Слайд 1

Комплексные числа

Слайд 2

Область применения комплексного числа

Слайд 3

Мнимая единица Число, квадрат которого равен -1, называется мнимой единицей обозначается i – imaginary – мнимый, воображаемый. Это обозначение предложил Леонард Эйлер в 18 веке. Таким образом: i 2 =-1, i-мнимая единица

Слайд 4

Понятие комплексного числа Определение 1: Числа вида bi , где i – мнимая единица, называются чисто мнимыми. Например : 2i, -3i, 0,5i Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i). П р и м е р . Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0i означает –2. 3 + 0i = 3 -2 + 0 i = -2

Слайд 5

Понятие комплексного числа Определение 2: Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа z = a + bi . Минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа: 1) Существует комплексное число, квадрат которого равен -1 2) Множество комплексных чисел содержит все действительные числа. 3) Операции сложения, вычитания, умножения и деления удовлетворяют законам арифметических действий (сочетательному, переместительному, распределительному)

Слайд 6

Алгебраическая форма комплексного числа z = a + bi . Число a - действительная часть числа z, число bi – мнимая часть числа z. Также комплексные числа можно записывать, например, в виде z = x+y i z= u+v i

Слайд 7

Геометрическое изображение комплексного числа Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью Комплексное число - изображают точкой на комплексной плоскости, где первая координата – действительная часть комплексного числа, вторая – мнимая . Или с помощью радиус-вектора , начало которого в начале координат, конец совпадает с точкой, изображающей комплексное число.

Слайд 8

Геометрическое изображение комплексного числа

Слайд 9

Действия над комплексными числами в алгебраической форме Сложение комплексных чисел Суммой двух комплексных чисел: и называется комплексное число, определяемое равенством

Слайд 10

Вычитание комплексных чисел Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью двух комплексных чисел : и называется комплексное число z , которое, будучи сложенным с дает число и определяется равенством

Слайд 11

Пример 1. Даны комплексные числа 10+8 i , 1+ i . Найдите их сумму и разность. Решение. ( 10+8i)+(1+i)=(10+1)+(8+1) i =11+9i (10+8i) - (1+i)=(10-1)+(8-1) i =9+7i

Слайд 12

Умножение комплексных чисел Произведением комплексных чисел: и называется комплексное число, определяемое равенством

Слайд 13

Пример 2. Даны комплексные числа 10+8 i , 1+ i . Найти их произведение Решение. 1 способ – по определению =

Слайд 14

Умножение комплексных чисел 2 способ – умножить скобку на скобку

Слайд 15

Деление комплексных чисел Деление определяется как действие, обратное умножению. Частным двух комплексных чисел называется комплексное число z , которое будучи умноженным на , дает число , т.е. , если . Если , , , то

Слайд 16

Деление комплексных чисел На практике используют следующий прием: умножают числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю (избавляются от мнимости в знаменателе)

Слайд 17

Пример 3. Даны комплексные числа 10+8 i , 1+ i . Найдем их частное. Решение.

Слайд 18

Возведение комплексного числа, заданного в алгебраической форме в n -ю степень Выпишем целые степени мнимой единицы: =- i и т.д.

Слайд 19

Пример 4. Вычислить Решение. Представим показатель степени в виде и воспользуемся свойством степени с рациональным показателем Имеем: 2092=4 523, тогда , т.к. . При возведении комплексного числа во вторую и третью степень пользуются формулами квадрата и куба для суммы двух чисел

Слайд 20

Пример 5. Вычислить : Решение . = =

Слайд 1

Предел функции Основные понятия и свойства

Слайд 2

Повторить Определение функции Приращение аргумента Приращение функции

Слайд 3

Из истории

Слайд 4

Определения предела функции в точке Определение 1: число А называется пределом величины x , если в процессе своего изменения x неограниченно приближается к А. Обозначение: lim – сокращение латинского слова limes (межа, граница) ввел И. Ньютон. Если мы говорим «значение стремится к чему-либо», то мы приближаем его к определенной границе – пределу. Записывается Читается: предел функции f ( x ) равен А при х стремящемся к

Слайд 5

Определения предела функции в точке Определение 2: Число b называется пределов функции в точке а , если для всех значений х, достаточно близких к а и отличных от а , значение функция сколь угодно мало отличаются от b .

