Геометрия (первый курс)

Слайд 1

Параллельность прямых, прямой и плоскости в пространстве Основные понятия и аксиомы стереометрии

Слайд 2

Геометрия Планиметрия Стереометрия Stereos : телесный, твердый, объемный, пространственный

Слайд 3

Стереометрия Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Основные фигуры в пространстве: А Точка. а Прямая. Плоскость.

Слайд 4

Обозначения: точка прямая плоскость A, B, C, … a, b, c, … или A В , B С , CD, …

Слайд 5

Геометрические тела: Куб Параллелепипед Тетраэдр

Слайд 6

Геометрические понятия . Плоскость – грань Прямая – ребро Точка – вершина вершина грань ребро

Слайд 7

Аксиома ( от греч. ax íõ ma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства

Слайд 8

Характеризуют взаимное расположение точек и прямых 1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки 2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой 3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна. Основное понятие геометрии «лежать между» 4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна А2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей .

Слайд 9

Аксиомы стереометрии А1 А 2 А 3

Слайд 10

Аксиомы стереометрии описывают: А1 Способ задания плоскости А2 Взаимное расположение прямой и плоскости А3 Взаимное расположение плоскостей

Слайд 11

Следствия из аксиом стереометрии Следствие Чертеж Формулировка № 1 № 2 Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Слайд 12

Способы задания плоскости g 1. Плоскость можно провести через три точки. g 2. Можно провести через прямую и не лежащую на ней точку. Аксиома 1 Теорема 1 g Теорема 2 3. Можно провести через две пересекающиеся прямые. А 1

Слайд 13

Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая не пересекает плоскость. Сколько общих точек в каждом случае? g а g а М g а а Ì g а Ç g = М а Ë g Прямая пересекает плоскость .

Слайд 14

Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Слайд 15

Теорема Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Слайд 16

Параллельность трех прямых Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Слайд 17

Теорема (признак параллельности прямых в пространстве) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Слайд 18

Определение Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. g а Ë g Параллельность прямой и плоскости

Слайд 19

Теорема Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Слайд 20

Верны утверждения 1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. 2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Слайд 21

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) четыре точки, лежащие в плоскости SAB , в плоскости АВС; б) плоскость, в которой лежит прямая MN , прямая КМ; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ASC и SBC , плоскости SAC и CAB . К А В М S N C

Слайд 22

Пользуясь данным рисунком, назовите: а) две плоскости, содержащие прямую DE , прямую EF б) прямую, по которой пересекаются плоскости DEF и SBC ; плоскости FDE и SAC ; в) две плоскости, которые пересекает прямая SB ; прямая AC . А С В S D F E

Слайд 23

Пользуясь данным рисунком, назовите: три плоскости, содержащие прямую В 1 С; прямую АВ 1; C 1 C A 1 B 1 D 1 A B D

Слайд 24

А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 В 1 С ?

Слайд 25

А А 1 В В 1 С D 1 D C 1 В 1 С ?

Слайд 1

Цилиндр

Слайд 2

Дом архитектора Мельникова

Слайд 3

Теоретический материал

Слайд 4

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Слайд 5

Примеры цилиндра:

Слайд 7

Получение цилиндра: Вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, где Н- высота R- радиус цилиндра

Слайд 8

Сечения цилиндра Любое сечение боковой поверхности цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси – круг , равный основанию.

Слайд 9

Касательная плоскость цилиндра

Слайд 10

Площадь поверхности цилиндра

Слайд 11

Объем цилиндра

Слайд 1

конус

Слайд 2

«konos» означает «сосновая шишка». Историческая справка о конусе

Слайд 3

Понятие конуса Определение : тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L , называется конусом . L

Слайд 4

боковая (коническая) поверхность высота конуса ( РО ) ось конуса вершина конуса (Р) основание конуса радиус конуса ( r ) Элементы конуса B r образующие P

Слайд 5

Конус – тело вращения Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета

Слайд 6

Работаем в тетради: ОСНОВАНИЕ ВЕРШИНА ВЫСОТА h R РАДИУС ОБРАЗУЮЩАЯ L L h

Слайд 7

Боковая поверхность конуса Если разрезать конус по образующей, то получим развертку конуса. L A B C S бок = π RL

Слайд 8

Полная поверхность конуса Зная формулу боковой поверхности конуса выведите формулу нахождения полной поверхности конуса R S полн =S бок +S осн S бок = π RL S осн = π R 2 S полн = π RL+ π R 2 S полн = π R(L+R)

Слайд 9

Объем конуса А С О

Слайд 10

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.

