Курс "Алгебра плюс", занятия 2 и 3

МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.

Множества обозначаются большими латинскими буквами. Если элемент α принадлежит множеству Ζ (является его элементом), пишем α Ζ. Когда b не принадлежит множеству Ζ, пишем b Ζ. Каждое множество определяется своими элементами.

Конечное множество- множество конечного числа элементов.

Пустое множество: Ø- множество, которому не принадлежит  ни один элемент.

Бесконечное множество- множество, которое не является ни конечным, ни пустым.

Два множества А и В являются равными (А=В), ели каждый элемент множества А принадлежит В и каждый элемент множества В принадлежит А. Множество А содержится в множестве В или А является подмножеством множества В и пишут АВ, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Определенная таким образом зависимость между элементами называется включением. Если АВ и А≠В, то А является собственным подмножеством множества В.

Непересекающееся множества- множества, не имеющие ни одного общего элемента.

Сумма множеств А и В- множество элементов, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству В, еА U В тогда и только тогда, когда еА и еВ.

Произведение (общая часть множеств) Аи В- множество элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В, еА∩В тогда и только тогда, когда еА и еВ.

Разность множеств А и В- множество элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В тогда и только тогда, когда еА U еВ

Симметричная разность множеств А и В: А-В=(А-В) U(В-А)

Дополнительные множества А относительно множества Р-А′=Р-А

Свойства операций над множествами:

Если АВ и ВС, то АС

Если АВ и ВА, то А=В

А UА=А

А U Ø=А

А-А= Ø

А UВ=В UА- коммутативность сложения

А∩В=В∩А- коммутативность умножения

(А U В) U С=А U(В UС)- ассоциативность сложения

А∩(В-С)=(А∩В) – (А∩С)- дистрибутивность умножения относительно вычитания

(А∩В) ∩С=А∩(В UС)- ассоциативность  умножения

А∩(В∩С)=(А∩В) U(А∩С)- дистрибутивность умножения относительно сложения

А U(В∩С)=(А UВ) ∩(А UС)- дистрибутивность сложения относительно умножения

Принцип двойственности, законы Моргана

(А∩В)′=А′UВ′

    (АUВ)′=А′∩В′

Раздел

ЧИСЛОВЫЕ РАВЕНСТВА И НЕРАВЕНСТВА.

Числовые равенства и неравенства

Обратимся к геометрической интерпретации действительных чисел на числовой прямой. Введём понятие числовой прямой. Пусть на плоскости дана некоторая прямая (обычно расположенная горизонтально). Зафиксируем на этой прямой точку O и назовём её началом отсчёта. Точка O разбивает прямую на два луча. Направление вдоль прямой направо от точки O назовём положительным направлением, а противоположное направление – отрицательным. Пусть также задан отрезок, длина которого принята за единицу длины. В таких случаях говорят, что на прямой введён масштаб.

Прямую, на которой выбрано начало отсчёта, положительное направление и введён масштаб, называют числовой прямой.

Каждой точке числовой прямой можно поставить в соответствие действительное число по следующему правилу:

1. Началу отсчёта точке O ставится в соответствие число нуль.

2. Каждой точке N на положительном луче ставится в соответствие положительное число a (где a – длина  отрезка ON , выраженная через единичный отрезок).

3. Каждой точке M на отрицательном луче ставится в соответствие отрицательное число b (где b – длина отрезка OM , измеренная посредством единичного отрезка).

В результате получим, что при выбранном масштабе:

1) каждой точке на числовой прямой поставлено в соответствие одно (и только одно) действительное число;

2) разным точкам числовой прямой поставлены в соответствие разные числа;

3) нет ни одного действительного числа, которое не соответствовало бы какой-либо точке на числовой прямой

В таких случаях принято говорить, что между множеством всех точек числовой прямой и множеством всех действительных чисел установлено взаимно однозначное соответствие.

Если на прямой выбрано начало отсчёта, положительное направление и введена масштабная единица, то говорят также, что на прямой задана система координат. При этом сама прямая называется координатной осью, а точка O –началом координат. Действительное число, поставленное каждой точке этой прямой по указанному выше правилу во взаимно однозначное соответствие, называют координатой точки в заданной системе координат.

