математика (первый курс)

Требования к написанию конспекта.

Конспект должен содержать исходные данные источника, конспект которого составлен.

В нём должны найти отражение основные положения текста.

Объём конспекта не должен превышать одну треть исходного текста.

Текст может быть, как научный, так и научно-популярный.

Сделайте в вашем конспекте широкие поля, чтобы в нём можно было записать незнакомые слова, возникающие в ходе чтения вопросы.

Соблюдайте основные правила конспектирования:

1. Внимательно прочитайте весь текст или его фрагмент – параграф, главу.

2. Выделите информативные центры прочитанного текста.

3. Продумайте главные положения, сформулируйте их своими словами и запишите.

4. Подтвердите отдельные положения цитатами или примерами из текста.

5. Используйте разные цвета маркеров, чтобы подчеркнуть главную мысль, выделить наиболее важные фрагменты текста.

Конспект – это сокращённая запись информации. В конспекте, как и в тезисах, должны быть отражены основные положения текста, которые при необходимости дополняются, аргументируются, иллюстрируются одним или двумя самыми яркими и, в то же время, краткими примерами.

Конспект может быть кратким или подробным. Он может содержать без изменения предложения конспектируемого текста или использовать другие, более сжатые формулировки.

Конспектирование является одним из наиболее эффективных способов сохранения основного содержания прочитанного текста, способствует формированию умений и навыков переработки любой информации. Конспект необходим, чтобы накопить информацию для написания более сложной работы (доклада, реферата, курсовой, дипломной работы).

Виды конспектов: плановый, тематический, текстуальный, свободный.

Плановый конспект составляется на основе плана статьи или плана книги. Каждому пункту плана соответствует определенная часть конспекта.

Тематический конспект составляется на основе ряда источников и представляет собой информацию по определенной проблеме.

Текстуальный конспект состоит в основном из цитат статьи или книги.

Свободный конспект включает в себя выписки, цитаты, тезисы.

Требования к созданию и оформлению презентации.

1. Содержание презентации должно быть четко структурировано: каждый новый слайд должен логически вытекать из предыдущего и одновременно подготавливать появление следующего. Лучший способ проверить, правильно ли построена презентация, — быстро прочитать только заголовки. Если после этого станет ясно, о чем презентация — значит, структура построена верно.

2. После того как содержание презентации собрано, с ним следует аккуратно поработать, сократив его насколько возможно. Оптимальным объемом презентации считается 24 традиционных слайда, если презентация умещается в 16 слайдов — еще лучше, ну а 12 и менее слайдов — это то, что редко встречается и крепко запоминается. В среднем, один слайд - это 1,5 минуты выступления.

3. При разработке формы презентации всегда следует думать о том, как зритель ее будет смотреть. В первую очередь нужно решить, где зрители будут смотреть вашу

презентацию: на бумаге, экране монитора или на большом экране с помощью проектора. Это следует учитывать при выборе размера и цвета шрифтов.

4. Все однотипные элементы должны всегда быть в одном месте: если зритель знает, где ждать заголовок, а где график, он лучше схватывает суть дела. Заголовок – всегда в одном месте экрана. График – всегда в одном месте экрана. И т.д. Однотипные подписи – одинакового цвета и размера. И т.д.

5. Не включать текст в слайды, кроме абсолютно необходимого. Читать страницу за страницей и запоминать текст совсем непросто. Количество текста на слайдах должно составить не более 35% от всего содержимого слайдов. Весь ненужный текст следует оставить для устного выступления .

6. Изображения и текст на слайдах не должны быть мелкими (даже если презентация готовится для экрана).

7. Если презентация будет цветной, то следует избегать ярких, так называемых чистых тонов — алого, ярко–синего, зеленого, фиолетового (они режут глаз). Такие краски следует зарезервировать для выделения действительно ключевых моментов, а для рядовых изображений использовать пастельные тона и контрастные сочетания цветов шрифта и фона.
8. Не использовать больше четырех цветов одновременно.

9. Не использовать анимацию наподобие вращающихся заголовков, переворачивающихся слайдов, любые звуки - все это лишь отвлекает слушателей и необоснованно растягивает время презентации.

Требования к выступлению

1. Презентация состоит из двух частей: демонстрация слайдов и сопровождение их текстом. Слайды — поддержка выступления, а не наоборот.
2. Если презентация сделана правильно и текст хорошо сбалансирован другими визуальными элементами, то все равно не следует вести свою аудиторию по презентации, как экскурсовод туристов: «посмотрите налево, посмотрите направо». Презентер должен вести аудиторию не от слайда к слайду, а от тезиса к аргументу, от аргумента к примеру, от вывода к выводу.
3. Нельзя говорить «перейдем на страницу 7», надо — «как именно мы решаем эту проблему, рассказывается на слайде 7».
4. Нельзя говорить «посмотрите на следующий слайд», надо «и что же из этого следует? А вот что!» - и показываем слайд.
5. Выступление должно быть подготовлено, прорепетировано и отхронометрировано (подогнано под временные рамки).