Слайд 11

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Осевое сечение конуса-это сечение, проходящее через его ось.

Слайд 12

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляет собой круг с центром на оси конуса.

Слайд 13

L=13, R=5 Найти H . О А С В Н 13 5

Слайд 14

Найти R , H . АВС=90 0 , L =3 А В С О

Слайд 15

Найти R, H. АВС= 120 0 , L=6. А В С О

Слайд 16

А О К С Найти ОК, Н. ABC – равносторонний, L =12, R =10. В

Слайд 1

СФЕРА И ШАР

Слайд 2

Окружность и круг d r Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r – радиус d – диаметр r Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью .

Слайд 3

Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О). D О R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром. D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. т. О – центр сферы R

Слайд 4

Шар Шаром называется тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара . Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Слайд 5

Как изобразить сферу? 1. Отметить центр сферы (т.О) 2. Начертить окружность с центром в т.О 3. Изобразить видимую вертикальную дугу 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу R О Изобразить видимую горизонтальную дугу 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу 7 . Провести радиус сферы R

Слайд 6

Уравнение окружности О С(х 0 ;у 0 ) М(х;у) Зададим прямоугольную систему координат О xy Построим окружность c центром в т. С и радиусом r Расстояние от произвольной т.М ( х;у ) до т.С вычисляется по формуле: МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 МС = r , или МС 2 = r 2 Следовательно, уравнение окружности имеет вид : (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2

Слайд 7

Уравнение сферы Зададим прямоугольную систему координат О xyz z х у М( х;у ;z ) R C(x 0 ;y 0 ;z 0 ) Построим сферу c центром в т. С и радиусом R МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 МС = R , или МС 2 = R 2 Следовательно, уравнение сферы имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2

Слайд 8

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0 ) и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы. Решение: так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5 , то уравнение данной сферы ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 Ответ: ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

Слайд 9

Взаимное расположение окружности и прямой Возможны 3 случая: d d r Если d < r , то прямая и окружность имеют 2 общие точки. d = r Если d = r , то прямая и окружность имеют 1 общую точку. Если d > r , то прямая и окружность не имеют общих точек.

Слайд 10

Взаимное расположение сферы и плоскости α C (0 ;0; d) х у z O Введем прямоугольную систему координат Oxyz Построим плоскость α , совпадающую с плоскостью Оху Изобразим сферу с центром в т.С , лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0; d) , где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α . В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

Слайд 11

α Взаимное расположение сферы и плоскости C (0 ;0; d) х у z O r М Рассмотрим 1 случай: d < R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r . r = R 2 - d 2 Сечение шара плоскостью есть круг.

Слайд 12

α Взаимное расположение сферы и плоскости C (0 ;0; d) х у z O Рассмотрим 2 случай: d = R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

Слайд 13

Взаимное расположение сферы и плоскости α х у z O C (0 ;0; d) Рассмотрим 3 случай: d > R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Слайд 14

Задача 2. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения. М К О R d Дано: Шар с центром в т.О R=41 дм α - секущая плоскость d = 9 дм Найти: r сеч = ? Решение: Рассмотрим ∆ ОМК – прямоугольный ОМ = 41 дм ; ОК = 9 дм ; МК = r , r = R 2 - d 2 по теореме Пифагора: МК 2 = r 2 = 41 2 - 9 2 = 16 81 - 81=1600 , отсюда r сеч = 4 0 дм Ответ: r сеч = 4 0 дм

Слайд 15

Площадь сферы и шара Сферу нельзя развернуть на плоскость. Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней. За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани Площадь сферы радиуса R : S сф =4 π R 2 S шара =4 S круга т.е.: площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга

Слайд 16

Задача 3. Найти площадь поверхности сферы, радиус которой равен 6 см . Дано: сфера R = 6 см Найти: S сф = ? Решение: S сф = 4 π R 2 S сф = 4 π 6 2 = 144 π см 2 Ответ: S сф = 144 π см 2

Слайд 17

Объем шара радиуса R равен

Слайд 18

Контрольные вопросы: 1. Что такое шар? 2. Что такое шаровая поверхность или сфера? 3. Что такое радиус, диаметр, хорда шара? 4. Какие точки называются диаметрально противоположными? 5. Что является сечением шара плоскостью, удалённой от центра шара на расстояние, меньшее радиуса шара? 6. Какая плоскость называется диаметральной плоскостью шара? 7. Что такое большой круг, большая окружность?

Слайд 1

конус

Слайд 2

Вопрос №1: Какая фигура является основанием цилиндра? а) Овал б) Круг в) Квадрат

Слайд 3

Вопрос №2 : Чему равна площадь основания цилиндра с радиусом 2см? а) 4 π б) 8 π в) 4

Слайд 4

Вопрос №3: Как называется отрезок отмеченный красным цветом? а) диагональ цилиндра б) апофема цилиндра в)образующая цилиндра

Слайд 5

Вопрос №4: По какой формуле можно вычислить боковую поверхность цилиндра? а ) 2 π Rh б) 2 π R(h+R) в) π R 2 h

Слайд 6

Вопрос № 5 : По какой формуле можно вычислить полную поверхность цилиндра? а) π R 2 h б) 2 π Rh в) 2 π R(h+R)

Слайд 7

Вопрос №6: Вычислите боковую поверхность данного цилиндра. а) 15 π см 2 б) 30 π см 2 в) 48 π см 2 3см 5см 3см

Слайд 8

Вопрос №7: Вычислите полную поверхность данного цилиндра. а) 32 π см 2 б) 24 π см 2 в) 16 π см 2 2см 6см

Слайд 9

Вопрос № 8 : Чему равна площадь осевого сечения цилиндра радиуса 1см и образующей 3см? а) 6 см 2 б) 3 см 2 в) 6 π см 2 1см 3см

Слайд 10

Правильные ответы: № вопроса ответ 1 б 2 а 3 в 4 а 5 в 6 б 7 а 8 а На оценку «5»- 8 правильных ответов. На оценку «4»- 6 - 7 правильных ответов. На оценку «3»- 5 правильных ответов. На оценку «2»- 4 и менее правильных ответов.

Слайд 11

Тема урока:

Слайд 12

«konos» означает «сосновая шишка». Историческая справка о конусе

Слайд 13

Понятие конуса

Слайд 14

боковая (коническая) поверхность высота конуса ( РО ) ось конуса вершина конуса (Р) основание конуса радиус конуса ( r ) Элементы конуса B r образующие P

Слайд 15

Конус – тело вращения Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета

Слайд 16

Работаем в тетради: ОСНОВАНИЕ ВЕРШИНА ВЫСОТА h R РАДИУС ОБРАЗУЮЩАЯ L L h

Слайд 17

Боковая поверхность конуса Если разрезать конус по образующей, то получим развертку конуса. L A B C S бок = π RL

Слайд 18

Полная поверхность конуса R S полн =S бок +S осн S бок = π RL S осн = π R 2 S полн = π RL+ π R 2 S полн = π R(L+R)

Слайд 19

Объем конуса А С О

Слайд 20

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник.

Слайд 21

СЕЧЕНИЕ КОНУСА

Слайд 22

СЕЧЕНИЕ КОНУСА Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию, представляет собой круг с центром на оси конуса.

Слайд 23

О А С В Н 13 5

Слайд 24

Найти R , H . А В С О

Слайд 25

Найти R, H. А В С О

Слайд 26

А О К С Найти ОК, Н. В

Слайд 27

Работа с учебником №563

Слайд 28

Усеченный конус.

Слайд 29

Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Слайд 30

Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.

Слайд 31

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

Слайд 32

Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым . Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Слайд 33

Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Слайд 34

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного конуса – это часть круглого кольца. Замечание:

Слайд 35

Полная поверхность и объем усеченного конуса

Слайд 36

Задачи 1. Прямоугольная трапеция с высотой 6 и основаниями 3 и 4 вращается вокруг высоты. Найти площадь поверхности тела вращения и объем.