Слайд 6

Геометрический смысл

Слайд 7

Бесконечно малые и бесконечно большие функции Определение: функция н азывается бесконечно малой при , если Если функция имеет бесконечный предел в точке (или на бесконечности), то ее называют бесконечно большой в этой точке (или на бесконечности). Предел отношения постоянной величины к бесконечно малой функции есть бесконечно большая величина:

Слайд 8

Связь между бесконечно малой функцией и бесконечно большой Величина обратная бесконечно малой функции есть бесконечно большая функция: Если – б. м. ф. ( , то – б.б.ф . Величина обратная бесконечно большой функции есть бесконечно малая функция: Если – б. б. ф. ( , то – б.м.ф .

Слайд 9

Свойства бесконечно малых функций 1 . Сумма конечного числа б.м.ф . при является б.м.ф . при 2. Произведение конечного числа б.м.ф . при есть б.м.ф . при 3. Произведение б.м.ф . при на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки функцию является б.м.ф . при Связь функции, ее предела и б.м.ф .: число А является пределом функции в точке , тогда и только тогда, когда имеет место равенство Если – б. м. ф при

Слайд 10

Предел функции на бесконечности

Слайд 11

Правила вычисления пределов Теоремы о пределах Если существуют пределы функций , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов этих функций: Если существуют пределы функций , то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов этих функций:

Слайд 12

Правила вычисления пределов 3. Если существуют пределы функций и предел функции отличен от нуля, то существует также предел их отношения, равный отношению пределов этих функций:

Слайд 13

Правила вычисления пределов Следствия Постоянный множитель можно вынести за знак предела: Если n – натуральное число, то ,

Слайд 14

Правила вычисления пределов Следствия 3 . Предел многочлена (целой рациональной функции) при равен значению этого многочлена при , т.е. . 4. Предел дробно-рациональной функции при равен значению это q й функции при , если принадлежит области определения этой функции, т.е. .

Слайд 15

Правила вычисления пределов Теоремы 4. 5. Следствие:

Слайд 16

Вычисление пределов а)Если функция f(x)- элементарная функция и число а принадлежит ее области определения, то предел вычисляется прямой подстановкой: Например 1) 2)

Слайд 17

Вычисление пределов б) если при замене x на a под знаком предела получают то искомый предел равен бесконечности Пример 3.

Слайд 18

Вычисление пределов в) если при замене x на a под знаком предела получают то говорят, что под знаком предела неопределенность Пример 4. Пример 5.

Слайд 19

Вычисление пределов на бесконечности Пример 6. Если при подстановке предельного значения в функцию f(x) , получаются выражения вида: или , то предел будет равен или 0

Слайд 20

Вычисление пределов на бесконечности

Слайд 21

Вычисление предела на бесконечности Пример 7.

Слайд 22

Вычислить . 2) 3) 4) 5) 6)

Слайд 23

Домашнее задание На сайте : Презентация «Предел функции» ДЗ Вычисление пределов

Слайд 1

Непрерывность функций Асимптоты

Слайд 2

Непрерывность функций Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x=a , если предел функции при равен значению функции при x=a , т.е.

Слайд 3

Непрерывность функций Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=a , если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. Если условие непрерывности функции в точке x = a нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции .

Слайд 4

Непрерывность функций Для элементарных функций справедливы следующие положения: 1) область непрерывности элементарной функции совпадает с ее областью определения , т.е. элементарная функция непрерывна во всей области определения; 2) элементарная функция может иметь разрыв только в отдельных точках какого – либо промежутка, но не во всех его точках; 3)элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, в которой она не определена.

Слайд 5

Непрерывность функций Функция называется непрерывной в промежутке (замкнутом или открытом), если она непрерывна во всех точках этого промежутка. Пример 1. Исследовать на непрерывность функции: y=3x; 2) y=3x 2 -2x .

Слайд 6

Решение . Область непрерывности совпадает с областью определения . Покажем это, используя определение 2. Дадим аргументу х приращение и найдем приращение функции : Найдем Равенство справедливо при всех значениях х, поэтому функция непрерывна при любых значениях х

Слайд 7

Решение 2) , следовательно, она непрерывна при любых значениях x . следовательно, она непрерывна при любых значениях x .

Слайд 8

Непрерывность функций Пример 2. Исследовать на непрерывность функцию y = x 2 -2 при x =3. Решение. По определению 1: y (3)= 3 2 -2=7. Следовательно, данная функция в точке x =3 непрерывна.

