Главные вкладки
Практика: учимся решать экономические ЗАДАЧИ!
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Экономические задачи Под задачами с экономическим содержанием будем понимать задачи, поставленные в области экономики, решение которых требует использования математического аппарата.
Содержание критерия Баллы Обоснованно получен верный ответ 2 Верно построена математическая модель 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0 Максимальный балл 2
Вспомним основные понятия процента: Любое целое тело – 100% Чтобы найти r процентов от числа надо число умножить на r /100 Например, чтобы найти 3 % от 150 надо 150•0,03 = 4,5 3. Чтобы увеличить число на r %, надо число умножить на (1+ r /100) Например, чтобы 150 увеличить на 3 %, надо 150• (1+ 3/100) = 150 • 1,03 = 154,5
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. руб., где S - целое число. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение S , при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн. рублей. Месяц и год Июль 2026 Июль 2027 Июль 2028 Июль 2029 Долг (в млн. рублей) S 0,8S 0,5 S 0 Задача 1
год долг Долг с % выплата 1 2 3 4 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ? Месяц и год Июль 2026 Июль 2027 Июль 2028 Июль 2029 Долг S 0,8S 0,5 S 0
год долг Долг с % выплата 1 S 2 0,8 S 3 0,5S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?
год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 2 0,8 S 3 0,5S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?
год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 1,25 S - 0,8 S =0,45 S 2 0,8 S 3 0,5S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?
год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 1,25 S - 0,8 S =0,45 S 2 0,8 S 0,8 S •1,25 = S S – 0,5 S = 0,5 S 3 0,5S 0,5S •1,25 = 0,625 S 0,625 S – 0 = 0,625 S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?
год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 1,25 S - 0,8 S =0,45 S 2 0,8 S 0,8 S •1,25 = S S – 0,5 S = 0,5 S 3 0,5S 0,5S •1,25 = 0,625 S 0,625 S – 0 = 0,625 S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 S наибольшее - ?
год долг Долг с % выплата 1 S S •1,25=1,25 S 1,25 S - 0,8 S =0,45 S 2 0,8 S 0,8 S •1,25 = S S – 0,5 S = 0,5 S 3 0,5S 0,5S •1,25 = 0,625 S 0,625 S – 0 = 0,625 S 4 0 Введем обозначения: n=3, r% = 25 % , 1+r/100 = 1+25/100 = 1,25 По условию, каждая из выплат должна быть меньше 4 млн. рублей. Это будет верно, если максимальная из выплат меньше 4 млн.рублей, т. е. 0, 6 25S< 4 ; S< 6,4 : S = 6 Наибольшее целое решение этого неравенства – число 6. Значит, искомый размер кредита 6 млн. рублей . Ответ: 6 млн рублей
15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей. Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей. Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07 Долг (в млн руб ) 1 0,6 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Решим вместе. Вы комментируете, коллеги! Задача 2
год долг Долг с % выплата 1 2 3 4 5 6 7 Введем обозначения: n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ? Сумма выплат < 1,2 млн Какую составим таблицу?
год долг Долг с % выплата 1 1 2 0,6 3 0,4 4 0,3 5 0,2 6 0,1 7 0 n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ? Сумма выплат < 1,2 млн
год долг Долг с % выплата 1 1 1• m m – 0,6 2 0,6 3 0,4 4 0,3 5 0,2 6 0,1 7 0 n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ? Сумма выплат < 1,2 млн
год долг Долг с % выплата 1 1 1• m m – 0,6 2 0,6 0,6 • m 0,6m – 0,4 3 0,4 0,4 • m 0,4m – 0,3 4 0,3 0,3 • m 0,3m – 0,2 5 0,2 0,2 • m 0,2m – 0,1 6 0,1 0,1 • m 0,1m 7 0 n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ?