Позволяйте себе в тексте восклицательные знаки. Текст вовсе не должен быть сухим! Вы не диктор ТВ, вы живой человек, который свято верит в то, о чем он рассказывает.

Задачи на комплексные числа

№1. Вычислить: 1)  4) ;  5)

№2. Изобразить комплексные числа на координатной плоскости:

1. 3-2i                2) -2-i                3) -3+2i                        4) 5+4i

№3. Разложить на комплексные множители:

1.            2)           3)

№4. Выполнить действия:

1)                2)           3)             4)    

№5. Выполнить действия:

1.                 2)

№6. Решить уравнение: 1)    2)

Практическое занятие №1 «Комплексные числа»

Цели: формирование понятия комплексного числа, формирование навыков в изображении комплексных чисел, в действиях над комплексными числами в алгебраической форме

Содержание учебного материала: Мнимая единица. Алгебраическая форма комплексного числа. Изображение комплексных чисел на координатной плоскости. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Перечень практических заданий

Самостоятельно

Вариант 1

№1. Построить радиусы - векторы, соответствующие комплексным числам

z=2;  z=-3;  z=3i;  z=-2i;  z=2+3i

№2. Вычислить: 1)  4)

№3. Даны числа:

 1) z = 3+i        2) z = 2-i
Запишите числа, сопряженные и противоположные данным

№4. Выполнить действия:

1.     2)             3)         4)

5.          6)

№5. Разложить на комплексные множители: 1)  ; 2)

Вариант 2

№1. Построить радиусы - векторы, соответствующие комплексным числам

z=1;  z=-4;  z=i;  z=-3i;  z=1-2i

№2. Вычислить: 1)  4)

№3. Даны числа:

 1) z = 5+2i        2) z = 1-3i
Запишите числа, сопряженные и противоположные данным

№4. Выполнить действия:

    2)             3)         4)

         6)

 №5. Разложить на комплексные множители: 1) ;  2)

Домашнее задание

Контрольные вопросы

1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?
2. Что значит цифра, верная в строгом, широком смыслах?
3. Как находится погрешность округленного числа?
4. Как определить количество верных цифр по абсолютной погрешности.

Задания для практической работы

ВАРИАНТ – 1

1. Округлить с точностью до 0,01 следующие числа: 2,645;  25,689
2. Округлить с точность до 1 следующие числа: 17,349; 0,785
3. Округлить  с точностью до 1000 следующие числа: 4382; 72356

Найти абсолютную и относительную погрешности приближений.

4. Выполнить действия:

 428, 263-107,316+264,2+748,35;

ВАРИАНТ – 2

1. Округлить с точностью до 0,01 следующие числа:  

0, 428;            16,452

2. Округлить с точность до 1 следующие числа:

16,285;           60,605

3. Округлить с точностью до 1000 следующие числа:

1835;            10428

Найти абсолютную и относительную погрешности приближений

4. Выполнить действия:

15,283-4,04527+8,253741+17,52;

Практическое занятие № 3 «Уравнения и неравенства с модулем»

Цели: формирование понятия модуль числа; формирование навыков решения уравнений и неравенств с  модулем.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение модуля
2. В чем состоит геометрический смысл модуля?
3. Назовите все точки, расстояние от которых до точки 2 равно 5
4. Решите уравнения: 1)                2)         

Вариант 1

 №1. Вычислите:

 1)          2)          3) ,         4)

№2. Раскройте знак модуля:

№3. Запишите без знака модуля:

1)                2)

№4. Решите уравнения:

                2)                         3)

№5. Решите неравенства:

1.                 2) 2                3)

Практическое занятие № 3 «Уравнения и неравенства с модулем»

Цели: формирование понятия модуль числа; формирование навыков решения уравнений и неравенств с  модулем.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение модуля
2. В чем состоит геометрический смысл модуля?
3. Назовите все точки, расстояние от которых до точки 2 равно 5
4. Решите уравнения: 1)                2)         

Вариант 2

№1. Вычислите:

1)          2)          3) ,         4)

№2. Раскройте знак модуля:

№3. Запишите без знака модуля:

1.                         2)

№4. Решите уравнения:

1.                 2)                3)

№5. Решите неравенства:

1.                         2)                 3)

Практическое занятие № 3 «Уравнения и неравенства с модулем»

Цели: формирование понятия модуль числа; формирование навыков решения уравнений и неравенств с  модулем.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение модуля
2. В чем состоит геометрический смысл модуля?
3. Назовите все точки, расстояние от которых до точки 2 равно 5
4. Решите уравнения: 1)                2)         

Вариант 3

№1. Вычислите:

 1)          2)          3) ,         4)

№2. Раскройте знак модуля:  

№3. Запишите без знака модуля:

1.                         2)

№4. Решите уравнения:

1.                         2)                  3)

№5. Решите неравенства:

1.                         2)                 3)

Практическое занятие № 3 «Уравнения и неравенства с модулем»

