Тема: Теорема Пифагора. Геометрия, 8 класс

Устимкина Л.И., Большеберезниковская СОШ №1

Боги дали людям две благодати –

говорить правду и делать добро.

Пифагор.

Тема: Теорема Пифагора.

Геометрия, 8 класс

        Цель урока:

обучающие:

1. изучить теорему Пифагора, уметь её доказывать, и применять при решении задач;
           развивающие:
2. развитие интереса у учащихся к истории математики

1. развитие творческих способностей  учащихся;

воспитательные:

1. воспитание культуры общения на  языке математики;

1. воспитание чувства коллективизма;

практические:

1. общение и выражение своих мыслей на изучаемом предмете.

        I. Устная работа.

1. Как называется фигура?
2. Чему равна площадь данной фигуры?

1

2

3

4

5

6

2. По данным рисунка  найдите площадь четырехугольника ABCD.

3. По данным рисунка   найдите,  чему равняется  угол β.

α

β

α

ββ

γ

α=3β

4.  По данным  рисунка   докажите, что четырехугольник KMNP — квадрат.

                           A

B

C

D

M

N

P

K

        II. Изучение теоремы.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         равен сумме квадратов катетов.

Дано. АВС прямоугольный треугольник.

 Доказать, что с2 =а2 +в2.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a, b и с гипотенузой с. Докажем, что с2 =а2 +в2 

Достроим треугольник до квадрата со стороной а+b так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна (a+b)2. С другой стороны этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна  и квадрата со стороной с, поэтому S=.

Таким образом (a+b)2 =2ab+c2, поэтому с2=а2+b2.

Теорема доказана.

        Пифагоровы треугольники.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон треугольников выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.

Примеры:  3, 4, 5.   52  =32  +42

5, 12, 13

 8, 15, 17

7, 24, 25

Треугольник  со сторонами 3, 4, 5  называют  египетским треугольником.

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.  Вы, наверное, слышали выражение: «пифагоровы штаны во все стороны равны». А теперь вы должны знать, что «их не вяжут, не сшивают, из квадратов составляют».

       ПИФАГОРОВЫ ЧИСЛА, тройки таких натуральных чисел, что треугольник, длины сторон которого пропорциональны (или равны) этим числам, является прямоугольным, например тройка чисел: 3, 4, 5.

        III. Закрепление

Задача 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам а и в:

 а) а=6, в=8. Решение. с2 =а2 +в2 , с2 =62 +82 

с2=36+64, 100=с2, с=10. Ответ. 10.

 в) а=3/7, в=4/7.

Задача 2. В прямоугольном треугольнике а и в – катеты, а с – гипотенуза. Найдите в, если: а) а=12, с=13.

 в) а=12, с=2в

 Решение. с2 =а2 +в2 , 4в2=144+в2 , 3в2=144, в2=144:3, в=12:√3=(12• √3) : (√3• √3).

 Ответ. 4√3

Задача 3.
Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла 60 градусов, если гипотенуза равна с.
Задача 4.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание 16 см.
Найдите высоту, проведенную к основанию.

        Физкультминутка.

Проведём игру на внимание: если вы согласны с тем, что я говорю, то руки поднимаете вперёд, а если не согласны - то вверх.   32 =9, 42=8, 52=10, 72=49, 102=1000, 52=25  

        IV. Немного из истории.

Пифагор Самосский (ок. 570-500 до н.э.)-древнегреческий математик и философ.

В молодости Пифагор путешествовал по Египту и Вавилону, изучая мудрость жрецов. Около 530 г.до н.э. он переехал в Кротон (Южная Италия), где основал знаменитый пифагорейский союз (школу). Пифагорейцы занимались астрономией, геометрией, гармонией (теорией музыки) и арифметикой (теорией чисел). В их школе возникло представление о шарообразности Земли. Ему принадлежит первое построение геометрии как дедуктивной науки.

Пифагор - это едва ли не самая известная личность в истории науки. Это имя известно каждому человеку, изучавшему геометрию и знакомого с "Теоремой Пифагора", едва ли не самой известной теоремой геометрии.  Знаменитый философ и ученый, религиозный и этический реформатор, влиятельный политик, полубог в глазах своих учеников и шарлатан, по отзывам некоторых из его современников, - таковы отображения Пифагора в античной литературе. Об исключительной популярности Пифагора уже при жизни свидетельствуют монеты с его изображением, выпущенные в 430-420 гг. до н.э. Для 5-го века до н.э. это случай беспрецедентный! Пифагор первым из греческих философов удостоился специально посвященного ему сочинения. Всемирно известна его научная школа, которую он организовал в Кротоне, греческой колонии на севере Италии. Школа Пифагора, или, как ее еще называют, "Пифагорейский союз", была одновременно и философской школой, и политической партией, и религиозным братством. Статус "Пифагорейского союза" был очень суровым. Каждый, кто вступал в него, отказывался от личной собственности в пользу союза, обязывался не проливать крови, не употреблять мясной пищи, беречь тайну учения своего учителя. Членам школы запрещалось обучать других за вознаграждение".

        Вот некоторые извлечения из книги, содержащей 325 Пифагорейских заповедей:

Сыщи себе верного друга, имея его, ты можешь обойтись без богов.

Юноша! Если ты желаешь себе жизни долгоденственной, то воздержи себя от пресыщения и всякого излишества.

Юные девицы! Памятуйте, что лицо лишь тогда бывает прекрасным, когда оно изображает изящную душу.

Не гоняйся за счастьем: оно всегда находится в тебе самом.

Не пекись о снискании великого знания: из всех знаний нравственная наука, быть может, есть самая нужнейшая, но ей не обучаются.

        ПИФАГОРЕИЗМ, религиозно-философское учение в Др. Греции 6-4 вв. до н. э., основанное Пифагором и исходившее из представления о числе как основе всего существующего. Числовые соотношения — источник гармонии космоса, структура которого мыслилась в пифагореизме как физико-геометрическо-акустическое единство. Пифагореизм внес значительный вклад в развитие математики, астрономии (утверждение о шарообразности Земли) и акустики. Вместе с орфиками пифагорейцы учили о переселении душ и разработали сложную систему культовых запретов («пифагорейский образ жизни»).

1. Домашнее задание.  N483(б, г), N484(б, г, д), §3, п54, найти ошибку в следующем задании.