год долг Долг с % выплата 1 1 1• m m – 0,6 2 0,6 0,6 • m 0,6m – 0,4 3 0,4 0,4 • m 0,4m – 0,3 4 0,3 0,3 • m 0,3m – 0,2 5 0,2 0,2 • m 0,2m – 0,1 6 0,1 0,1 • m 0,1m 7 0 n = 6 , r% = ? % , 1+r/100 = m r наибольшее - ? Сумма выплат < 1,2 млн Найдём общую сумму выплат, сложив ежемесячные выплаты: (m – 0,6)+(0,6m – 0,4)+(0,4m – 0,3)+(0,3m – 0,2)+(0,2m – 0,1)+ 0,1m общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.
2,6 m - 1,6 < 1,2 2,6 m < 2,8 m < 14/13 1+ r/100 < 14/13 r < 7 ,692… Откуда наибольшее целое значение r = 7 Тем самым, ежемесячно остаток долга возрастал на 7%. Ответ: r = 7.
Задача 3 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите r , если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причем в первый год будет выплачено 260000 рублей, а во второй год – 169 000 рублей.
год долг Долг с % выплата 1 S 2 3 Введем обозначения: S = 300 тыс.руб. , r% = ? % , 1+r/100 = m , 1 выплата = 260 т.р. = X, 2 выплата = 169 т.р. = Y
год долг Долг с % выплата 1 S S•m X 2 Sm -X 3 Введем обозначения: S = 300 тыс.руб. , r% = ? % , 1+r/100 = m , 1 выплата = 260 т.р. = X, 2 выплата = 169 т.р. = Y
год долг Долг с % выплата 1 S S•m X 2 Sm -X ( Sm –X) •m = Sm^2 – Xm Y 3 0 Введем обозначения: S = 300 тыс.руб. , r% = ? % , 1+r/100 = m , 1 выплата = 260 т.р. = X, 2 выплата = 169 т.р. = Y
год долг Долг с % выплата 1 S S•m X 2 Sm -X ( Sm –X) •m = Sm^2 – Xm Y 3 0 Введем обозначения: S = 300 тыс.руб. , r% = ? % , 1+r/100 = m , 1 выплата = 260 т.р. = X, 2 выплата = 169 т.р. = Y Так как кредит будет выплачен полностью, то долг с % за 2 год = 2 выплате Sm^2 – Xm = Y По условию задачи надо найти r , эта величина содержится в m , то нам надо выразить m , но m выразить не можем, так как степени разных показателей. Тогда, подставив числа, составим квадратное уравнение
Sm^2 – Xm = Y 300 m^2 – 260 m – 169 = 0 Ответ: 30%
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Найдите r , если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено 160 000 рублей, а во второй год — 240 000 рублей. Ответ: 20% Решите самостоятельно сейчас Задача 4
Задача 5 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Если ежегодно выплачивать по 58 564 рубля, то кредит будет полностью погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 106 964 рубля, то кредит будет полностью погашен за 2 года. Найдите r.