Цели: формирование понятия модуль числа; формирование навыков решения уравнений и неравенств с  модулем.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение модуля
2. В чем состоит геометрический смысл модуля?
3. Назовите все точки, расстояние от которых до точки 2 равно 5
4. Решите уравнения: 1)                2)         

Вариант 4

№1. Вычислите:

 1)          2)          3) ,         4)

№2. Раскройте знак модуля:  

№3. Запишите без знака модуля:

1.                         2)

№4. Решите уравнения:

1.                         2)                 3)

№5. Решите неравенства:

1.                         3)                 3)

 Арифметический корень натуральной степени

Цели: изучить определение арифметического корня натуральной степени из числа, свойства  корня; формирование навыков в преобразовании выражений, содержащих корни натуральной степени; продолжить формирование вычислительных навыков.

Содержание учебного материала: определение арифметического корня натуральной степени; свойства арифметического корня  натуральной степени.

Задание 1 Найти значение выражения:

;        2)  ;        3)  ;         4) ;           5)  ;              6).

1. Определение арифметического корня натуральной степени

Обозначение 

1. Корнем n-й степени из числа а называется такое число b, n-я степень которого равна а, то есть        

Если n- нечетное число, то существует единственный корень n-й степени из любого числа (положительного или отрицательного). Например, 

Если n- четное число, то существует два корня n-й степени из любого положительного числа. Например, корень четвертой степени из числа 625  Так как 

Корень четной степени из отрицательного числа не существует. Например, 

2. Арифметический корень n-й степени -Это то же самое, что и корень n-й степени, но разница в том, что арифметический корень из неотрицательного числа есть неотрицательное число!

То есть, если n- четное число, то существует один положительный корень n-й степени из любого положительного числа.

Задание 2. Решить уравнение

1. Сколько корней имеет рассмотренное уравнение?
2. Как называют найденные корни?
3. Какой из них называют арифметическим корнем, почему?

Контрольные вопросы:

1. Наименьший показатель арифметического корня натуральной степени?
2. Как называется число  a в выражении  ?
3. Как читается выражение: ?
4. Как называется действие, посредством которого отыскивается корень n- степени?
5. Обратным какому действию является действие извлечения корня n- степени?
6.  Почему число 2 является арифметическим корнем 3-й степени из 8?
7.  Число -2 называют корнем кубическим из числа -8, является ли оно арифметическим корнем и почему?

Задание 3. Вычислить

1.           2.                   3.                   4.           5.                   

Контрольные вопросы:

1. Сколько значений имеет корень четной степени из числа? Нечетной степени из числа?
2. Существует ли корень четной степени из отрицательного числа? нечетной степени из отрицательного числа?
3. Как связаны между собой корень нечетной степени из отрицательного числа и арифметический корень из модуля этого числа?

2. Свойства арифметического корня (записать в тетрадь)

Задание 4. Найди арифметический корень из данного числа

1)                 2)         3)                 4)                 5)

Задание 5 Упрости выражения

1)                2)                3)                4)        

Задание 6 Упрости выражения

1)                2)                3)                4)        5)

Задание 7 Упрости выражения

1)                2)                3)        

Задание 8 Найди значение выражений

1)                2)                3)        

4)                                 5)         

Задание 9 Внеси множитель под знак корня

1)                2)                          3)

Задание 10 Вынеси множитель из-под  знака корня

1)                 2)                  3)                4)             

5) 

Домашнее задание. §4. Учить: определение и свойства арифметического корня с натуральным показателем. Оставшиеся примеры.

Уроки 13-14                «Степень с рациональным и действительным показателем»

Цели: изучить определение степени с рациональным показателем, свойства степени с рациональным показателем; формирование навыков в вычислении степеней с рациональным показателем, в представлении корней с натуральным показателем в виде степени с рациональным показателем и наоборот: Изучить степени с действительным показателем; рассмотреть свойства степени с действительным показателем; формирование навыков применения свойств степени с действительным показателем; продолжить формирование вычислительных навыков.

Тип урока: комбинированный урок

Содержание учебного материала: определение степени с рациональным показателем, свойства степени с рациональным показателем, определение степени с действительным показателем, свойства степени с действительным показателем.

План-конспект

Актуализация опорных знаний.

Контрольные вопросы.

1. Какие числа называются натуральными?

2. Определение степени с натуральным показателем.

3. Какие числа называют целыми?

4. Определение степени с целым показателем.

5. Определение рациональных чисел.

6. Как можно представить любое рациональное число?

1. Определение степени с рациональным показателем

Задание 1. 1) Представить числа: 1; 2; 8; 32;   в виде степени с основанием 2.

2) Представить числа: 1; 3; 27; 81;   в виде степени с основанием 3.