Рассмотрим теперь два произвольных действительных числа, ... ... 0 1 2 n 1 n a a a a a a − = и , ... ... 0 1 2 n 1 n b b b b b b − =

Выше для любых действительных чисел a и b была определена операция сравнения. Применяя её, получим по отношению к этим числам, что справедливо одно (и только одно) из следующих трёх утверждений:

1) число a равно числу b ( a = b ); 2) число a больше числа b (a > b);

3) число a меньше числа b (a < b).

В первом случае два равных числа будут обозначаться одной точкой на числовой прямой. Если a > b , то на числовой прямой точка, соответствующая числу a , будет лежать правее точки, соответствующей числу b . Наконец, если a < b , то наоборот, точка, соответствующая числу a , будет лежать левее точки, соответствующей числу b .

При сравнении между собой действительных чисел будем пользоваться следующими вполне естественными утверждениями, вытекающими из определений операции сравнения действительных чисел и арифметических операций над действительными числами.

Утв. 1. Два действительных числа a и b равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю, т.е.

a = b ⇔ a − b = 0 .

Два действительных числа a и b не равны тогда и только тогда, когда их разность не равна нулю, т.е.

a ≠ b ⇔ a − b ≠ 0 .

Утв. 2. Число a больше числа b тогда и только тогда, когда разность a − b положительна, т.е.

a > b ⇔ a − b > 0 .

Утв. 3. Число a меньше числа b тогда и только тогда, когда разность a − b отрицательна, т.е.

a < b ⇔ a − b < 0 .

В ситуации, когда число a либо меньше, либо равно числу b (допускается возможность обоих случаев), используется специальное обозначение a ≤ b .

Если же число a либо больше, либо равно числу b , используется обозначение a ≥ b . Знаки > (больше), < (меньше), ≥ (больше либо равно), ≤ (меньше либо равно), ≠ (не равно) называют знаками неравенств. При этом знаки >  и < относят к строгим знакам, а знаки ≥ и ≤ – к нестрогим знакам.

Числовые равенства и их свойства

Обратимся к наиболее важным свойствам числовых равенств. Но вначале приведём определение числового равенства. Если два числа a и b ( a ,b ∈ R ) соединены знаком равенства a = b , то говорят, что задано числовое равенство.

Пусть a ,b , c , d – произвольные действительные числа. Примем без доказательства следующие свойства. Обратите внимание, что некоторые из них сформулированы в виде достаточных условий, в то время как другие имеют вид необходимых и достаточных условий.

Свойства числовых равенств

1. Число a равно числу b тогда и только тогда, когда число b равно числу a : a = b ⇔ b = a (коммутативность равенств).

2. Если число a равно числу b , а число b при этом равно числу c , то число a равно числу c :

a = b , b = c ⇒ a = c (транзитивность равенств).

3. Если два верных равенства почленно сложить, то в результате также получится верное равенство:

a = b , c = d ⇒ a + c = b + d (почленное сложение равенств).

4. Если два равенства почленно перемножить, то в результате также получится верное равенство:

a = b , c = d ⇒ a ⋅ c = b ⋅ d (почленное умножение равенств).

5. К обеим частям равенства можно прибавлять (вычитать) одно и то же число, в результате также получится верное равенство: a = b ( c∈R ) ⇔ a + c = b + c (прибавление числа к равенству).

6. Обе части равенства можно умножать (делить) на одно и то же неравное нулю число, в результате также получится верное равенство: a = b ( c ≠ 0 ) ⇔ a ⋅ c = b ⋅ c (умножение равенства на число).

7. Обе части равенства (при условии их неотрицательности) можно возводить в произвольную натуральную степень, в результате также получится верное равенство: a = b ( a ,b ≥ 0 ) ⇔ an = bn ( n∈ N ) (возведение равенства в натуральную степень).

Замечание. Последнее свойство, например, вытекает из того, что поскольку an − bn = (a − b)⋅ (an−1 + an−2b + ... + abn−2 + bn−1 ), а выражение во вторых скобках не равно нулю (при неравных нулю одновременно a и b ), то разность an − bn обращается в нуль тогда и только тогда, когда обращается в нуль разность a − b .