год долг Долг с % выплата 1 S Sm x 2 Sm - x 3 4 5 Введем обозначения , r% = ? % , тело кредита – S, 1+r/100 = m ,
год долг Долг с % выплата 1 S Sm x 2 Sm - x ( Sm – x)m = Sm^2 - xm x 3 Sm^2 – xm - x 4 5 Введем обозначения , r% = ? % , тело кредита – S, 1+r/100 = m ,
год долг Долг с % выплата 1 S Sm x 2 Sm - x ( Sm – x)m = Sm^2 - xm x 3 Sm^2 – xm - x (Sm^2 – xm –x)m = Sm^3 – xm^2- xm x 4 Sm^3 – xm^2- xm -x 5 Введем обозначения , r% = ? % , тело кредита – S, 1+r/100 = m ,
год долг Долг с % выплата 1 S Sm x 2 Sm - x ( Sm – x)m = Sm^2 - xm x 3 Sm^2 – xm - x (Sm^2 – xm –x)m = Sm^3 – xm^2- xm x 4 Sm^3 – xm^2- xm -x (Sm^3 – xm^2- xm –x)m x 5 0 Введем обозначения , r% = ? % , тело кредита – S, 1+r/100 = m , Долг за 4 года погашен. Значит (Sm^3 – xm^2- xm –x)m = x Sm ^ 4 – xm ^ 3 - xm^2 – xm – x = 0 Sm ^ 4 = xm ^ 3 + xm^2 + xm + x Выразим S
Sm ^ 4 = x ( m^ 3 + m^2 +m + 1) Применим метод группировки и разложим на множители полученный многочлен Sm ^ 4 = x ( m^2 + 1)( m +1) S= x ( m^2 + 1)( m +1)/ m^ 4 Составим модель для второго условия
год долг Долг с % выплата 1 S Sm y 2 Sm - x ( Sm – y)m = Sm^2 - ym y 3 0 Sm^2– ym = y Какие преобразования должны выполнить дальше? S = y (1+ m )/ m^2 Тело кредита одно и тоже. Приравняем S
x ( m^2 + 1)( m +1)/ m^ 4 = y (1+ m )/ m^2 Так как m +1 положительно, то разделим обе части уравнения на него x ( m^2 + 1) = y m^2 Так как m положительно, то домножим обе части уравнения на m^ 4 x ( m^2 + 1)/ m^ 4 = y / m^2 x m^2 + x = y m^2 x = y m^2 - x m^2 x = m^2 ( y – x ) Раскроем скобки Надо выразить m x / ( y – x ) = m^2 Подставим значения
58564/ (106964 – 58564) = m^2 58564/ (106964 – 58564) = m^2 58564/ 48400 = m^2 121/ 100 = m^2 11/ 10 = m 11/ 10 = 1+ r/100 r = 10 Ответ: 10 %
Решите сами, комментируя Задача 6 В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма выплат после полного погашения кредита на 48 250 рублей больше суммы, взятой в кредит?
год долг Долг с % выплата 1 S S m x 2 S m - x ( S m – x) m = Sm^2 – xm 3 4 Введем обозначения , r% = 20 % , 1+20/100 = 1,2 = m , тело кредита – S, сумма выплат = S + 48250
год долг Долг с % выплата 1 S S m x 2 S m - x ( S m – x) m = Sm^2 – xm x 3 Sm^2 – xm - x (Sm^2 – xm –x)m = Sm^3 – xm^2- xm x 4 0 Введем обозначения , r% = 20 % , 1+20/100 = 1,2 = m , тело кредита – S, сумма выплат = S + 48250 Долг за 3года погашен. Значит Sm ^ 3 – xm^2- xm = x Sm^3 – xm^2 – xm – x = 0 Sm^3 = x(m^2+ m + 1) Выразим S S = x(m^2+ m + 1)/m^3 Сколько неизвестных? А значит нужно еще одно уравнение для системы
С другой стороны: сумма выплат = S + 48250 Сумма выплат = 3х Тогда S =3х - 48250 Приравняем S 3x - 48250= x(m^2+ m + 1)/m^3 1,2 = m Ответ: 162000 рублей
Как вы считаете чем отличаются и чем похожи задачи на вклады? Вот у вас в зачетной работе будет задача на вклады
Спасибо за внимание) Отвечу на ваши вопросы
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Введем обозначения: n= 24 , r% = 2 % , 1+r/100. S/24 = x S - ? Общая сумма выплат = 1 млн руб. год долг Долг с % выплата 1 S 2 3 4
год долг Долг с % выплата 1 S S • ( 1+r/100) = S + Sr /100 X + Sr /100 2 S + Sr /100 – ( X + Sr /100)= S – x (S-x) • ( 1+r/100) = (S-x) + (S-x)r/100 X + ( S - x)r/100 3 S – 2x (S-2x) • ( 1+r/100) = (S-2x) + (S-2x)r/100 X + ( S - 2x)r/100 4 S – 3x S-3x) • ( 1+r/100) = (S-3x) + (S-3x)r/100 X + ( S - 3x)r/100 … … … … 24 S – 23x S-23x) • ( 1+r/100) = (S-23x) + (S-23x)r/100 X + ( S - 23x)r/100 Введем обозначения: n= 24 , r% = 2 % , 1+r/100. S/24 = x S - ? Общая сумма выплат = 1 млн руб.