Слайд 9

Точки разрыва функции Если функция y = f ( x ) при x = a имеет разрыв , то для выяснения характера разрыва следует найти предел функции f ( x ) при a слева и справа. Различают три основных вида разрывов : 1) Разрыв первого рода – если существуют пределы: и , но их значения не равны между собой; 2) Разрыв второго рода – если хотя бы один из пределов и , не существует или бесконечен;

Слайд 10

Точки разрыва функции 3) Точка устранимого разрыва - если существуют и равны между собой пределы и , но функция в точке x = a не существует или ее значение в этой точке не совпадает со значением пределов в точке. Пример 3. Найти точки разрыва и исследовать их характер: 1) ; 2) ; 3) ; 4)

Слайд 11

Решение. 1) ; , т.к. функция элементарная, то она непрерывна в каждой точке ее области определения. х =3- точка разрыва. Исследуем характер разрыва: , Следовательно, функция в точке x =3 имеет бесконечный разрыв, т.е. разрыв второго рода.

Слайд 12

Решение. 2) ; 2 -6x+8 , x x =2, x =4 – точки разрыва x =2, x =4 – точки разрыва второго рода.

Слайд 13

Решение. 3) ; x =0 –точка разрыва , 3 0 =1. Так как при , функция имеет бесконечный предел, то x =0 – точка разрыва второго рода.

Слайд 14

Решение. 4) ; x =0 –точка разрыва . Так как оба предела конечные, то x =0- точка разрыва первого рода.

Слайд 15

Пример 4 Функция в точке x =1 не определена, но то есть = . Доопределим функцию в точке, положив ее значение в этой точке, равным трем. функция становится непрерывной в точке 1.

Слайд 16

Асимптоты Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

Слайд 17

Вертикальные асимптоты График функции y = f ( x ) при a имеет вертикальную асимптоту, если или , при этом x = a есть точка разрыва второго рода. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид x=a

Слайд 18

Наклонные асимптоты Г рафик функции y = f ( x ) имеет наклонную асимптоту y = kx + b , если Существуют ,

Слайд 19

Пример 5 Найти асимптоты кривых и построить схематично графики функций: 2) 3) , 4) .

Слайд 1

Понятие первообразной

Слайд 2

Определение первообразной Первообразной функции на промежутке называется такая функция д ля любого из заданного промежутка

Слайд 4

Вид первообразных Каждая функция, которая является первообразной для функции , может быть представлена в виде г де С – произвольная постоянная.

Слайд 6

Правила вычисления первообразных

Слайд 7

Сопутствующие понятия Операция нахождения первообразной от функции называется интегрированием функции Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию

Слайд 1

Неопределенный и определенный интеграл Свойства интеграла

Слайд 2

Экспресс- контрольная Вариант 1. 1)Закончить предложение «Неопределенным интегралом функции f ( x ) называется … 2)Правая часть равенства 3)Найти: Вариант 2. 1)Закончить предложение «Операция обратная дифференцированию называется …» 2)Правая часть равенства F / ( x )=… 3)Найти:

Слайд 3

Понятие определенного интеграла Задача нахождения площади криволинейной трапеции Криволинейная трапеция – плоская фигура, ограниченная графиком функции отрезками прямых x = a , x = b и осью Ox .

Слайд 4

Понятие определенного интеграла Пусть на некотором интервале [ a , b ] задана непрерывная функция Задача: Построить ее график и найти площадь фигуры, ограниченной этой кривой, двумя прямыми x = a и x = b , а снизу – отрезком оси абсцисс между точками x = a и x = b .

Слайд 5

Фигура aABb называется криволинейной трапецией

Слайд 6

Понятие определенного интеграла Определенный интеграл от данной непрерывной функции f ( x ) на данном отрезке [ a ; b ] - соответствующее приращение ее первообразной, то есть Числа a и b – пределы интегрирования, [ a ; b ] – промежуток интегрирования.

Слайд 7

Правило: Определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования. Введя обозначения для разности Формула Ньютона – Лейбница.

Слайд 8

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716 гг.) Выдающийся немецкий мыслитель Готфрид Вильгельм Лейбниц принадлежал к роду, известному своими учеными и политическими деятелями. Он изобретал всевозможные универсальные приемы для решения всех задач сразу и, может быть, поэтому вслед за Паскалем стал строить вычислительные устройства.