Слайд 37

Задачи 2. Равнобедренная трапеция с основаниями 6 и 2 и углом при основании 60 градусов вращается вокруг своей оси. Найти поверхность и объем тела вращения.

Слайд 38

Домашнее задание П.55, 56, 57, 70 № 548, 553, 571

Слайд 1

СФЕРА И ШАР

Слайд 2

Окружность и круг d r Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r – радиус d – диаметр r Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью .

Слайд 3

Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О). D О R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром. D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. т. О – центр сферы R

Слайд 4

Шар Шаром называется тело, ограниченное сферой. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара . Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Слайд 5

Как изобразить сферу? 1. Отметить центр сферы (т.О) 2. Начертить окружность с центром в т.О 3. Изобразить видимую вертикальную дугу 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу R О Изобразить видимую горизонтальную дугу 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу 7. Провести радиус сферы R

Слайд 6

Уравнение сферы Зададим прямоугольную систему координат О xyz z х у М( х;у ;z ) R C(x 0 ;y 0 ;z 0 ) Построим сферу c центром в т. С и радиусом R МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 МС = R , или МС 2 = R 2 Следовательно, уравнение сферы имеет вид: (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2

Слайд 7

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0) и радиус сферы R=5, записать уравнение сферы. Решение: так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5 , то уравнение данной сферы ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 Ответ: ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

Слайд 8

Задача 2. Зная уравнение сферы ( x- 3 ) 2 + (y+ 2 ) 2 + z 2 =2 записать координаты центра и радиус сферы Решение: так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5 , то уравнение данной сферы ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25 Ответ: ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

Слайд 9

Решение: так как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , то координаты центра данной сферы С(3;-2;0) и радиус R= Ответ: С(3;-2;0); R=

Слайд 10

Взаимное расположение сферы и плоскости α C (0 ;0; d) х у z O Введем прямоугольную систему координат Oxyz Построим плоскость α , совпадающую с плоскостью Оху Изобразим сферу с центром в т.С , лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0; d) , где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α . В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

Слайд 11

α Взаимное расположение сферы и плоскости C (0 ;0; d) х у z O r М Рассмотрим 1 случай: d < R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность радиусом r . r = R 2 - d 2 Сечение шара плоскостью есть круг.

Слайд 12

α Взаимное расположение сферы и плоскости C (0 ;0; d) х у z O Рассмотрим 2 случай: d = R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

Слайд 13

Взаимное расположение сферы и плоскости α х у z O C (0 ;0; d) Рассмотрим 3 случай: d > R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Слайд 14

Задача 3. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения. М К О R d Дано: Шар с центром в т.О R=41 дм α - секущая плоскость d = 9 дм Найти: r сеч ,

Слайд 15

Решение: Рассмотрим ∆ ОМК – прямоугольный ОМ = 41 дм ; ОК = 9 дм ; МК = r , r = R 2 - d 2 по теореме Пифагора: МК 2 = r 2 = 41 2 - 9 2 = 16 81 - 81=1600 , отсюда r сеч = 4 0 дм =1600 Ответ. r сеч = 4 0 дм ; =1600

Слайд 16

Площадь сферы и шара Сферу нельзя развернуть на плоскость. Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней. За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани Площадь сферы радиуса R : S сф =4 π R 2

Слайд 17

Объем шара радиуса R равен

Слайд 18

Задача 4. Найти площадь поверхности и объем шара, радиуса 6 см . Дано: сфера R = 6 см Найти: S , V

Слайд 19

Решение: S = 4 π R 2 S = 4 π 6 2 = 144 π см 2 V= V= Ответ: S = 144 π см 2 V

Слайд 20

Задача 5 . Объем шара равен объему цилиндра, диаметры шара и цилиндра также равны. Выразить высоту цилиндра через радиус шара Дано: шар и цилиндр Выразить: высоту цилиндра через радиус шара

Слайд 21

Решение: = = = Ответ: =

Слайд 22

Задания для практической работы №29 «Шар и сфера» на сайте