Задание 2. 1) Записать в виде степени с дробным показателем

а)                 б)                 в)                     г)                  д)

3) Записать в виде степени с дробным показателем

а)                 б)                 в)                     г)                  д)

2. Свойства степени с рациональным показателем

Если p и q – произвольные рациональные числа, то

Задание 3. №1. Представить в виде степени с дробным показателем:

1.                 2)           3)                 4)                 5)

№2. Представить в виде степени с дробным показателем:

1)                  2)                3)                4)                5)         

№3. Представить выражение в виде степени с рациональным показателем:

1.                 2)         3)         4)                  5)                 6)

7)

№4. Упростите выражение:

№5. Вычислите:

                                 4)

3. Определение степени с действительным показателем.

  определена для любого

При любом  и любом  степень  является положительным  действительным числом:   при  .

Если a=0, то  определено при .  

 смысла не имеют.

Выполняются все изученные ранее свойства степени (1-5).

Задание 4. Упростить выражение: 1)                  

2) и найдите его значение при а = 64

Домашнее задание. Знать определения степени с рациональным и действительным показателем. Выучить свойства степени.

          Домашнее задание:

№ 1. Представить числа: 1, 4, 16, ,   в виде степени с основанием 2.

№ 2. Упростить:

№ 3. Вычислить: 1) ;        2)

№ 4. Вычислить:

№ 5. Сравнить числа: 1) ;    2)

№ 6. Вычислить:

Практическое занятие №4 «Степени и корни»

Цели: формирование навыков в преобразовании выражений, содержащих степени и корни. Вычисление значений выражений, содержащих степени и корни.

Перечень практических заданий

Задание 1. Вычислить:  1)              2) ;             3) ;                

4) ;            5)

Задание 2. Упростите выражение:

        1)  и найдите его значение при а = 64

        2)     и найдите его значение при а = 0,001

       3)   и найдите его значение при а = 5

       4)      и найдите его значение при а = 2

Варианты самостоятельной работы

Вариант 1.

№1. Упростите выражение

№2. Вычислите    

№3. Упростите выражение

№4. Найдите значение выражения

№5. Упростите выражение  

№6. Найдите значение выражения    при b=2

Практическое занятие №4 «Степени и корни»

Цели: формирование навыков в преобразовании выражений, содержащих степени и корни. Вычисление значений выражений, содержащих степени и корни.

Перечень практических заданий

Задание 1. Вычислить:  1)              2) ;             3) ;                

4) ;            5)

Задание 2. Упростите выражение:

        1)  и найдите его значение при а = 64

        2)     и найдите его значение при а = 0,001

       3)   и найдите его значение при а = 5

       4)      и найдите его значение при а = 2

Варианты самостоятельной работы

Вариант 2.

№1. Вычислите

№2. Вычислите

№3. Упростите выражение

№4. Найдите значение выражения

№5. Упростите выражение

№6. Найдите значение выражения   при b=4

ДЗ  «Логарифмы»

Найдите значение выражения

1)        2)                 3)         4)

5)                        6)

7)                        8)                9)

10)                        11)

12)                13)                14)

15)                                16)

17)                                18)                         19)

20)                                21)                22)

23)                         24)                25)

Практическое занятие № 5

Тема: Преобразование алгебраических выражений

Содержание учебного материала:

Преобразование рациональных, иррациональных, степенных, показательных и логарифмических выражений. Логарифмирование и потенцирование выражений.

Перечень практических заданий

Вариант 1

№1. Найдите значение выражения

1)                        2)

3)                        4)

5)                        6)

7)                8)

№2. Упростите выражение

1)        2)

Вариант 2

№1. Найдите значение выражения

1)                                2)

3)                                 4)

5)                        6)

7)                8)

№2. Упростите выражение

1)                2)

Основные понятия тригонометрии

Содержание учебного материала:

Единичная окружность, вращательное движение. Радианная мера углов. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла. Таблица значений основных углов.

1. Единичная окружность

Построение. Строим прямоугольную систему координат Оxy, единичный отрезок выбираем произвольно, например, 2 или 3 клетки. Строим окружность с центром в начале координат и радиусом равным единичному отрезку, т.е. R=1 

  R=1

Повторить: положительная полуось, отрицательная полуось 

Отметим точку пересечения положительной полуоси Ox с окружностью:  – начальная точка отсчета углов

Движение по окружности от точки  против часовой стрелки принимают за положительное направление; по часовой стрелке – за отрицательное

Построение положительных углов

Задание 1. Построить углы, противоположные данным.

Построить на единичной окружности углы: ; ;   

Всем этим углам соответствует одна и та же точка на единичной окружности. Все углы, соответствующие этой точке можно записать в следующем виде:

Вывод. Каждой точке окружности соответствует бесчисленное множество углов как положительных, так и отрицательных.

Все эти углы можно записать: ,

И наоборот: каждому углу на единичной окружности соответствует единственная точка.

Задание 2. Построить на единичной окружности точку, полученную поворотом точки   на заданный угол: 1)   2) ; 3)  4)  5)   6)   7)

 Задание 3. Найти координаты точек на единичной окружности, полученной поворотом точки   на угол: 1)    2)   3)   4)   5)   6)   7)   8)   9)

2. Радианная мера угла

Подготовительные вопросы:

1. Сколько градусов содержит полный круг?
2. Сколько градусов содержит половина круга?
3. Сколько градусов содержит четверть круга?
4. Сколько градусов содержит две четверти круга?
5. Сколько градусов содержит три четверти круга?
6. Определение центрального угла
7. Что называют радиусом окружности?