Слайд 9

Исаак НЬЮТОН (Newton) (04.01.1643 - 31.03.1727) Английский физик и математик, создатель теоретических основ механики и астрономии. Он открыл закон всемирного тяготения, разработал (наряду с Г. Лейбницем) дифференциальное и интегральное исчисления, изобрел зеркальный телескоп и был автором важнейших экспериментальных работ по оптике. Ньютона по праву считают создателем "классической физики".

Слайд 10

Замечание. С геометрической точки зрения при равен площади криволинейной трапеции.

Слайд 11

Вычислить интегралы.

Слайд 12

Основные свойства определенного интеграла. 1) Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. где x и t – любые буквы. 2) Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

Слайд 13

3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный ( свойство аддитивности) 4) Если промежуток [ a ; b ] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку [ a ; b ], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

Слайд 14

5) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. 6) Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Слайд 1

Матрицы и определители

Слайд 2

1. Матрицы Определение Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел состоящая из m строк и n столбцов.

Слайд 3

Основные понятия Матрица размера m  m называется квадратной

Слайд 4

Основные понятия Две матрицы считаются равными , если равны их размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах. Квадратная матрица называется диагональной, если все элементы, кроме элементов главной диагонали нули - диагональная матрица

Слайд 5

Основные понятия Диагональная матрица называется единичной матрицей, если все элементы главной диагонали единицы . Обозначение Е Пример Е= , Е= и т.д.

Слайд 6

2. Действия над матрицами Суммой матриц размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B :

Слайд 7

Действия над матрицами

Слайд 8

Действия над матрицами Произведением матрицы на число  называется матрица получающаяся из матрицы A умножением всех её элементов на  :

Слайд 9

Действия над матрицами

Слайд 10

Действия над матрицами Решение.

Слайд 11

Действия над матрицами Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой , стоящий в i -ой строке и j -ом столбце, равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы А и соответствующих элементов j -го столбца матрицы B

Слайд 12

Действия над матрицами Вычислить произведение матриц

Слайд 13

Решение

Слайд 14

Свойства операции умножения а) Произведение матриц возможно, т.к. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В; произведения не существует, так как число столбцов первой матрицы не совпадает с числом строк второй матрицы

Слайд 15

Свойства операции умножения б) Если даже произведения АВ и ВА существуют, то они могут быть матрицами разных размеров.

Слайд 16

Свойства операции умножения Найти произведения матриц АВ и ВА:

Слайд 17

Свойства операции умножения

Слайд 18

Транспонирование матрицы Переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А’ называется транспонированной относительно матрицы А:

Слайд 19

Транспонирование матрицы

Слайд 20

Контрольные вопросы Определение матрицы Что показывает размер матрицы? Квадратная матрица Равные матрицы Сложение и вычитание матриц Умножение матрицы на число Умножение матриц Транспонирование матриц

Слайд 21

Самостоятельно №1. Даны матрицы А 2  3 , В 3  1 , С 3  3 . Существуют ли 1 вариант 2 вариант а) АВ, б) ВА а) АС, б) СА №2. Даны матрицы: Вычислить 1 вариант 2 вариант А+2В 3А-В

Слайд 22

Определители Определитель второго порядка

Слайд 23

Пример 1. Вычислим определитель

Слайд 24

Определители 3-го порядка

Слайд 25

Пример 2. Вычислить определитель: Решение.

Слайд 26

Правило треугольника Элементы со знаком плюс и со знаком минус выбираются из определителя, как показано на рисунке: + -

Слайд 27

Пример 3. Вычислить определитель: по правилу треугольника.

Слайд 28

Замечание. Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали, то есть

Слайд 29

Определение. Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор элемента , стоящего на пересечении i - й строки и j -го столбца определителя, обозначают М ij .

Слайд 30

Например, для определителя миноры:

Слайд 31

Алгебраическое дополнение Алгебраическое дополнение элемента обозначают Согласно определению:

Слайд 32

Знаки алгебраических дополнений для определителя 3-го порядка

Слайд 33

Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Слайд 34

Таким образом, имеет место шесть разложений:

Слайд 35

3. Свойства определителей 1 . Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0. 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число  , то ее определитель умножится на это число  .

Слайд 36

Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех элементов.