Общая сумма выплат = 1 млн руб. ( X + Sr /100) + ( X + ( S - x)r/100 ) + + ( X + ( S - 2x)r/100 ) + ( X + ( S - 3x)r/100 ) + … + (X + ( S - 23x)r/100 ) = 1000 24x + r/100 (S + (S – x)+(S-2x)+(S-3x)+…(S-23x) = 1000 Арифметическая прогрессия
Введем обозначения: n= 24 , r% = 2 % , 1+r/100. S/24 = x S - ? Общая сумма выплат = 1 млн руб. 24x + r/100 (S + (S-23x ) ) • 24/2 = 1000 24x + 12 r/100 ( 2 S-23x) = 1000 Сколько неизвестных? 24S/24 + 12 •2 /100 ( 2 S-23(s/24)) = 1000 S + 24 /100 ( 2 5S/24) = 1000 S + 25S/100 = 1000 1 25S/100 = 1000 125S = 100000 S = 800 тысяч рублей Ответ: 800000 рублей
Ответ: 2 млн рублей
Ответ: 1 866 000 рублей
Введем обозначения: n = 19 , r% = ? % , 1+r/100. S/ 19 = x S - ? Общая сумма выплат = 1,3 S . год долг Долг с % выплата 1 S 2 3 4
год долг Долг с % выплата 1 S S • ( 1+r/100) = S + Sr /100 X + Sr /100 2 S + Sr /100 – ( X + Sr /100)= S – x (S-x) • ( 1+r/100) = (S-x) + (S-x)r/100 X + ( S - x)r/100 3 S – 2x (S-2x) • ( 1+r/100) = (S-2x) + (S-2x)r/100 X + ( S - 2x)r/100 4 S – 3x S-3x) • ( 1+r/100) = (S-3x) + (S-3x)r/100 X + ( S - 3x)r/100 … … … … 19 S – 18x S-18x) • ( 1+r/100) = (S-18x) + (S-18x)r/100 X + ( S - 18x)r/100 Введем обозначения: n = 19 , r% = ? % , 1+r/100. S/ 19 = x S - ? Общая сумма выплат = 1,3 S .
Общая сумма выплат = 1,3 S . ( X + Sr /100) + ( X + ( S - x)r/100 ) + + ( X + ( S - 2x)r/100 ) + ( X + ( S - 3x)r/100 ) + … + (X + ( S - 18x)r/100 ) = 1,3S 19x + r/100 (S + (S – x)+(S-2x)+(S-3x)+…(S-18x) = 1,3S Арифметическая прогрессия
Введем обозначения: n = 19 , r% = ? % , 1+r/100. S/ 19 = x S - ? Общая сумма выплат = 1,3 S . 19 x + r/100 (S + (S-18x ) ) • 19 /2 = 1,3S 19 x + 9,5 r/100 ( 2 S-18x) = 1,3S Сколько неизвестных? 19 S/19 + 9,5r /100 ( 2 S-18(s/19)) = 1,3S S + 9,5r/100 ( 2 0 S/19) = 1,3S S + 190Sr/1900 = 1,3S /: S 1 +r /10 = 1,3 r/10 = 1,3 – 1 r = 0,3 • 10 = 3 % Ответ: 3 %
Ответ: 2 %
Введем обозначения: n = 21 , r% = 3 % , 1+r/100. 30 = x S - ? Общая сумма выплат = 1604 тыс рублей.