Формулы перехода

 из градусной меры в радианную      

из радианной в градусную  

Примеры:      

Выполнить №407 (1, 2, 3), 408 (1, 2, 3)

3. Синус, косинус, тангенс и котангенс угла

Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.

Получаем, что ось х – это ось косинуса, ось у – это ось синуса.

Тангенс и котангенс также имеют свои оси. Осью тангенсов является касательная к единичной окружности в точке с координатой (1; 0), а осью котангенсов - касательная к окружности в точке с координатой (0; 1) и значит значения этих функций находят по данным осям.

Так как синус и косину это по сути координаты точки на единичной окружности и из ее рассмотрения видно, что они лежат в пределах от -1 до 1, то можем сделать вывод, о том какие значения могут принимать наши функции: 

4. Таблица основных значений

Задание 4. По единичной окружности определить значения   для углов: 1)    2)   3)     4)   5)  

Выполнить упр. №420, 429 (1, 2, 3)

Материалы по теме:

1. презентация «Основные понятия тригонометрии»
2. учебник §21, 22, 23
3.  можно использовать видео урок по ссылке (или самостоятельно найти видео уроки по теме)

Домашнее задание:

Знать: основные понятия и определения, таблицу значений для основных углов.

Уметь: строить на единичной окружности точки, по заданным значениям синуса и косинуса. Находить значения синуса и косинуса по точкам, указанным на единичной окружности. Переводить градусную меру в радианную и наоборот.

Выполнить:  №429 (4, 6), 431

Практическое занятие №8 «Тригонометрические формулы»

Свойства функций

Решение задач

№1. С помощью графика функции определите:

1. Промежутки возрастания и убывания функции
2. При каких значениях x
3. Наибольшее и наименьшее значения функции

№2.

1. Промежутки возрастания и убывания функции
2. При каких значениях x
3. Точки экстремума функции и экстремумы функции
4. Наибольшее и наименьшее значения функции

№3.

1. Область определения функции
2. Множество значений функции
3. Промежутки возрастания и убывания функции
4. При каких значениях x
5. Точки экстремума функции и экстремумы функции
6. Наибольшее и наименьшее значения функции

№4. Найти область определения функции:

Домашнее задание

№1. Сколько целых чисел содержится в области определения функции

№2. Сколько целых чисел содержится в области определения функции

№3. Сколько целых чисел содержится в области определения функции

№4. Сколько натуральных чисел содержится в области определения функции

№5. Сколько целых чисел содержится в области определения функции

№6. Найдите нули функции:

№7. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-7; 5). Найдите сумму точек экстремума функции

№8. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале (-7; 5). Найдите сумму точек экстремума функции

Для изучения материала по теме Функция используйте:

1. Презентации «Функция. Основные понятия», «Свойства функций»
2. Видеоурок по ссылке

Домашнее задание:

1) выучить основные понятия, определения и свойства функции

2) решить задачи Учебник: №1471, 1485 (1), 1483(2,3)

Самостоятельная работа обучающихся №1 Степени, корни, логарифмы

Вариант 1.

Вариант 2.

Практическое занятие №9 «Преобразование тригонометрических выражений»

Цели: Проверка усвоения теоретического материала по теме, практических навыков в применении тригонометрических формул для преобразования тригонометрических выражений.

Содержание учебного материала: основные тригонометрические формулы, формулы приведения, формулы двойного аргумента, формулы сложения

Варианты проверочной работы

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Практическое занятие № 10 «Графики и свойства функций»

Цели: формирование навыков чтения графиков функций; исследования свойств функции по графику

Содержание учебного материала: область определения функции, множество значений, монотонность, нули функции, точки экстремума, экстремум функции, наибольшее и наименьшее значения.

Варианты практической работы

Вариант 1.

№1. Найдите область определения функции:

1)                                 2)                       3)

№2. Используя график функции у = f(x) (см. рис. ниже), определите и запишите ответ

1. Область определения функции
2. Множество значений функции
3. Промежутки возрастания и убывания функции
4. Нули функции
5. Точки экстремума, экстремумы функции
6. Наибольшее и наименьшее значения функции
7. При каких значениях x   .

Вариант 2.

№1. Найдите область определения функции:

1. .                        2) .                3)

№2. Используя график функции у = f(x) (см. рис. ниже), определите и запишите ответ

1. Область определения функции
2. Множество значений функции
3. Промежутки возрастания и убывания функции
4. Нули функции
5. Точки экстремума, экстремумы функции
6. Наибольшее и наименьшее значения функции
7. При каких значениях x  

Практическое занятие №11 «Показательная функция»

Цели: формирование умений использования свойств показательной функции, построения графиков показательной функции, исследования свойств показательной функции. Формирование навыков решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Содержание учебного материала: определение показатльной функции, область определения, множество значений, монотонность функции, график показательной функции, использование монотонности для сравнения степеней, простейшие показательные уравнения и неравенства.