Слайд 37

Свойства определителей 3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: | A ’|=| A |. 4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0. 6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

Слайд 38

Свойства определителей 7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е. 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

Слайд 39

Домашнее задание. Контрольные вопросы: Определение определителя второго порядка. Определение определителя третьего порядка. Свойства определителей. Правило треугольника для вычисления определителя. Вычисление определителя по теореме о разложении .

Слайд 40

Вычислите определители: 1. 2.

Слайд 1

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Слайд 2

Повторяем Операция, обратная нахождению производной функции называется … Функция F ( x ) называется первообразной функции f ( x ), если … Операция нахождения первообразной функции называется … С помощью неопределенного интеграла находят … Неопределенный интеграл обозначается … Все первообразные функции f ( x ) имеют вид … Операция интегрирования заключается в нахождении…

Слайд 3

Повторяем 8) Неопределенный интеграл равен … 9) Формула Ньютона – Лейбница имеет вид … 10) Геометрический смысл определенного интеграла. 11) Перечислить известные методы интегрирования 12) Какую операцию называют интегрированием? 13) Определение первообразной 14) Совокупность всех первообразных функции называют …

Слайд 4

Повторяем 15) Какая операция является обратной интегрированию? 16) Все первообразные функции находят с помощью…

Слайд 5

Повторяем

Слайд 6

Повторяем

Слайд 7

Повторяем

Слайд 8

Повторяем Какой из интегралов нельзя вычислять с помощью формулы Ньютона-Лейбница

Слайд 9

Повторяем

Слайд 10

Понятие несобственного интеграла На практике часто необходимо интегрировать функции, заданные на бесконечном промежутке . Такие интегралы называются несобственными интегралами и обозначаются символом .

Слайд 11

Пусть f ( x ) непрерывная функция, определенная на полуоси , где а – некоторое число Рассмотрим определенный интеграл Ф( b )= , как функцию верхнего предела b > a

Слайд 12

Определение Если функция Ф( b ) имеет при b конечный предел, то этот предел называется несобственным интегралом от функции f ( x ) по промежутку В этом случае говорят, что функция интегрируема на промежутке в несобственном смысле, а несобственный интеграл называют сходящимся.

Слайд 13

Определение Если же предел функции Ф( b ) не существует или он бесконечен, то функцию называют неинтегрируемой на промежутке , а сам несобственный интеграл – расходящимся .

Слайд 14

Примеры Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость 1) 5) 2) 6) 3) 4)

Слайд 1

Функция двух переменных

Слайд 2

Повторить Уравнение окружности с центром в начале координат : Уравнение сферы с центром в начале координат :

Слайд 3

Функция двух переменных Обозначают : z = z( x,y ) либо z= f( x,y ) , или u=f( x,y ) , u = u ( x,y ) Функцией двух переменных называется закон , по которому каждой паре значений независимых переменных x,y ( аргументов ) из области определения соответствует значение зависимой переменной z ( функции ).

Слайд 4

Областью определения функции двух переменных называется множество всех пар , для которых существует значение . Графически область определения представляет собой всю плоскость либо её часть . Так, областью определения функции является вся координатная плоскость – по той причине, что для любой точки существует значение .

Слайд 6

Найти область определения функции Решение: Ответ : вся координатная плоскость кроме точек, принадлежащих прямой y x 5 5 0

Слайд 7

Найти область определения функции Решение: Ответ : полуплоскость у x y =

Слайд 8

Найти область определения функции и изобразить её на чертеже Решение: Ответ : внешняя часть круга

Слайд 10

Значение функции z = f ( x ; y ) в точке обозначают или и называют частным значением функции .

Слайд 12

Если одному из аргументов функции z = f( x,y ) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – это частное приращение функции z по аргументу x; – это частное приращение функции z по аргументу у . Частное приращение по одному из аргументов

Слайд 13

Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю: – это частная производная функции z по аргументу x ; – это частная производная функции z по аргументу у .

Слайд 14

Вычисление частной производной Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования Пример: найти частные производные функции

Слайд 15

Полное приращение функции 2-х переменных Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

Слайд 16

Определение дифференцируемой функции Функция называется дифференцируемой в точке М( х,у ), если ее полное приращение можно представить в виде где Δ x и Δ y -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М( х,у ), А и В –постоянные, независящие от Δ x и Δ y , o ( ρ ) -бесконечно малая более высокого порядка, чем -расстояние между М ( х,у ) и

Слайд 17

Определение полного дифференциала Главная линейная относительно Δ x и Δ y часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df ( x , y ) . Таким образом, .