год долг Долг с % выплата 1 S S • ( 1+r/100) = S + Sr /100 X + Sr /100 2 S + Sr /100 – ( X + Sr /100)= S – x (S-x) • ( 1+r/100) = (S-x) + (S-x)r/100 X + ( S - x)r/100 3 S – 2x (S-2x) • ( 1+r/100) = (S-2x) + (S-2x)r/100 X + ( S - 2x)r/100 4 S – 3x S-3x) • ( 1+r/100) = (S-3x) + (S-3x)r/100 X + ( S - 3x)r/100 … … … … 21 S – 20 x S- 20 x) • ( 1+r/100) = (S- 20 x) + (S- 20 x)r/100 (S- 20 x) + ( S - 20 x)r/100 Введем обозначения: n = 21 , r% = 3 % , 1+r/100. 30 = x S - ? Общая сумма выплат = 1604 тыс рублей.
Общая сумма выплат = 1604. ( X + Sr /100) + ( X + ( S - x)r/100 ) + + ( X + ( S - 2x)r/100 ) + ( X + ( S - 3x)r/100 ) + … + (S-20x + ( S - 20 x)r/100 ) = 1604 2 0x +S -20x + r/100 (S + (S – x)+(S-2x)+(S-3x)+…(S- 20 x) = 1604 Арифметическая прогрессия
Введем обозначения: n = 21 , r% = 3 % , 1+r/100. 30 = x S - ? Общая сумма выплат = 1604 тыс рублей. S + r/100 (S + (S- 20 x ) ) • 21/2 = 1604 S + 21•3 ( 2 S- 20 x)/200 = 1604 S + (126S-1260•30)/200 = 1604 200S + 126S – 37800 = 1604 • 200 326S = 320800+37800 326S = 358600 S = 1100 Ответ: 1100000 рублей
Ответ: 700 000 рублей
Введем обозначения: n = 11 , r% = 3 % , 1+r/100. 80 = x S 11 - ? Общая сумма выплат = 1198тыс рублей.
год долг Долг с % выплата 1 S S • ( 1+r/100) = S + Sr /100 X + Sr /100 2 S + Sr /100 – ( X + Sr /100)= S – x (S-x) • ( 1+r/100) = (S-x) + (S-x)r/100 X + ( S - x)r/100 3 S – 2x (S-2x) • ( 1+r/100) = (S-2x) + (S-2x)r/100 X + ( S - 2x)r/100 4 S – 3x S-3x) • ( 1+r/100) = (S-3x) + (S-3x)r/100 X + ( S - 3x)r/100 … … … … 10 S – 9 x 11 S – 10 x S- 10 x) • ( 1+r/100) = (S- 10 x) + (S- 10 x)r/100 (S- 10 x) + ( S - 10 x)r/100 Введем обозначения: n = 11 , r% = 3 % , 1+r/100. 80 = x S 11 - ? Общая сумма выплат = 1198тыс рублей.
Общая сумма выплат = 1198. ( X + Sr /100) + ( X + ( S - x)r/100 ) + + ( X + ( S - 2x)r/100 ) + ( X + ( S - 3x)r/100 ) + … + (S- 1 0x + ( S - 1 0 x)r/100 ) = 1198 1 0x +S - 1 0x + r/100 (S + (S – x)+(S-2x)+(S-3x)+…(S- 1 0 x) = 1198 Арифметическая прогрессия
Введем обозначения: n = 11 , r% = 3 % , 1+r/100. 80 = x S 11 - ? Общая сумма выплат = 1198тыс рублей. S + r/100 (S + (S- 1 0 x ) ) • 11/2 = 1198 S + 1 1•3 ( 2 S- 1 0 x)/200 = 1198 S + ( 6 6S- 330 • 8 0)/200 = 1198 200S + 6 6S – 264 00 = 198 • 200 266 S = 2396 00+ 264 00 26 6S = 266000 S = 100 0 S – 10 x = 1000 – 10 • 80 = 200 Ответ: 200 000 рублей
Спасибо за внимание!