Простейшие показательные уравнения и неравенства

Карточка-консультант

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:

Такое уравнение не имеет корней при   имеет единственный корень 

Примеры с решениями

№1. Решить уравнение: 

Решение. Представим число 125 в виде степени числа 5:

;

 Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:

Ответ: 3

№2. Решите уравнение:

Решение. Приведем все степени к основанию 2:

Теперь перепишем исходное уравнение:

 получили простейшее показательное уравнение.

 Отбрасываем основание — получаем:  

Ответ: −4

№3.  Решить уравнение

Решение. Приведем обе части равенства к одному основанию:

Так как значения степеней равны, основания равны, то и показатели степеней равны, получим уравнение:  

Ответ: -7.

№4.  Решить уравнение

Решение. Приведем обе части равенства к основанию 5, используя свойства степеней:

Так как значения степеней равны, основания равны, то и показатели степеней равны, получим уравнение:  

Ответ: 1.

Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида 

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция является возрастающей eсли же показательная функция убывает , то знак нового неравенства меняют на противоположный

Варианты практической работы

Вариант 1.

№1. Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

№2. Сравнить числа:

№3. Записать данную зависимость в виде показательной функции:

№4. Найти координаты точек пересечения графиков функций

№5. Построить график функции

№6. Найти область определения функции

№7. Найти множество значений функции

Вариант 2.

№1. Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

№2. Сравнить числа:

№3. Записать данную зависимость в виде показательной функции:

№4. Найти координаты точек пересечения графиков функций

№5. Построить график функции

№6. Найти область определения функции

№7. Найти множество значений функции

 Домашнее задание

1. Повторить определения и свойства логарифмов
2. Решить показательные уравнения и неравенства.

Домашнее задание по теме «Показательная функция»

1)В учебнике параграф 11

2)По карточке -консультанту разобраться с решением простейших показательных уравнений и неравенств.

Простейшие показательные уравнения и неравенства

Карточка-консультант

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида:

Такое уравнение не имеет корней при   имеет единственный корень 

Примеры с решениями

№1. Решить уравнение: 

Решение. Представим число 125 в виде степени числа 5:

;

 Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:

Ответ: 3

№2. Решите уравнение:

Решение. Приведем все степени к основанию 2:

Теперь перепишем исходное уравнение:

 получили простейшее показательное уравнение.

 Отбрасываем основание — получаем:  

Ответ: −4

№3.  Решить уравнение

Решение. Приведем обе части равенства к одному основанию:

Так как значения степеней равны, основания равны, то и показатели степеней равны, получим уравнение:  

Ответ: -7.

№4.  Решить уравнение

Решение. Приведем обе части равенства к основанию 5, используя свойства степеней:

Так как значения степеней равны, основания равны, то и показатели степеней равны, получим уравнение:  

Ответ: 1.

Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида 

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, одинаковые основания степеней опускают, но знак нового неравенства сохраняют, если функция является возрастающей eсли же показательная функция убывает , то знак нового неравенства меняют на противоположный

3)Решить простейшие показательные уравнения и неравенства

Практическое занятие №11 «Показательная и логарифмическая функции»

Вариант 1.

№1. Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

№2. Сравнить числа:

№3. Записать данную зависимость в виде показательной функции:

№4. Найти координаты точек пересечения графиков функций

№5. Построить график функции

№6. Найти область определения функции

№7. Найти множество значений функции

Практическое занятие №11 «Показательная и логарифмическая функции»

Вариант 2.

№1. Выяснить, возрастающей или убывающей является функция:

№2. Сравнить числа:

№3. Записать данную зависимость в виде показательной функции:

№4. Найти координаты точек пересечения графиков функций

№5. Построить график функции

№6. Найти область определения функции

№7. Найти множество значений функции

Практическое занятие №12 «Логарифмическая функция»

Практическое занятие №12 «Логарифмическая функция»

Последовательности

Содержание учебного материала

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей.

Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной

ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.

Определение. Всякий занумерованный бесконечный набор чисел  называется числовой последовательностью.

Обозначение   называется общим членом последовательности.

Геометрическая интерпретация

Отметим на вещественной оси R значения  Тогда получим множество точек, соответствующее данной последовательности

Пример1.

Задание 1.

1. записать формулу общего члена для данной числовой последовательности
2. отметить на вещественной оси R точки, соответствующие данной последовательности.

Пример 2.

Задание 2.

Записать формулу общего члена для данной числовой последовательности

Способы задания числовой последовательности

1. перечислением членов последовательности
2. формулой общего члена.
3. Индуктивный или рекуррентный (указывается правило, с помощью которого можно вычислить n-й член последовательности по ее известным предыдущим членам.

Задание 3.