Слайд 18

Формула для вычисления полного дифференциала Если функция дифференцируема в точке М( х,у ), то она имеет в этой точке частные производные и , причем Таким образом, . Если положить , то

Слайд 19

Пример Найти частные производные следующей функции двух переменных:

Слайд 20

Решить задачи №1. Найти частное значение функции: №2. Найти частные производные и полный дифференциал функций: 1) 2) 3)

Слайд 21

Пример найти полный дифференциал функции

Слайд 1

Двойные интегралы и их свойства

Слайд 2

Определение двойного интеграла

Слайд 3

Определение двойного интеграла

Слайд 4

Определение двойного интеграла

Слайд 5

Основные понятия

Слайд 6

Основные понятия

Слайд 7

Геометрический смысл двойного интеграла

Слайд 8

Геометрический смысл двойного интеграла

Слайд 9

Геометрический смысл двойного интеграла

Слайд 10

Геометрический смысл двойного интеграла

Слайд 11

Свойства двойного интеграла

Слайд 12

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Область D называется простой относительно оси OY , если любая прямая параллельная оси OX , пересекает границу области не более чем в двух точках. Аналогично определяется область простая относительно оси OX .

Слайд 13

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Область D простая относительно оси OX

Слайд 14

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Слайд 15

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах Область D простая относительно оси OY

Слайд 1

Числовые ряды

Слайд 2

Определение числового ряда

Слайд 3

Примеры №1. Записать ряд по его заданному общему члену:

Слайд 4

Примеры №2. Найти n- й член ряда по его данным первым членам: -1+

Слайд 5

Примеры №3. Найти первые 4 члена ряда по его заданному общему члену: 1) 2) 3)

Слайд 6

Частичные суммы ряда Суммы + …………………. + +…+ Составленные из первых членов ряда, называются частичными суммами этого ряда

Слайд 7

Понятие сходимости числового ряда Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм , , , …, …. Если при бесконечном возрастании номера n частичная сумма ряда стремится к пределу S , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой сходящегося ряда, т.е. или

Слайд 8

Понятие расходимости числового ряда Если частичная сумма ряда при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела, то ряд называется расходящимся Если ряд сходится, то значение при достаточно большом n является приближенным выражением суммы ряда S .

Слайд 9

Примеры №4. Найти сумму членов ряда :

Слайд 10

Необходимый признак сходимости ряда Ряд может сходиться только при условии, что общий член при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю

Слайд 11

Достаточный признак расходимости ряда Если , то ряд расходится Пример №5 Исследовать ряд на сходимость

Слайд 1

Достаточные признаки сходимости рядов

Слайд 2

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Пусть имеется два числовых ряда с положительными членами (1) (2) >0, >0 при n Для таких рядов справедливы следующие признаки сходимости.

Слайд 3

1. Признак сравнения рядов с положительными членами. Пусть общие члены рядов (1) и (2) связаны неравенствами для всех n . Тогда : 1) Если ряд (2)сходится, то и ряд (1) сходится 2) Если ряд (1) расходится, то и ряд (2) расходится

Слайд 4

Для сравнения используют Геометрический ряд , который сходится при и расходится при 2) Гармонический ряд + +…+ +… расходящийся 3) Обобщенный гармонический ряд + +…+ +… а) p<1 -расходится; б)р >1 – сходится; в) р=1- обращается в гармонический ряд – расходящийся

Слайд 5

Примеры Исследовать сходимость ряда, применяя необходимый признак сходимости и признак сравнения №1. №2. №3. №4.

Слайд 6

Признак Даламбера Если для ряда c положительными членами выполняется условие = l , то Если l<1 - ряд сходится Если l>1 - ряд расходится Если l = 1 – применять другой признак

Слайд 7

Примеры №5. Исследовать сходимость ряда, используя признак Даламбера

Слайд 8

Предельный признак сравнения положительных рядов Если для положительных рядов существует то: При 0 ряды сходятся или расходятся одновременно

Слайд 9

Примеры № 6 . Исследовать сходимость ряда, используя предельный признак сравнения

Слайд 10

Радикальный признак Коши Пусть для положительного числового ряда Существует предел Тогда при q ряд сходится, а при q ряд расходится При q ряд может сходиться и расходиться.

