = (400 – 3) x 87 = 87 x 400 – 87 x 3 = 34800 – 261 = 34539

Вычитание из двузначных чисел:

Задача: 683 x 59

Решение:

683 x 59 = 683 x (60 – 1) = 683 x 60 – 683 x 1 = 40980 – 683 = 40297

* Более половины всех двузначных чисел поддаются факторизации на однозначные числа, 10 или 11.

21. Умножение пятизначных чисел на однозначные | Теория

Умножение в уме пятизначного числа на однозначное число удобно выполнять в следующем порядке:

умножить десятки тысяч и тысячи пятизначного числа на однозначное число;

умножить сотни, десятки и единицы пятизначного числа на однозначное число;

сложить два результата.

Задача: 74843 x 7

Решение:

74843 x 7 = (74000 + 843) x 7

1) 74000 x 7 = 518000

2) 843 x 7 = 5901

3) 518000 + 5901 = 523901

22. Умножение трёхзначных чисел | Теория

Чем больше цифр в перемножаемых числах, тем большим количеством способов можно решить задачу.

Поэтому при умножении многозначных чисел первым делом необходимо выбрать метод решения задачи, который требует наименьших усилий.

Метод факторизации

К сожалению, большинство трёхзначных чисел нельзя факторизовать на однозначные числа, но если это возможно, то факторизация является наиболее простым методом решения задачи.

Задача: 649 x 288

Решение:

288 = 9 x 8 x 4

649 x 288 = 649 x 9 x 8 x 4 = 5841 x 8 x 4 = 46728 x 4 = 186912

Если оба из перемножаемых трёхзначных чисел поддаются факторизации на двузначное и однозначное число, то такую задачу можно решить перемножением двузначных чисел с дальнейшим последовательным умножением результата на два однозначных числа.

Задача: 581 x 246

Решение:

581 = 83 x 7

246 = 41 x 6

581 x 246 = 83 x 41 x 7 x 6 = 3403 x 7 x 6 = 23821 x 6 = 142926

Если только одно из перемножаемых трёхзначных чисел поддаётся факторизации на двузначное и однозначное число, то такую задачу можно решить перемножением трёхзначного числа на двузначное с дальнейшим умножением результата на однозначное число.

Задача: 526 x 371

Решение:

371 = 53 x 7

526 x 371 = 526 x 53 x 7 = 27878 x 7 = 195146

Если одно из трёхзначных чисел не превышает 500 и оканчивается на 5, а второе трёхзначное число является чётным, то задачу удобно решать в следующем порядке: умножить первое (не превышающее 500 и заканчивающееся на 5) число на 2; разделить другое (чётное) число на 2; перемножить оба результата. В этом случае задача фактически сводится к умножению трёхзначного числа на двузначное число, так как одно из чисел будет заканчиваться на ноль.

Задача: 415 x 548

415 x 2 = 830

548 / 2 = 274

274 x 830 = 274 x 83 x 10 = 22742 x 10 = 227420

Метод совместной близости

Если числа близки по значению к круглому числу, то при их перемножении в уме удобно пользоваться следующими формулами: (C+a)(C+b) = (C+a+b)C+ab; (C-a)(C-b) = (C-a-b)C+ab; (C+a)(C-b) = (C+a-b)C-ab**, где “C” – близкое к двум перемножаемым числам круглое число, а “а” и “b” – это разницы между перемножаемыми числами и круглым числом.

Задача: 204 x 207

Решение:

(200 + 4) x (200 + 7) = (200 + 4 + 7) x 200 + 4 x 7 = 211 x 200 + 28 = 42200 + 28 = 42228

Задача: 598 x 593

Решение:

(600 - 2) x (600 - 7) = (600 - 2 - 7) x 600 + 2 x 7 = 591 x 600 + 14 = 354600 + 14 = 354614

Задача: 813 x 794

Решение:

(800 + 13) x (800 - 6) = (800 + 13 - 6) x 800 - 13 x 6 = 807 x 800 - 78 = 645600 - 78 = 645522

В следующем примере перемножаемые трёхзначные числа более отдалены по значению от круглого числа, чем в предыдущих примерах, но и в этом случае целесообразно применение метода совместной близости.

Задача: 827 x 831

Решение:

(800 + 27) x (800 + 31) = (800 + 27 + 31) x 800 + 27 x 31 = 858 x 800 + 837 = 686400 + 837 = 687237

Если умножение на 2 одного двузначного числа и деление на 2 другого двузначного числа дают числа, близкие по значение к круглому числу, то такую задачу также удобно решать методом совместной близости.

Задача: 153 x 608

Решение:

153 x 2 =306

608 / 2 = 304

306 x 304 = (300 + 6) x (300 + 4) = (300 + 6 + 4) x 300 + 6 x 4 = 310 x 300 + 24 = 93000 + 24 = 93024

Метод сложения

Если число, составленное из двух первых цифр одного из трёхзначных чисел, поддаётся факторизации, то задачу можно решить методом сложения в сочетании с методом факторизации

Задача: 463 x 643

Решение:

Число из первых двух цифр числа 641 – это 64.

64 = 8 x 8

643 = 64 x 10 + 3 = 8 x 8 x 10 + 3

463 x 643 = 463 x (8 x 8 x 10 + 3) = 463 x 8 x 8 x 10 + 463 x 3 = 3704 x 8 x 10 + 463 x 3 = 29632 x 10 + 463 x 3 = 296320 + 463 x 3 = 296320 + 1389 = 297709

Если другие методы не работают, то задачу можно решить методом сложения в чистом виде.

Задача: 732 x 319

Решение:

732 x (300 + 10 + 9) = 732 x 300 + 732 x 10 + 732 x 9 = 219600 + 7320 + 6588 = 226920 + 6588 = 233508

Метод вычитания

Метод вычитания удобно использовать, если одно из перемножаемых трёхзначных чисел при прибавлении к нему одной или нескольких единиц даёт число с одним или двумя нулями.

Задача: 433 x 599

Решение:

433 x (600 – 1) = 433 x 600 – 433 x 1 = 259800 – 433 = 259367

Задача: 347 x 229

Решение:

347 x (230 – 1) = 347 x 230 – 347 x 1 = 79810 – 347 = 79463

23. Определение дня недели по дате | Теория

Определить день недели по дате можно следующим образом:

вычислить код дня недели, сложив порядковый номер дня в месяце, код месяца и код года, а затем сократить полученную сумму (если она превышает 6) до числа от 0 до 6 путём вычитания необходимого количества семёрок (или, другими словами, путём вычитания соответствующего числа, кратного семи, которое может равняться 7(7x1), 14(7x2), 21(7x3), 28(7x4), 35(7x5), 42(7x6) и т.д.);

определить день недели по коду дня недели.

Дни недели и их коды

Месяцы и их коды