Записать 5 членов последовательности, заданной формулой общего члена:

Задание 4. Последовательность задана рекуррентным соотношением Найти последующие четыре члена последовательности.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Вернемся к примеру 1. Для всех значений  Таким образом последовательность ограничена числом 1 и 0

Определение. Числовая последовательность , n=1, 2, … называется ограниченной сверху, если найдется число М такое, что для всех номеров n=1, 2, … выполнено неравенство , М – верхняя граница последовательности. Геометрически – ни одна точка  не лежит правее точки М.

 Числовая последовательность , n=1, 2, … называется ограниченной снизу, если найдется число m такое, что для всех номеров n=1, 2, … выполнено неравенство , m – нижняя граница последовательности. Геометрически – ни одна точка  не лежит левее точки m.

Последовательность   называется ограниченной, если существуют два числа m и M такие, что для всех n выполняется неравенство . Геометрически- все члены последовательности помещаются в промежутке

В противном случае, последовательность является неограниченной.

Пример 3. Установить, является ли ограниченной последовательность

Пример 4. Доказать, что последовательность   ограничена снизу и сверху.

Монотонные последовательности

Последовательность   называется возрастающей, если каждый ее член начиная со второго, больше предыдущего, т.е. для любого n выполняется неравенство  

Последовательность   называется убывающей, если каждый ее член начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. для любого n выполняется неравенство

Пример 5. Доказать, что последовательность с общим членом  монотонно убывает

Предел последовательности

Последовательность может иметь только один предел. Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Геометрический смысл предела последовательности

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Задачи

1. Задайте последовательность аналитически и найдите пять первых членов этой последовательности:

а) каждому натуральному числу ставится в соответствие противоположное ему число;

б) каждому натуральному числу ставится в соответствие квадратный корень из этого числа;

в) каждому натуральному числу ставится в соответствие число -5;

г) каждому натуральному числу ставится в соответствие половина его квадрата.

2. По заданной формуле n-го члена вычислите пять первых членов последовательности (yn):

а) ; б) .

3. Является ли последовательность  ограниченной?

4. Является ли последовательность  убывающей или возрастающей?

5. Запишите окрестность точки a=-3 радиуса r=0,5 в виде интервала.

6. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал (2,1;2,3).

7. Вычислите предел последовательности:

а) ; б) ; в) ; г)

Контрольные вопросы

1. Что называют числовой последовательностью?
2. Какими способами можно задавать числовую последовательность?
3. Какая последовательность называется ограниченной сверху?
4. Какая последовательность называется ограниченной снизу?
5. Какая последовательность называется возрастающей?
6. Какая последовательность называется убывающей?
7. Принадлежит ли точка x1 окрестности точки a радиуса r, если x1 = 1,1; a = 1; r = 0,3.
8. Что называют пределом числовой последовательности?
9. Перечислите правила вычисления пределов последовательностей.

Практическое занятие №15 «Числовая последовательность»

Цель: научиться записывать числовые последовательности различными способами, описывать их свойства; находить пределы последовательностей и функций.

Содержание учебного материала

Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности.  Предел последовательности.  

Варианты самостоятельной работы

Вариант 1

Часть А

1. По заданной формуле n-го члена вычислите пять первых членов последовательности .
2. Является ли последовательность  ограниченной?
3. Является ли последовательность  убывающей или возрастающей?
4. Запишите окрестность точки a=-5 радиуса r=0,3 в виде интервала.
5. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал (1,7;2,3).

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

а) ; б) .

Вариант 2

Часть А

1. По заданной формуле n-го члена вычислите пять первых членов последовательности .
2. Является ли последовательность  ограниченной?
3. Является ли последовательность  убывающей или возрастающей?
4. Запишите окрестность точки a=4 радиуса r=0,1 в виде интервала.
5. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал (-2,4; -1,2).

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

а) ; б) .

Вариант 3

Часть А

1. По заданной формуле n-го члена вычислите пять первых членов последовательности .
2. Является ли последовательность  ограниченной?
3. Является ли последовательность  убывающей или возрастающей?
4. Запишите окрестность точки a=-8 радиуса r=0,7 в виде интервала.
5. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал (5,2;6,2).

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

а) ; б) .

Вариант 4

Часть А

1. По заданной формуле n-го члена вычислите пять первых членов последовательности .
2. Является ли последовательность  ограниченной?
3. Является ли последовательность  убывающей или возрастающей?
4. Запишите окрестность точки a=4 радиуса r=0,6 в виде интервала.
5. Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал (-6,5; -5,5).

Часть В

6. Вычислите предел последовательности:

а) ; б) .

Контрольные вопросы

1. Что называют числовой последовательностью?
2. Какими способами можно задавать числовую последовательность?
3. Какая последовательность называется ограниченной сверху?
4. Какая последовательность называется ограниченной снизу?
5. Какая последовательность называется возрастающей?
6. Какая последовательность называется убывающей?
7. Что называют пределом числовой последовательности?
8. Перечислите правила вычисления пределов последовательностей.

Практическое занятие №14 «Правила дифференцирования»

Цели: формирование навыков применения правил дифференцирования и таблицы производных элементарных функций

Содержание учебного материала

Решение задач на применение правил и таблицы дифференцирования основных элементарных функций.