Слайд 11

Примеры №7. Исследовать на сходимость ряд

Слайд 1

Сходимость знакочередующихся рядов

Слайд 2

Знакопеременные ряды Определение Знакопеременным называется числовой ряд, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда: Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Слайд 3

Знакопеременные ряды Абсолютно сходящимся называется знакопеременный ряд, для которого ряд, составленный из модулей его членов, является сходящимся. Условно сходящимся называется сходящийся знакопеременный ряд, для которого ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Слайд 4

Пример №1. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд и указать тип сходимости

Слайд 5

Знакочередующиеся ряды Определение. Числовой ряд называется знакочередующимся , если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки. (Частный случай знакопеременного ряда) Достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов – признак Лейбница Если члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член стремится к нулю при то ряд сходится

Слайд 6

Примеры №2. Исследовать на сходимость (условную или абсолютную) знакочередующийся ряд

Слайд 7

Самостоятельно Исследовать на сходимость (условную или абсолютную) знакочередующийся ряд Вариант 1 Вариант 2 1) 2) 3)

Слайд 1

Дифференциальные уравнения

Слайд 2

Повторение 1)Определение дифференциала функции 2)Выразить из формулы дифференциала производную функции

Слайд 3

Повторение 3)Что понимают под операцией интегрирования? 4)Определение первообразной функции .

Слайд 4

Повторение Является ли уравнением:

Слайд 5

Повторение Как называется уравнение:

Слайд 6

Что связывает каждое из уравнений

Слайд 7

1.Основные понятия . Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Слайд 8

Основные понятия Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным

Слайд 9

Основные понятия Порядок старшей производной неизвестной функции определяет порядок дифференциального уравнения.

Слайд 10

Пример 1. Определить порядок дифференциального уравнения

Слайд 11

Дифференциальное уравнение n -го порядка разрешенное относительно старшей производной

Слайд 12

Решением дифференциального уравнения называется такая функция которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Слайд 13

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Слайд 14

2. Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнение вида где х- независимая переменная, y и - соответственно неизвестная функция и ее производная, называется дифференциальным уравнением первого порядка

Слайд 15

2 . Дифференциальные уравнения первого порядка Уравнение (2) называется уравнением первого порядка , разрешенным относительно производной

Слайд 16

Примеры уравнений, разрешенных относительно производной

Слайд 17

Примеры уравнений, которые можно разрешить относительно производной неизвестной функции

Слайд 18

Общим решением дифференциального уравнения первого п орядка называется такая дифференцируемая функция y =  ( x , C ), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество .

Слайд 19

Свойства общего решения. Т.к. постоянная С – произвольная величина, то дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений . 2) При х = х 0 , у(х 0 ) = у 0 существует такое значение С = С 0 , при котором решением дифференциального уравнения является функция у =  ( х , С 0 ).

Слайд 20

Всякое решение у =  (х, ), получающееся из общего решения y =  ( x , C ) при конкретном значении С = , называется частным решением дифференциального уравнения . Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальному условию называется задачей Коши

Слайд 21

3. Простейшие дифференциальные уравнения Уравнения вида y ’ = f ( x ) Пример 1. Решить дифференциальные уравнения

Слайд 22

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Слайд 23

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Слайд 24

Решение.

Слайд 25

Частное решение

Слайд 26

Пример 3. Решить уравнение

Слайд 27

Решение.

Слайд 28

Пример 4. Решить уравнение

Слайд 29

Решение.

Слайд 30

Пример 5. Решить уравнение

Слайд 31

Решение.

Слайд 1

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Слайд 2

Определение Линейное уравнение первого порядка в стандартной записи имеет вид: 1) В линейное уравнение входит первая производная 2)В линейное уравнение входит произведение , где y одинокая буковка «игрек» (функция), а p(x) – выражение, зависящее только от x . 3) И, наконец, в линейное уравнение входит выражение q(x) зависящее только от x . В частности q(x) может быть константой.