Пропорции, их свойства

Пропорцией (от латинского ‘proportio’ – соотношение, соразмерность) называют равенство двух отношений:

;  (b, d ≠ 0 ),

где числа a , b, c, d  называются членами пропорции, при этом a и d называют крайними членами пропорции, b и c – средними членами пропорции. Другая форма записи пропорции a : b = c : d . Пропорция, в которой средние члены равны (b = c ), называется непрерывной, и тогда средний член b непрерывной пропорции равен среднему геометрическому (среднему пропорциональному)

b =

(при условии, что b положителен).

Свойства пропорций

1. Основное свойство пропорции: ad = bc (произведение средних членов пропорции равно произведению ее крайних членов).

2. В пропорции a : b = c : d можно менять местами средние ( a: c = b: d ) или крайние члены ( d: b = c : a ), или те и другие одновременно ( d: c = b: a ).

Пропорциональные отрезки. «Золотое сечение»

В геометрии часто встречается понятие пропорциональных отрезков. Дадим соответствующее определение. Ненулевые отрезки a и b называют пропорциональными отрезкам a′ и b′ , если их длины удовлетворяют пропорции a: a′ = b: b′ , т.е. a относится к a′ так же, как b относится к b′ . В этом случае действительное число k , равное отношению a: a′ , называют коэффициентом пропорциональности

В Древней Греции такое деление отрезка на две части получило название деления в среднем и крайнем отношении. Гораздо позже великий Леонардо да Винчи назвал такое деление «золотым сечением», а Лука Пачоли – «божественной пропорцией».

Такие названия связаны со многими замечательными свойствами сечения. Не последнюю роль в этом играли эстетические соображения: например, прямоугольник, отношение длин сторон которого равно числу 1,6180339...  «Золотое сечение» использовалось издавна в архитектуре. Интересно, что если от такого прямоугольника отрезать квадрат максимальной площади, то останется вновь прямоугольник золотого сечения. Примером «золотого сечения» может служить стандартный, формата A4 , лист писчей бумаги: сложенный пополам, вчетверо и т.д., он сохраняет первоначальную пропорцию. Золотое сечение часто встречается в различных задачах.

Числовые неравенства и их свойства

Обратим внимание на то обстоятельство, что понятие неравенства, вообще говоря, можно ввести только на упорядоченном числовом множестве, например на множестве действительных чисел.

Если два действительных числа a и b соединены одним из знаков неравенств: a < b , или a > b , или a ≤ b , или a ≥ b , или a ≠ b , то говорят, что задано числовое неравенство. При этом неравенства a > b и a < b называются строгими, а неравенства a ≥ b и a ≤ b – нестрогими. Числовое неравенство может быть верным либо неверным.

Ниже при доказательстве свойств числовых неравенств наряду с законами коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и утверждениями 1, 2, 3 мы будем использовать (без доказательства) также три следующих утверждения, вытекающие из определения арифметических операций суммы и произведения двух действительных чисел, понятия противоположных (по знаку) чисел, а также операции сравнения действительных чисел.

1. Сумма двух положительных чисел положительна.
2.  Произведение двух положительных чисел положительно.
3. . Если a > 0 , то (− a) < 0 ; если a < 0 , то (− a) > 0 .

Свойства числовых неравенств

Пусть a ,b , c , d – произвольные действительные числа. Приведённые ниже свойства сформулированы для строгих и нестрогих неравенств, но доказываются только для случая строгих неравенств.

1. Одно из двух чисел больше второго тогда и только тогда, когда второе число меньше первого:

a > b ⇔ b < a ( a ≥ b ⇔ b ≤ a ).

2. Если одно число больше второго, а второе число больше третьего, то первое число больше третьего (транзитивность неравенств):

a > b , b > c ⇒ a > c ,

a ≥ b , b > c ⇒ a > c ,

a ≥ b , b ≥ c ⇒ a ≥ c

(последнее неравенство обращается в равенство ⇔ a = b = c ).