Варианты практической работы

Вариант 1.

№1. Найти производные функций:

Вариант 2.

Вычисление производных

Таблица производных элементарных функций

Правила вычисления производных

Производная суммы равна сумме производных

Постоянный множитель можно выносить за знак производной

Пример 3.

Пример 4

Ответ.

Производная произведения

Пример 5

Производная частного

Пример 6

Задание. Выучить таблицу производных и правила вычисления производных.

 в учебнике параграфы: 46, 47

Разобраться с примерами вычисления производных – записать их в тетрадь.

Выполнить номера №833(1,2), 835(1,2,3,4,6),836, 839(1,2), 872(1,2)

Практическое занятие № 17 «Исследование функции с помощью производных»

Цели: формирование навыков в применении производной к исследованию функции и построению графика

Содержание учебного материала

Исследование функции и построение графика

При исследовании свойств функции полезно найти:

1. область ее определения;
2. производную;
3. стационарные точки;
4. промежутки возрастания и убывания;
5. точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записать в виде таблицы.

Затем, используя таблицу, строим график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и, если необходимо, еще несколько точек графика.

Варианты практической работы

Вариант 1.

№1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции  

№2 Проведите исследование функции и постройте ее график

Вариант 2.

№1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

№2. Проведите исследование функции и постройте ее график

Вариант 3.

№1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

№2. Проведите исследование функции и постройте ее график

Вариант 4.

№1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

№2. Проведите исследование функции и постройте ее график

Практическое занятие №17 «Правила дифференцирования»

Цели: формирование навыков применения правил дифференцирования и таблицы производных элементарных функций

Содержание учебного материала

Решение задач на применение правил и таблицы дифференцирования основных элементарных функций.

Варианты практической работы

Вариант 1.

№1. Найти производные функций:

Вариант 2.

Практическое занятие № 21 «Исследование функции с помощью производных»

Цели: формирование навыков в применении производной к исследованию функции и построению графика

Содержание учебного материала

Исследование функции и построение графика

Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной примерно по такой же схеме, как в таблице.

При исследовании свойств функции полезно найти:

1. область ее определения;
2. производную;
3. стационарные точки;
4. промежутки возрастания и убывания;
5. точки экстремума и значения функции в этих точках.

 Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и, если необходимо, еще несколько точек графика.

Варианты практической работы

Вариант 1.

Вариант 2.

№1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

Вариант 3.

№1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

Вариант 4.

№1. Найти промежутки монотонности, точки экстремума и экстремумы функции

Практическое занятие № 24 «Вычисление определенных интегралов»

Вариант 1

№1. Вычислить определенные интегралы

1.         2)        3)

4)                5)

  №2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной  осью абсцисс и графиком функции      

№3. Скорость движения точки  м/с. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунд

Вариант 2

№1. Вычислить определенные интегралы

1.         2)        3)

4)                5)

  №2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной  графиком функции

     прямыми    осью абсцисс

№3. Скорость движения точки изменяется по закону  м/с. Найти путь, пройденный точкой за 10

  Вариант 3

№1. Вычислить определенные интегралы

1.          2)            3)

4)                5)

№2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

     и осью абсцисс

№3. Скорость движения точки  м/с. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

                  Вариант 4

№1. Вычислить определенные интегралы

1)                 2)            3)

4)                5)

№2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

     и осью абсцисс.

№3. Скорость движения точки  м/с. Найти путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения.

  Вариант 3

№1. Вычислить определенные интегралы

2.          2)            3)

4)                5)

№2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

     и осью абсцисс

№3. Скорость движения точки  м/с. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до ее остановки.

                  Вариант 4

№1. Вычислить определенные интегралы

1)                 2)            3)

4)                5)

№2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции

     и осью абсцисс.

№3. Скорость движения точки  м/с. Найти путь, пройденный точкой за 5 с от начала движения.

Практическое занятие № 23 «Вычисление неопределенных интегралов»

Вариант 1

№1. Найти все первообразные данной функции

1)        2)                 3)                 4)

5)        6)        7)

8)

№2. Для функции  найти первообразную, график которой проходит через точку

 М(1; -2)

№3. Найти первообразную функции , принимающую указанное значение в заданной точке

Вариант 2

№1. Найти все первообразные данной функции

1)        2)                 3)                 4)

5)        6)        7)

8)

№2. Для функции  найти первообразную, график которой проходит через точку

 М(2; -1)

№3. Найти первообразную функции , принимающую указанное значение в заданной точке

Практическое занятие № 22 «Производная. Применение производной»

Вариант 1

1. Найти производную функции .
2. Найти производную третьего порядка функции .
3. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .
4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 2

1. Найти производную функции .
2. Найти производную третьего порядка функции .
3. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .
4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 3

1. Найти производную функции .
2. Найти производную третьего порядка функции .
3. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .
4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 4

1. Найти производную функции .
2. Найти производную третьего порядка функции .
3. Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .
4. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)