Слайд 3

Пример 1. решить уравнение: Решение : Данное уравнение является линейным и имеет простейший вид: Способ решения связан с заменой переменной и подстановкой, иногда его называют методом Бернулли . Линейное дифференциальное уравнение можно решить одной-единственной заменой: , где u и v – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс». По правилу дифференцирования произведения

Слайд 4

Решение Подставляем в исходное уравнение и После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах: Выносим за скобки все, что можно вынести Составляем систему уравнений

Слайд 5

Решение Приравниваем к нулю то, что находится в скобках : Если , то из уравнения получаем или просто Уравнения записываем в систему: Первое уравнение – уравнение с разделяющимися переменными

Слайд 6

Решение

Слайд 7

Решение На данном этапе константу не приписывам . Далее подставляем найденную функцию во второе уравнение системы . Из второго уравнения находим функцию u :

Слайд 8

Решение Обе функции u и v найдены Общее решение Ответ:

Слайд 9

Примеры Пример 2 Найти общее решение дифференциального уравнения Пример 3 . Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

Слайд 1

Однородные дифференциальные уравнения

Слайд 2

Определение 1 Функци я y = f ( x ) называется однородной функцией нулевого измерения , если при умножении аргументов x и y на произвольный параметр t значение функции не изменится. Например: , Однородная функция нулевого измерения может быть представлена в виде:

Слайд 3

Определение 2 Уравнение называется однородным относительно x и y , если функция является однородной функцией нулевого измерения и его можно записать в виде: .

Слайд 4

Определение 3 Функци я y = f ( x ) называется однородной функцией n -го измерения, если при замене переменных x и y соответственно на , где t - произвольная величина (параметр), получается та же функция, умноженная на , т.е. выполняется условие: . Определение 4. Число n называется измерением (степенью ) или порядком однородности функции.

Слайд 5

Определение 5 Уравнение , в котором и - однородные функции одного и того же измерения , также является дифференциальным уравнением относительно x и y .

Слайд 6

Пример 1. Установить, являются ли однородными функции

Слайд 7

Решение 1)

Слайд 8

Метод решения Однородное уравнение приводят к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , где – новая искомая функция переменной . Вместо z может быть любая буква использована, например, t или u

Слайд 9

Пример 2 Решить дифференциальное уравнение Решение . П роверить уравнение на однородность Вводим замену Тогда Подставляем в исходное уравнение Упрощаем Получили уравнение с разделяющимися переменными

Слайд 10

t – это функция от x , заменяем Обратная замена Ответ:

Слайд 11

Решить дифференциальные уравнения 1. 2. 3. 4. 5.

Слайд 1

Векторы в пространстве Векторное и смешанное произведение векторов

Слайд 2

Повторение Определение вектора Изображение вектора Векторные величины, примеры Координаты вектора Действия над векторами Угол между векторами Скалярное произведение (определение, правило в координатной форме)

Слайд 3

Система координат в пространстве Координатные оси (названия) Орты Разложение вектора по координатным векторам

Слайд 4

Упорядоченная тройка векторов Три вектора a, b, c будем называть упорядоченной тройкой, если указан порядок следования Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу кратчайший поворот от a к b из точек вектора с виден против часовой стрелки ( по часовой стрелке)

Слайд 5

Правая тройка векторов

Слайд 6

Векторное произведение векторов Определение. Вектор c называется векторным произведением векторов , если: 1) | | = | || | sinφ , 2) 3) тройка векторов abc правая .

Слайд 7

Геометрический смысл векторного произведения Длина векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах . где φ – угол между .

Слайд 8

Свойство так как изменится на противоположное направление вектора при неизменной и равной площади параллелограмма со сторонами a и b длине этого вектора

Слайд 9

Векторное произведение в координатной форме Если

Слайд 10

Пример Найти площадь треугольника ABC , если координаты его вершин Решение.

Слайд 11

Смешанное произведение Смешанным произведением векторов Называется число Обозначают Численно смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах, взятому со знаком +если эта тройка векторов правая, и со знаком -, если эта тройка левая.

Слайд 12

Геометрический смысл смешанного произведения Объем параллелепипеда, построенного на векторах Объем пирамиды

Слайд 13

Вычисление смешанного произведения , ,

Слайд 14

Условие компланарности векторов 0 Проверить, компланарны ли данные векторы: , ,

Слайд 15

Решить задачи Найти скалярное произведение векторов и 2) Найти векторное произведение векторов и 3) Найти смешанное произведение векторов , ,

Слайд 16

Решить задачи 4) Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;1;1), В(2;3;4), С(4;3;2) 5) Показать, что векторы , , компланарны.

Слайд 17

Домашнее задание Пройти тест Выполнить практическую работу №17 «Вычисление скалярного, смешанного и векторного произведений векторов»

Слайд 18

ДЗ пройти тест