3. К обеим частям неравенства можно прибавлять (вычитать) одно и то же число, при этом знак неравенства сохраняется: a > b ( c∈R ) ⇔ a + c > b + c ; a ≥ b ( c∈R ) ⇔ a + c ≥ b + c .

4. Обе части неравенства можно умножать (делить) на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства сохраняется: если c > 0 , то a > b ⇔ a ⋅ c > b ⋅ c , a ≥ b ⇔ a ⋅ c ≥ b ⋅ c .

б) Обе части неравенства можно умножать (делить) на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства меняется на противоположный: если c < 0 , то a > b ⇔ a ⋅ c < b ⋅ c , a ≥ b ⇔ a ⋅ c ≤ b ⋅ c .

5. Неравенства одного знака можно почленно складывать:

a > b , c > d ⇒ a + c > b + d ;

a ≥ b, c > d ⇒ a + c > b + d ;

a ≥ b, c ≥ d ⇒ a + c ≥ b + d (последнее неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда одновременно a = b и c = d ).

6. Неравенства одного знака с положительными (неотрицательными) членами можно почленно перемножать:

a > b (b ≥ 0) и c > d (d ≥ 0) ⇒ a ⋅ c > b ⋅ d , (1)

a ≥ b (b ≥ 0) и c ≥ d (d ≥ 0) ⇒ a ⋅ c ≥ b ⋅ d ,(последнее неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда одновременно a = b и c = d ).

Если перемножаются нестрогое неравенство со строгим, то в результате может получиться как строгое неравенство:

a ≥ b (b > 0) и c > d (d ≥ 0) ⇒ a ⋅ c > b ⋅ d ,

так и нестрогое неравенство:

a ≥ 0 и c > d (d > 0) ⇒ a ⋅ c ≥ 0 , (последнее неравенство обращается в равенство ⇔ a = 0 ).

7. а) Число, обратное к положительному (отрицательному) числу, положительно (отрицательно):

b > 0 ⇔ 1 b > 0 ; b < 0 ⇔ 1 b < 0 .

б) Числа, обратные к двум числам одного знака, связаны неравенством противоположного знака:

если a > 0, b > 0 (или a < 0, b < 0 ), то a > b ⇔ 1 a < 1 b , a ≥ b ⇔ 1 a ≤ 1 b .

8. а) Если обе части неравенства положительны, то при возведении его в любую натуральную степень n (т.е. умножении самого на себя n раз) знак неравенства сохраняется:

a > b (b > 0) ⇒ an > bn ; a ≥ b (b > 0) ⇒ an ≥ bn . Сформулированное свойство можно усилить:

б) если a > 0, b > 0 , n∈ N , то a > b ⇔ an > bn ; a ≥ b > 0 ⇔ an ≥ bn .

в) если n – нечётно, то при любых a,b∈R верно утверждение: an > bn ⇔ a > b .

Следствие. Для любого положительного числа a и любого натурального числа n неравенство a >1 выполняется тогда и только тогда, когда выполняется неравенство an >1.

Доказательство.

Докажем,  что a > b ⇔ b < a .  Согласно утверждению 2, a > b⇔a − b > 0 .  По утверждению 6, a − b > 0 ⇔ − (a − b) < 0 .  В соответствии с законом дистрибутивности,  раскроем скобки: − a + b < 0 ,  а в соответствии с законом коммутативности,  поменяем слагаемые местами: b − a < 0 .  Согласно утверждению 3,  последнее неравенство равносильно тому, что b < a .

Пример 1. Пусть 2 ≤ a < 3, − 2 < b ≤ 3 , − 3 ≤ c < −2 , − 3 ≤ d < 2 . Оценить, какие значения могут принимать a2 ,b2 ,c2 ,d 2 .

Решение. Пусть известно, что 2 ≤ a < 3, оценим возможные значения величины a2 . Воспользуемся графическим подходом. Рассмотрим функцию y = a2 и найдём область её изменения на указанном выше полуинтервале. Как следует из графика, функция принимает все значения от 4 до 9 (не включая 9). Аналогично оцениваются b2 ,c2 ,d 2 . Ответ: 4 ≤ a2 < 9 , 0 ≤ b2 ≤ 9 , 4 < c2 ≤ 9 , 0 ≤ d 2 ≤ 9 .

Пример 2. Известно, что − 3 < a ≤ 2 и 5 < b < 6 . Оценить значения: а) a + b ; б) a − b ; в) ab ; г) a b .

Решение. а) + − 3 < a ≤ 2 б) + − 3 < a ≤ 2; 5 < b < 6 − 6 < −b < −5; 2 < a + b < 8 ; − 9 < a − b < −3 ;

в) − 3 < a < 0 или × 0 ≤ a ≤ 2× 0 < −a < 3 5 < b < 6; 5 < b < 6 0 ≤ ab <12 .

0 < −ab <18 ⇒ −18 < ab < 0 .

Объединяя полученные результаты, получим: −18 < ab < 12 .

г) − 3 < a < 0 или × 0 ≤ a ≤ 2× 0 < −a < 3 1 6 <1 b <1 5

1 6 <1 b <1 5 0 ≤ a b < 2 5.

0 < −a b < 3 5 ⇒ − 3 5 < a b < 0 .

Объединяя полученные результаты, получим: − 3 5 < a b < 2 5 .

Ответ: 2 < a + b < 8 , − 9 < a − b < −3 , −18 < ab < 12 , − 3 5 < a b < 2 5 .

Некоторые известные алгебраические неравенства

Неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел

Обратным к числу a ( a ≠ 0 ) называется, по определению, число 1/ a .

Теорема (неравенство о сумме двух взаимно обратных чисел).

1) Если a > 0 , то справедливо неравенство a + (1/ a) ≥ 2 , причём неравенство обращается в равенство только при a = 1.

2) Если a < 0 , то справедливо неравенство a + (1/ a) ≤ −2 , причём неравенство обращается в равенство только при a = −1.

Доказательство. 1) Пусть a > 0 . Умножив неравенство a +1/ a ≥ 2 на a (с сохранением знака), получим равносильное неравенство a2 − 2a +1 ≥ 0 ⇔ (a −1)2 ≥ 0 , которое, очевидно, верно. Причём последнее неравенство, а, значит, и доказываемое обращаются в равенство тогда и только тогда, когда a = 1.

2) Пусть a < 0 . Тогда неравенство a +1/ a ≤ −2 равносильно после умножения на a (с учётом знака) очевидному неравенству a2 + 2a +1 ≥ 0 ⇔(a +1)2 ≥ 0 , причём последнее неравенство, а, следовательно, и доказываемое, обращаются в равенства тогда и только тогда, когда a = −1.

Следствие 1. Для любого a ≠ 0 справедливо неравенство a +1/ a ≥ 2 , причём равенство достигается, только при a = ±1.

Следствие 2. Если a и b – два числа одного знака, т.е. ab > 0, то справедливо неравенство + ≥ 2

Неравенство Коши

Коши Огюстен Луи (1789–1857) – французский математик, работавший главным образом в области математического анализа (дифференциальные уравнения, теория рядов) и теории функций комплексного переменного. Член Парижской Академии наук. Написал за свою жизнь около 1500 научных работ.

Теорема (неравенство Коши). Для любых х ≥ 0, i = 1,...,n, справедливо

неравенство

которое обращается в равенство тогда и только тогда, когда

Неравенство между средним арифметическим

и средним квадратичным (*)

Теорема. Для любых неотрицательных действительных чисел n x , x ,..., x 1 2

( n ≥ 2) справедливо неравенство

,

которое обращается в равенство,  только если .

Неравенство между средним геометрическим

и средним гармоническим (*)

Теорема. Для любых положительных действительных чисел х1 ,х2 ,…, хп ,( n ≥ 2) справедливо неравенство

причём неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда .

Неравенства Бернулли (*)

Бернулли Якоб (1654–1705) – швейцарский учёный, профессор Базельского университета (Швейцария). Известен своими работами по дифференциальной геометрии, вариационному исчислению и математической физике.

Теорема 1 (неравенство Бернулли с натуральным показателем). При любом действительном x ( x > −1) и при любом натуральном n справедливо неравенство

(1+ x)n ≥ 1+ nx .